天津市高考数学试卷文科及解析

天津市高考数学试卷文科及解析

‎2012年天津市高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．（2012•天津）i是虚数单位，复数=（　　）‎ ‎　　A．1﹣i　　B．﹣1+i　　C．1+i　　D．﹣1﹣i ‎2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ ‎　　A．﹣5　　B．﹣4　　C．﹣2　　D．3‎ ‎3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（　　）‎ ‎　　A．8　　B．18　　C．26　　D．80‎ ‎4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ ‎　　A．c＜b＜a　　B．c＜a＜b　　C．b＜a＜c　　D．b＜c＜a ‎5．（2012•天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ ‎　　A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件　　C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件 ‎6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）‎ ‎　　A．y=cos2x，x∈R　　B．y=log2|x|，x∈R且x≠0　　C．y=　　D．y=x3+1，x∈R ‎7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（　　）‎ ‎　　A．　　B．1　　C．　　D．2‎ ‎8．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=2，则λ=（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．2‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为　_________　．‎ ‎10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　_________　m3．‎ ‎11．（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=　_________　，b=　_________　．‎ ‎12．（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　_________　．‎ ‎13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　_________　．‎ ‎14．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　_________　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．‎ ‎（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ ‎16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．‎ ‎（1）求sinC和b的值；‎ ‎（2）求cos（2A+）的值．‎ ‎17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．‎ ‎（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；‎ ‎（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn﹣8=an﹣1bn+1（n∈N*，n≥2）．‎ ‎19．（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．‎ ‎20．（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；‎ ‎（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．‎ ‎2012年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．（2012•天津）i是虚数单位，复数=（　　）‎ ‎　　A．1﹣i　　B．﹣1+i　　C．1+i　　D．﹣1﹣i 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．‎ 解答：‎ 解：===1+i 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．‎ ‎2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ ‎　　A．﹣5　　B．﹣4　　C．﹣2　　D．3‎ 考点：‎ 简单线性规划。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值 解答：‎ 解：画出可行域如图阴影区域：‎ 目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，‎ 数形结合可知，当动直线过点A时，z最小 由得A（0，2）‎ ‎∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4‎ 故选 B 点评：‎ 本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题 ‎3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（　　）‎ ‎　　A．8　　B．18　　C．26　　D．80‎ 考点：‎ 数列的求和；循环结构。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．‎ 解答：‎ 解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；‎ 同理可求n=2，S1=2时，S2=8；‎ n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，‎ 故输出的结果为26．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．‎ ‎4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ ‎　　A．c＜b＜a　　B．c＜a＜b　　C．b＜a＜c　　D．b＜c＜a 考点：‎ 不等式比较大小。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系 解答：‎ 解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，‎ ‎∴a＞b＞20=1．‎ 再由c=2log52=log54＜log55=1，‎ 可得 a＞b＞c，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．‎ ‎5．（2012•天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ ‎　　A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件　　C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．‎ 解答：‎ 解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；‎ 所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；‎ 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．‎ 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）‎ ‎　　A．y=cos2x，x∈R　　B．y=log2|x|，x∈R且x≠0　　C．y=　　D．y=x3+1，x∈R 考点：‎ 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案．‎ 解答：‎ 解：对于A，令y=f（x）=cosx，则f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数，‎ 而f（x）=cosx在[0，π]上单调递减，（1，2）⊂[0，π]，‎ 故f（x）=cosx在区间（1，2）内是减函数，故排除A；‎ 对于B，令y=f（x）=log2|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；‎ 对于C，令y=f（x）=，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除C；‎ 而D，为非奇非偶函数，可排除D；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．‎ ‎7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（　　）‎ ‎　　A．　　B．1　　C．　　D．2‎ 考点：‎ 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，故ω•=kπ，由此求得ω的最小值．‎ 解答：‎ 解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．‎ 再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈z．‎ 故ω的最小值是2，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．‎ ‎8．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=2，则λ=（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．2‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=2，求得λ的值．‎ 解答：‎ 解：由题意可得=0，‎ 由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]‎ ‎=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=2，‎ 解得 λ=2，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为　﹣3　．‎ 考点：‎ 绝对值不等式的解法。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}，‎ ‎∴由|x﹣2|≤5得，‎ ‎﹣5≤x﹣2≤5，‎ ‎∴﹣3≤x≤7，‎ ‎∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．‎ 故答案为﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题．‎ ‎10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　30　m3．‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．‎ 解答：‎ 解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，‎ 上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，‎ 所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是5边形，‎ 几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m3）．‎ 故答案为：30．‎ 点评：‎ 本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．‎ ‎11．（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=　1　，b=　2　．‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 双曲线C1：的渐近线方程为y=±x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值 解答：‎ 解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，‎ ‎∴=2‎ ‎∵且C1的右焦点为F（，0）．‎ ‎∴c=，由a2+b2=c2‎ 解得a=1，b=2‎ 故答案为1，2‎ 点评：‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题 ‎12．（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　3　．