2013高考数学一轮复习115离散型随机变量的期望与方差正态分布精品教学案教师版新人教版

2013高考数学一轮复习115离散型随机变量的期望与方差正态分布精品教学案教师版新人教版

‎2013年高考数学一轮复习精品教学案11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布（新课标人教版，教师版）‎ ‎【考纲解读】‎ ‎1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【考点预测】‎ 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:‎ ‎1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1．离散型随机变量均值、方差:‎ ‎(1)定义:若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 则称为随机变量X的均值或数学期望.‎ 称为随机变量X的方差.‎ ‎(2)性质: (1)E(C)＝C(C为常数)‎ ‎(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)‎ ‎(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2‎ ‎(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)‎ ‎(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2‎ ‎(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)‎ ‎2.正态曲线及性质 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，‎ x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．‎ ‎(2)正态曲线的解析式 ‎①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．‎ ‎②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．‎ ‎③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．‎ ‎④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－.‎ ‎【例题精析】‎ 考点一 　离散型随机变量的期望与方差 例1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望 ‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查离散型随机变量的期望的求解，熟练基本概念是解决本类问题的关键.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.(2011年高考辽宁卷理科19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.‎ ‎【解析】（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且 ‎ ‎ 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ 考点二 　正态分布 例2.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________.‎ ‎2.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)设随机变量服从正态分布 ，则函数不存在零点的慨率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数不存在零点,则 因为，所以 ‎【易错专区】‎ 问题：综合应用 例.(2012年高考广东卷理科17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 ‎ .‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎【课时作业】‎ ‎1. (2010年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )‎ ‎（A）100 （B）200 （C）300 （D）400‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】根据题意显然有，所以，故．‎ ‎2.(2011年高考重庆卷理科17)某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:‎ ‎（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;‎ ‎（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。‎ ‎3．（2009年高考北京卷理科第17题）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎4．(2012年高考湖北卷理科20)根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：‎ ‎（I）工期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎【考题回放】‎ ‎1. (2010年高考数学湖北卷理科14）某射手射击所得环数的分布列如下：‎ 已知的期望，则y的值为 ．‎ ‎【答案】0.4‎ ‎【解析】由表格可知：‎ 联合解得.‎ ‎2．(2012年高考浙江卷理科19) 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎【解析】(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎3.(2012年高考山东卷理科19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望．‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 所以．‎ ‎4. (山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第号卡片恰好落入第号小盒中，则称其为一个匹对，用表示匹对的个数.‎ ‎（1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率;‎ ‎（2）求匹对数的分布列和数学期望.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎……………………………10分 ‎∴ …………………12分