2020-2021学年高考数学（理）考点：绝对值不等式

2020-2021学年高考数学（理）考点：绝对值不等式

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：绝对值不等式 ‎1.绝对值三角不等式 ‎　(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 几何解释：用向量a，b分别替换a，b.‎ ‎①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；‎ ‎②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；‎ 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．‎ ‎③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ 几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，‎ 当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.‎ 当点B不在点A，C之间时：‎ ‎①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；‎ ‎②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.‎ 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．‎ ‎2.两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用 ‎||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．‎ 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．‎ ‎3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．‎ ‎(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．‎ ‎4.含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．‎ ‎5. 绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(－∞，0)∪‎ R ‎(a，＋∞)‎ ‎(0，＋∞)‎ ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎6．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎1．（2019•上海）不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，即 故答案为：．‎ ‎2．（2018•上海）不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由，解得：或，‎ 故不等式的解集是或，‎ 故答案为：或．‎ ‎3．（2017•上海）不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故不等式的解集是，‎ 故答案为：．‎ ‎4．（2020•江苏）设，解不等式．‎ ‎【解析】．‎ ‎，或或，‎ 或或，，‎ 不等式的解集为．‎ ‎5．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）画出的图象；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【解析】函数，‎ 图象如图所示 ‎（2）由于的图象是函数的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）‎ 直线向左平移一个单位后表示为，‎ 联立，解得横坐标为，‎ 不等式的解集为．‎ ‎6．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，不等式化为，即，；‎ 当时，不等式化为，此时；‎ 当时，不等式化为，即，．‎ 综上，当时，不等式的解集为或；‎ ‎（2）．‎ 又，，‎ 得或，‎ 解得：或．‎ 综上，若，则的取值范围是，，．‎ ‎7．（2019•江苏）设，解不等式．‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 或或，‎ 或或，‎ 不等式的解集为或．‎ ‎8．（2019•新课标Ⅱ）已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ ‎，当时，，恒成立，；‎ 当时，恒成立，；‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，在上恒成立；‎ 当时，，，不满足题意，‎ 的取值范围为：，‎ ‎9．（2018•新课标Ⅰ）已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 由，‎ 或，‎ 解得，‎ 故不等式的解集为，，‎ ‎（2）当时不等式成立，‎ ‎，‎ 即，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的取值范围为，．‎ ‎10．（2018•新课标Ⅱ）设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ 当时，，解得，‎ 当时，恒成立，即，‎ 当时，，解得，‎ 综上所述不等式的解集为，，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 故的取值范围，，．‎ ‎11．（2017•新课标Ⅰ）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，，是开口向下，对称轴为的二次函数，‎ ‎，‎ 当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时的解集为，；‎ 当，时，，．‎ 当时，单调递减，单调递增，且．‎ 综上所述，的解集为，；‎ ‎（2）依题意得：在，恒成立，即在，恒成立，则只需，解得，‎ 故的取值范围是，．‎ ‎12．（2017•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1），，‎ 当时，，解得；‎ 当时，恒成立，故；‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）原式等价于存在使得成立，‎ 即，设．