高考文科数学平面向量题型归纳与训练

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高考文科数学平面向量题型归纳与训练

‎2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练 ‎【题型归纳】‎ 题型一 平面向量的基本定理 例1给出下列命题:‎ ‎(1)向量与向量是共线向量,不是平行向量;‎ ‎(2)若向量与向量都是单位向量,则;‎ ‎(3)若,则四点构成平行四边形;‎ ‎(4)为实数,若,则与共线.其中错误的命题的序号是 .‎ ‎【答案】(1)(2)(3)(4)‎ ‎【解析】(1)错误,因为共线向量就是平行向量,平行向量就是共线向量;(2)错误,向量有方向和大小两个要素,只有方向相同且长度相等,两个向量才相等。两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同;(3)是错误的,当A、B、C、D在一条直线上时,它们不构成平行四边形;(4)是错误的,当时,与可以共线可以不共线 ‎【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况,若,则A、B、C、D四点可能在一条直线上,所以不一定能构成平行四边形。,若,则与不一定共线。‎ ‎【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略:‎ ‎(1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.‎ ‎(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.‎ ‎(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:‎ ‎①观察各向量的位置;‎ ‎②寻找相应的三角形或多边形;‎ ‎③运用法则找关系;‎ ‎④化简结果.‎ 例2 已知,且∥,则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据∥有,可知,得 ‎【易错点】(1)经典错解错在把向量平行的充要条件记成了.(2),‎ 不是,可以记为“斜乘相减等于零”.,可以记为“竖乘相加等于零”.这两个公式是向量运算里经常要用到的,大家要区分并记牢.‎ ‎【思维点拨】‎ ‎1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.‎ ‎2.几个重要结论 ‎(1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;‎ ‎(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;‎ ‎(3)向量平行与起点的位置无关.‎ 题型二 平面向量的线性运算 例1在中,错误的式子是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据平行四边形法则知,错误的为.在向量的加法运算中,第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时,可得第一个向量的起点指向第二个的终点,如,在向量的减法运算中,两向量的起点相同,则由第二个向量的终点指向第一个的起点,如,对于选项,利用平行四边形法则结合图像可得.‎ ‎【易错点】使用向量的加法三角形法则时,两向量必须首尾相接,使用向量的减法三角形法则时,两向量必须起点相同,差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。‎ ‎【思维点拨】1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化为数量运算.2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.‎ 题型三 平面向量的数量积及其应用 例1已知为单位向量,当的夹角为时,在上的投影为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在上的投影为,所以选择.‎ ‎【易错点】(1)对在上的投影的概念和公式理解不透彻.(2)在上的投影为,由于,所以在上的投影可以是正数,也可以是负数,也可以是零.有的同学把在上的投影和射影混淆了,一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.‎ ‎【思维点拨】1.对两向量夹角的理解 ‎(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角.‎ ‎(2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向时,其夹角为0,共线且反向时,其夹角为π.‎ ‎(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围.‎ ‎2.向量运算与数量运算的区别 ‎(1)若a,b∈R,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0.‎ ‎(2)若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c.‎ ‎(3)若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.‎ ‎(4)若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.‎ 例2已知向量满足:与垂直,且,则的夹角为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由已知得().()=0,故,则=,又因为 ‎,故与的夹角为.‎ ‎【易错点】(1)经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清.(2)两个向量的夹角的范围是,不是,所以本题只有一个答案.‎ ‎【思维点拨】‎ ‎1.求两非零向量的夹角时要注意:‎ ‎(1)向量的数量积不满足结合律;‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.‎ ‎2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系.‎ ‎【巩固训练】‎ 题型一 平面向量的基本定理 ‎1. 给出下列命题:‎ ‎①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;‎ ‎②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;‎ ‎③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;‎ ‎④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.‎ 其中假命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线.‎ ‎②正确.∵=,∴||=||且∥.‎ 又∵A,B,C,D是不共线的四点,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB=DC且与方向相同,因此=.‎ ‎③不正确.两向量不能比较大小.‎ ‎④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.‎ ‎2. 设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.‎ ‎3.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.‎ 因为a,b不共线,所以有 解之得t=.‎ 故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.‎ ‎4.下列说法正确的是 A.向量与向量是共线向量,则点必在同一条直线上 B.两个有共同终点的向量,一定是共线向量 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 ‎【答案】D ‎【解析】对于A,若向量与向量是共线向量,则或点在同一条直线上,故A错误;对于B,共线向量是指方向相同或相反的向量,两个有共同终点的向量,其方向可能既不相同又不相反,故B错误;对于C,长度相等的向量不一定是相等向量,还需要方向相同,故C错误;对于D,相等向量是大小相等、方向相同的向量,故两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同,故D正确.故选D.‎ ‎5.已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件是(  )‎ A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】选D。若e1与e2共线,则e2=λ′e1.因此a=(1+λλ′)e1,此时a∥b.若e1与e2不共线,设a=μb,则 e1+λe2=μ·2e1,因此λ=0,1-2μ=0.‎ 题型二 平面向量的线性运算 ‎1.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于(  )‎ A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)‎ ‎【答案】B ‎【解析】=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).‎ ‎2.在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC=(  )‎ A. B. C.2 D. ‎【答案】A ‎【解析】∵·=1,且AB=2,∴1=||||cos(π-B),∴||cos B=-.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即9=4+BC2-2×2×.∴BC=.‎ ‎3.若、、、是平面内任意四点,给出下列式子:‎ ‎①,②,③.‎ 其中正确的有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ‎【答案】B ‎【解析】①的等价式是=,左边=+,右边=+,不一定相等;‎ ‎②的等价式是=,左边=右边=,故正确;‎ ‎③的等价式是=+,左边=右边=,故正确.‎ 所以正确的有2个,故选B.‎ ‎4.设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B. ‎ ‎5.已知,,,设,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求满足的实数,.‎ ‎【解析】(1)由已知得,,,‎ 则.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴.‎ 题型三 平面向量的数量积及其应用 ‎1.对于非零向量,下列命题正确的是(  )‎ A. B.是|‎ C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】对于选项,,,故错误;对于B,的投影是,所以错误.对于,不能推出所以错误,排除法选.故选.‎ ‎2.已知a=(1,2),b=(-2,n),a与b的夹角是45°.‎ ‎(1)求b;‎ ‎(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解:(1)∵a·b=2n-2,|a|=,|b|=,‎ ‎∴cos 45°==,‎ ‎∴3n2-16n-12=0(n>1).‎ ‎∴n=6或n=-(舍).∴b=(-2,6).‎ ‎(2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5.‎ 又∵c与b同向,故可设c=λb(λ>0).‎ ‎∵(c-a)·a=0,‎ ‎∴λb·a-|a|2=0.∴λ===.‎ ‎∴c=b=(-1,3).‎ ‎3.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4 ‎【答案】B ‎【解析】由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,故|2a+b|=2.‎ ‎4.质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件F1+F2+F3=0,则F3=-F1-F2,F=F+F+2|F1||F2|cos 60°=28,因此,|F3|=2.‎
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