高考数学理二模试题上海市浦东新区

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上海市浦东新区2014届高三二模 数学（理）试题 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1. 已知全集，若集合，则=_____‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎3.函数的最大值为__5_____‎ ‎4.已知直线和，若，则.‎ ‎5.函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点______.‎ ‎6. 已知数列为等差数列，若，，则的前项的和_____.‎ ‎7.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 ____ ．‎ ‎8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98‎ ‎9.设，的二项展开式中含项的系数为7，则____．‎ ‎10.(理)在平面直角坐标系中,若直线（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点,则常数=_3__. ‎ ‎11.(理)已知随机变量的分布列如右表，若，则=__1 ．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ n ‎0.2‎ ‎0.3‎ m ‎12.在中, 角所对的边长,的面积为,外接圆半径，则的周长为_______‎ ‎13．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .‎ ‎14.(理)已知函数的定义域为，值域为集合的非空真子集，设点，，，的外接圆圆心为M，且，则满足条件的函数有＿12＿个．‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15. “”是“”的(　A　) ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎16. （理）已知，， 是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为( D )‎ ‎（A）0 （B） （C ） 5 （D）‎ ‎17.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ D ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎18. （理）方程的解的个数为（ B ）‎ ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.‎ ‎（理）如图，在直三棱柱中，，，，、、分别是、、的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求点到平面之间的距离.‎ 解：（1）设的中点为，连接，则，且，所以或其补角即为异面直线与所成的角。…………………………………………3分 E 连接ME，在中，………………………………5分 所以异面直线与所成的角为。……………………………………6分 ‎（2），， ‎ 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则：‎ ‎， ………………8分 设平面的一个法向量为 则 所以平面的一个法向量为. …10分 又，‎ 所以点到平面的距离.………………………12分 ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.‎ B D C A Q P 如图，ABCD是边长为‎10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中点、分别在边、上），搜索区域为平面四边形围成的海平面.设，搜索区域的面积为.‎ ‎（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时的值.‎ 解：（1） ‎ ‎ ……………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ …………………………………6分 ‎（2）令 …………………………………………………………8分 ‎ ……………10分 ‎，（当且仅当时，即，等号成立）…12分 当时，搜索区域面积的最大值为（平方海里）‎ 此时， …………………………………………………………14分 ‎21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.‎ ‎（理）已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.‎ ‎（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；‎ ‎（2）设对任意正整数，有．若不等式 对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）令，得，‎ 则， …………………………………………………………1分 令，得，‎ 则， ……………………………………………………2分 令，得，‎ 即， ……………………………………………………4分 则，‎ 所以，数列是等比数列，公比，首项. ………………………6分 ‎（2）令，得，即 则是等差数列，公差为2，首项， ‎ 故， ………………………………………………8分 ‎. …………………………………………………………………9分 ‎ 设，则 ‎，‎ 所以是递增数列，，…………………………11分 从而，即………………………………………12分 则，解得． ………………………………………………14分 ‎22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.‎ ‎（理）已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 过点作直线，使其交椭圆于、两点，交直线于点. 问：是否存在这样的直线，使是、的等比中项？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ x y Rx S Q P O ‎(3) 若椭圆方程为：（），椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆的倍相似椭圆，若直线与两椭圆、交于四点(依次为 ‎、、、)，且，试研究动点的轨迹方程.‎ 解：(1)设椭圆方程为：（），‎ 所以直线方程为：………………………………………………1分 ‎∴到直线距离为…… 2分 又，解得：，………………………………………………3分 故：椭圆方程为：.………………………………………………… 4分 ‎(2) 当直线与轴重合时，，而，所以 若存在直线，使是、的等比中项，‎ 则可设直线方程为： ………………………………………………… 5分 代人椭圆的方程，得：即：‎ ‎∴ ‎ 记，， ∴，……… 7分 ‎∵，即，∴‎ ‎∴，解得：，符合，所以…………… 9分 故存在直线，使是、的等比中项，其方程为 ‎，即：………………………………… 10分 ‎ (3) 椭圆的倍相似椭圆的方程为： ………………………………11分 设、、、各点坐标依次为、、、‎ ‎ 将代人椭圆方程，得：‎ ‎ ∴ （*）‎ ‎ 此时：，‎ ‎…………………………13分 ‎ 将代人椭圆方程，得：‎ ‎ ∴，………14分 ‎∴，可得线段、中点相同，所以 由，所以，可得：‎ ‎∴（满足(*)式）.‎ 故：动点的轨迹方程为. ……………………………………16分 ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.‎ ‎（理）定义区间，，，的长度均为，其中．‎ ‎（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.‎ ‎（2）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和． ‎ ‎（3）定义函数，判断函数在区间上是否有零点，并求不等式解集区间的长度总和．‎ 解：（1），‎ 解得或，…………………1分 ‎，解得， …………………2分 画图可得：区间长度的最大值为，‎ 最小值为.………………………………4分 ‎（2） …………………………………………………………6分 当，， ……………………………………………7分 当，， ……………………………………………………………8分 所以时，………………………………………………9分 所以值域区间长度总和为。 ……………………………………………………………10分 ‎（3）由于当时，取，，‎ 取，， ‎ 所以方程在区间内有一个解 …………………………………12分 考虑函数，由于当时，，故在区间内，不存在使的实数；‎ 对于集中的任一个，由于当时，‎ 取，，取，‎ 又因为函数在区间内单调递减，‎ 所以方程在区间内各有一个解；‎ 依次记这个解为，‎ 从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为 ‎ ………① ……………………………………………15分 对进行同分处理，分子记为 ‎ ‎ 如将展开，其最高项系数为，设 ‎ ……②‎ 又有 …………③‎ 对比②③中的系数，‎ 可得： ……………………………………………18分