‎ 由（1）知，，‎ 当时，，其开口向下，对称轴方程为，‎ ‎；‎ 当时，，其开口向下，对称轴方程为，‎ ‎；‎ 当时，，其开口向下，对称轴方程为，‎ ‎（2）；‎ 综上，，‎ 的取值范围为，．‎ 强化训练 ‎1．（2020•安庆模拟）已知函数，则不等式的解集为　　‎ A． B． ‎ C．，， D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，‎ 作出函数与的图象如图，‎ 当时，由，得，‎ 再令，当时，该函数为增函数，而（1），‎ 时，函数与的图象的交点的横坐标为1，‎ 由对称性可得，时，函数与的图象的交点的横坐标为，‎ 由图可知，不等式的解集为，，．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•内江三模）已知函数，函数的定义域为．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求解不等式．‎ ‎【解析】（1），，‎ 的定义域为，‎ 恒成立，，‎ 的取值范围为，．‎ ‎（2）．‎ ‎，或或，‎ 或或，，‎ 不等式的解集为，．‎ ‎3．（2020•运城模拟）已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）时，‎ 当时，等价于，解得，‎ 当时，等价于，该不等式不成立，‎ 当时，等价于，解得 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）的解集包含，，‎ 即，时恒成立，即恒成立，‎ 即恒成立，即恒成立，‎ 所以，解得或 所以的取值范围是．‎ ‎4．（2020•东湖区校级模拟）已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值．‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ ‎，或或，‎ 或或，，‎ 不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，令，则或，‎ 又由，得，‎ 的图象与轴围成的三角形面积等于6，‎ ‎，‎ 解得或（舍．‎ ‎5．（2020•安徽模拟）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式；‎ ‎（2）对任意．关于的不等式总有解，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由已知，不等式即为，‎ 则或或 解得或或，‎ 故不等式的解集为，．‎ ‎（2）对任意．关于的不等式总有解，‎ 而，当且仅当，即时取得最小值．‎ 又（当且仅当时取等号），‎ 故只需，解得，即实数的取值范围为．‎ ‎6．（2020•碑林区校级模拟）已知，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）求（2）（3）的最小值．‎ ‎【解析】（1）当时，‎ ‎．‎ ‎，或，‎ 或，，‎ 不等式的解集为．‎ ‎（2）（2）（3）‎ ‎，‎ 关于的函数（2）（3）在上单的递减，在上单的递增，‎ 当时，（2）（3）的最小值为．‎ ‎7．（2020•松原模拟）已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对任意成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ ‎，或或，‎ ‎，不等式的解集为．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 又对任意成立，‎ ‎，，，‎ 实数 的取值范围是，．‎ ‎8．（2020•来宾模拟）设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集不为空集，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1），，‎ 或或，‎ 或或，‎ 不等式的解集为或或．‎ ‎（2）的解集不为空集 等价于恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎，‎ ‎， 或，‎ 或，‎ 的取值范围为，，．‎ ‎9．（2020•鼓楼区校级模拟）已知．‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）若，则，‎ 故（2）；‎ ‎（2）令得，‎ 此时，‎ 所以，．‎ ‎10．（2020•青羊区校级模拟）已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题知，‎ 当时，，‎ 解得，‎ 当时，即，‎ 解得，‎ 当时，即，无解，‎ 综上可得．‎ ‎（2）（当且仅当时取等号），‎ 令，‎ 时，，‎ 要使不等式恒成立，只需，即．‎ ‎11．（2020•东湖区校级模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，‎ 因为，所以①当时，则，解得，即；‎ ‎②当时，则，无解；‎ ‎③当时，则，解得，‎ 综上，，即解集为：．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 当 时，，‎ 当 时，，‎ 当 时，，‎ 综上，，‎ 画出函数 的图象如图所示：‎ 则 与 轴围成的 三个顶点分别为：‎ ‎，‎ 由题设可得：，‎ 化简得，‎ 解得 或 不合题意，舍去 故的值是．‎ ‎12．（2020•让胡路区校级三模）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题意得．‎ ‎①当时，不等式可化为，解得，所以．‎ ‎②当时，不等式可化为，解得，所以．‎ ‎③当时，不等式可化为，解得，所以．‎ 综上可得不等式的解集为．‎ ‎（2）由（1）知，对于任意，，且当时取等号，‎ 所以的最大值为2．‎ 关于的不等式的解集不是空集，‎ 则．解得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎13．（2020•吉林四模）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与曲线仅有1个公共点，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 故不等式的解集是；‎ ‎（2）作出的图象，如图示：‎ 直线过原点，当此直线经过点时，，‎ 当此直线与直线平行时，，‎ 结合的图象的对称性可得的取值范围是，，，．‎