高考广东卷数学理科试题

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高考广东卷数学理科试题

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【解析】由得,则,有2个,选B.‎ ‎2. 设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,‎ A. 8 B. ‎6 ‎‎ ‎‎ C. 4 D. 2‎ ‎【解析】,则最小正整数为4,选C.‎ ‎3. 若函数是函数的反函数,其图像经过点,则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】,代入,解得,所以,选B.‎ ‎4.已知等比数列满足,且,则当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得,,则, ,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎5. 给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎6. 一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 6 B. ‎2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】,所以,选D.‎ ‎7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 ‎【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 A. 在时刻,甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B. 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在时刻,两车的位置相同 D. 时刻后,乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9 ~ 12题)‎ ‎9. 随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,表示的样本的数字特征是 .(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)‎ ‎【解析】;平均数 ‎10. 若平面向量,满足,平行于轴,,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】或,则或.‎ ‎11.巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 .‎ ‎【解析】,,,,则所求椭圆方程为.‎ ‎12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .‎ ‎【解析】由题知,,,解得,.‎ ‎(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)‎ ‎13.(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与直线(为参数)垂直,则 .‎ ‎【解析】,得.‎ ‎14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 .‎ ‎【解析】且.‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且, 则圆的面积等于 .‎ ‎【解析】解法一:连结、,则,∵,,∴,则;解法二:,则.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知向量与互相垂直,其中.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)若,求的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.‎ ‎(2)∵,,∴,则,∴.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:‎ 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间,,,,,进行分组,得到频率分布直方图如图5. ‎ ‎(1)求直方图中的值; ‎ ‎(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;‎ ‎(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎(结果用分数表示.已知,, ,)‎ 解:(1)由图可知,解得;‎ ‎(2);‎ ‎(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.‎ z y x E1‎ G1‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.‎ ‎(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线平面;‎ ‎(3)求异面直线所成角的正弦值.‎ 解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为 ‎ ,‎ 又面,,∴.‎ ‎(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,‎ ‎∴,,即,,‎ 又,∴平面.‎ ‎(3),,则,设异面直线所成角为,则.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.‎ ‎(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.‎ 解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,‎ ‎∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().‎ xA xB D ‎(2)曲线,‎ 即圆:,其圆心坐标为,半径 由图可知,当时,曲线与点有公共点;‎ 当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.W.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1)依题可设 (),则;‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ , , ‎ 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值 当时, 解得 ‎ 当时, 解得 ‎ (2)由(),得 ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ 当时,方程有二解,‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 当时,方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上,当时, 函数有一零点;‎ 当(),或()时,‎ 函数有两个零点;‎ 当时,函数有一零点.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ 解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)‎ ‎,即,∴‎ ‎(2)证明:∵‎ ‎∴‎ 由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,‎ 则有,即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com
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