备战2014高考数学真题集锦向量的运算
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：
：； ：；
：； ：．
其中的真命题是( )
A．， B．， C．， D．，
2.【2011 新课标全国文，13】已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则．
【答案】
【解析】本题考查向量的基本运算和性质． ，展开易得．
3.【2010 新课标全国文，2】a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a＝(4,3)，b＝(x,y), 2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.
cos
=
4. 【2012 新课标全国】已知向量夹角为，且；则
【答案】
【解析】 依题意，可知
【命题意图猜想】
1. 2011年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则表现在向量的垂直关系的应用，较为简单；2010年理科没有涉及向量问题，而文科考查以向量的坐标运算为依托，考查了向量的夹角问题，也为简单题.2012年文理为同一道题目，求向量的模，考查向量的数量积公式和模的运算技巧，难度较低，中规中矩.综上可知，近三年对本热点的考查整体较为简单，均未涉及向量的几何运算，故猜想2013年高考题可能给出向量等式，然后借助其几何含义，利用数形结合思想或可借助坐标系将向量问题坐标化，探求一些最值问题，试题难度会加大.
2.从近几年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中、低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用．同时又注重对函数与方程、转化、化归等思想方法的考查．预测2013年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力．
3.通过对近几年高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．预测2013年高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向．
【最新考纲解读】
1．向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算及其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．
2．平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义．
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
3．平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【回归课本整合】
1、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直.
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝.规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.
（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.
（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④.
2、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.
（2）坐标运算：设，则：
①向量的加减法运算：，.
②实数与向量的积：.
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
④平面向量数量积：.
⑤向量的模：.
3、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
，为什么？
4、向量平行(共线)的充要条件：＝0.
5、向量垂直的充要条件：.特别地.
【方法技巧提炼】
1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：
①为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；等于已知AD是中BC边的中线.
②为的垂心；是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
③的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).
④为
的外心.
2.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设，则有以下的结论：
①通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；
②若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；对角线垂直.则平行四边形为菱形；
③说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
④，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
3. 向量平行和垂直的重要应用
向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.
（1）向量平行(共线)的充要条件：＝0;
（2）向量垂直的充要条件：.
4.向量运算问题的两大处理思路
向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化.
树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系时，要正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点.
5.如何恰当的选择向量的数量积的公式
求向量的数量积的公式有两个：一是定义式＝；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.
6.如何判断三角形形状
给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有：
（1）利用向量加减法的运算可以合并或分解.
（2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简.
（3）利用一些常见的结论进行判断.
【考场经验分享】
1．.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角．
2.如果高考单独考查向量运算，如代数或几何运算，一般试题难度较低，位置较为靠前，此时为得全分的题目；如果向量和其他知识相结合，考查最值问题，一般以后几道选择题出现，难度较大，此时应充分考虑向量的几何意义或坐标法进行解决.在利用坐标法解决问题时，可考虑一般问题特殊化，即恰当的建立坐标系，将问题转化代数运算.如果探求一些范围问题，适当的代值检验是一个良策.
【新题预测演练】
1.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】已知向量,且,则实数
A. B. C.6 D.14
【答案】D
因为，所以，即，所以，解得。选D.
2.【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】
若向量,则下列结论中错误的是
A．B．
C．D．对任一向量，存在实数，使
3.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】若向量，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，所以，解得，即，选D.
4.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】已知两不共线向量，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角等于 D．与在方向上的投影相等
5.【安徽省2013届高三开年第一考】已知向量，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，选C
6.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设向量，若，则等于
A. B. C. D.3
【答案】B
【解析】因为，所以，即。所以，选B.
7.【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
（A） （B） （C）或 （D）
【答案】B
【解析】由，，可得，又，所以，从而，故选B．
8.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】.在平面直角坐标系中，若定点A(1,2)与动点P（，）满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，==，∴点P的轨迹方程是，故选C.
9.【2013年山东省日照高三一模模拟考试】如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是
A.满足的点P必为BC的中点
B.满足的点P有且只有一个
C.的最大值为3
D.的最小值不存在
10.【2012年秋湖北省部分重点中学期中联考】已知||＝1，||＝，⊥，点R在△POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n (m，n∈R)，则等于（）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】设，＝m＋n，⊥，∴
又∵，∴故.
11.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】已知是两个互相垂直的单位向量，且，，，则对任意的正实数t,的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
12.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】中，若，则的值为
A.2B.4C.D.
【答案】B.
【解析】设中， 分别是所对的边，由
得
即，∴
∴，即，
∴.
13.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】如图，已知在ΔABC中,BC= 2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为
(A) 135° (B) 120°(C)150。（D) 105°
【答案】D
【解析】本题考查线段向量的处理能力。可以以BC为x轴建立坐标系（圆心为O点），由题数量积知道分别90°，60°，由平面几何知道，，且
,得角A为75°，从而为105°。
14.【2012年秋湖北省部分重点中学期中联考】在平面内，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，l1∥l2∥l3（l2在l1与l3之间），l1与l2之间距离为1，l2与l3之间距离为2，且＝·，则△ABC的面积最小值为（）
A．4 B．C．2 D．
15.【2013年浙江省高考测试卷】如图，在四边形ABCD中，，若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用特例法是解决本题的好手段，将图改成右图所示：，，，，，
则
16.【上海市闸北2013届高三一模】已知向量，满足：，且()．则向量与向量的夹角的最大值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
18.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知向量夹角为，若，，则
【答案】-10
【解析】∵∴∵
∴=-10
19.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是．
20.【天津一中2012-2013学年高三年级一月考】已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角．
【答案】
【解析】因为，所以，即，所以，所以.又，所以根据正弦定理得，即，所以，即，所以，所以.
21.【安徽省2013届高三开年第一考文】已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足，P是线段AB和OC的交点，则
【答案】3:2
【解析】
∵P，A，B三点共线∴∴∴
故
所以3:2
22.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在中，，，是的中点，那么 ____________;若是的中点，是（包括边界）内任一点．则的取值范围是___________.
23.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】平面上的向量与满足
，且，若点满足，则的最小值为__________.