‎ 考点：‎ 直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．‎ 解答：‎ 解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d==，‎ ‎∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，‎ 整理得：m2+n2=，‎ 令直线l解析式中y=0，解得：x=，‎ ‎∴A（，0），即OA=，‎ 令x=0，解得：y=，‎ ‎∴B（0，），即OB=，‎ ‎∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，‎ ‎∴|mn|≤，‎ 又△AOB为直角三角形，‎ ‎∴S△ABC=OA•OB=≥=3，‎ 则△AOB面积的最小值为3．‎ 故答案为：3‎ 点评：‎ 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．‎ ‎13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　　．‎ 考点：‎ 与圆有关的比例线段。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．‎ 解答：‎ 解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，‎ 设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．‎ ‎14．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　（0，1）∪（1，2）　．‎ 考点：‎ 函数的零点与方程根的关系。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：函数y===，如图所示：‎ 故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1 或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，‎ 故答案为 （0，1）∪（1，2）．‎ 点评：‎ 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．‎ ‎（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ 考点：‎ 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；‎ ‎（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；‎ ‎（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果 解答：‎ 解：（I）抽样比为=，‎ 故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1‎ ‎（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A 则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种 ‎（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，‎ ‎∴P（B）==‎ 点评：‎ 本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题 ‎16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．‎ ‎（1）求sinC和b的值；‎ ‎（2）求cos（2A+）的值．‎ 考点：‎ 解三角形；三角函数中的恒等变换应用。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．‎ ‎（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin 的值．‎ 解答：‎ 解：（1）△ABC中，由cosA=﹣ 可得sinA=．‎ 再由 = 以及a=2、c=，可得sinC=．‎ 由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．‎ ‎（2）由cosA=﹣、sinA= 可得 cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．‎ 故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．‎ 点评：‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．‎ ‎17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．‎ ‎（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；‎ ‎（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．‎ 考点：‎ 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。‎ 专题：‎ 计算题；证明题；综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎（2）说明AD⊥BC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．‎ ‎（3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通过sin∠PBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，‎ 因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，‎ 又因为AD⊥PD，‎ 故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，‎ 在Rt△PDA中，=2，‎ 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为：2．‎ ‎（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥BC，‎ 由于AD⊥PD，CD∩PD=D，‎ 因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．‎ ‎（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．‎ 由于平面PDC⊥平面ABCD，‎ 而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，‎ 故PE⊥平面ABCD．‎ 由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，‎ 在△PDC中，‎ 由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，‎ 在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．‎ 由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，‎ 因此BC⊥PC．‎ 在Rt△PCB中，PB==．‎ 在Rt△PEB中，sin∠PBE==．‎ 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．‎ 点评：‎ 本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．‎ ‎18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn﹣8=an﹣1bn+1（n∈N*，n≥2）．‎ 考点：‎ 等差数列与等比数列的综合；数列的求和。‎ 专题：‎ 计算题；证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．‎ ‎（2）先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．‎ 解答：‎ 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，‎ 由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，‎ 由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，‎ 解得，‎ 所以：an=3n﹣1，bn=2n．‎ ‎（2）证明：由第一问得：Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n； ①；‎ ‎2Tn=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．‎ 由①﹣②得，﹣Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1‎ ‎=﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2‎ ‎=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．‎ 即Tn﹣8=（3n﹣4）×2n+1．‎ 而当n≥2时，an﹣1bn+1=（3n﹣4）×2n+1．‎ ‎∴Tn﹣8=an﹣1bn+1（n∈N*，n≥2）．‎ 点评：‎ 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．‎ ‎19．（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．‎ 解答：‎ 解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx 设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①‎ ‎∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵x0≠0，∴‎ 代入①，整理得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴5k4﹣22k2﹣15=0‎ ‎∴k2=5‎ ‎∴‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．‎ ‎20．（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；‎ ‎（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．‎ 考点：‎ 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；‎ ‎（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；‎ ‎（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0‎ 令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a 故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，）‎ ‎（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，‎ ‎∴，∴，∴0＜a＜‎ ‎∴a的取值范围为；‎ ‎（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增 ‎①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减 因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者 由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）‎ 而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为 ‎②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．‎ 由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有 f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）‎ ‎∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣‎ ‎∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣‎ ‎∴g（t）=M（t）﹣m（t）=‎ 综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．‎ 点评：‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．‎