高考北京理科数学试题及答案解析

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高考北京理科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(理科)‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)【2015年北京,理1】复数( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎(2)【2015年北京,理2】若,满足则的最大值为( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,当 ,,故选D.‎ ‎(3)【2015年北京,理3】执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,结束,输出,故选B.‎ ‎(4)【2015年北京,理4】设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”‎ 的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】不能推出,而,,“”是“”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎(5)【2015年北京,理5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知,面ABC,,,‎ ‎,,,,‎ 故选C.‎ ‎(6)【2015年北京,理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是( )‎ ‎(A)若,则 (B)若,则 ‎ ‎(C)若,则 (D)若,则 ‎【答案】C ‎【解析】,,所以,,故选C.‎ ‎(7)【2015年北京,理7】如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知:,当时,.时,单调 递减,单调递增,当时,,‎ 的解集为,故选C.‎ ‎(8)【2015年北京,理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,‎ 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是( )‎ ‎(A)消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 ‎ ‎(B)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 ‎ ‎(C)甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 ‎ ‎(D)某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车 更省油 ‎【答案】D ‎【解析】由图可知,对乙车存在一个速度,使燃油效率高于5,A错;由图知,当以的速度行驶时,甲车燃油效率最高,行驶相同路程时,耗油最少,B错;甲车以行驶1小时耗油8升,故C错在限速,相同情况下,丙车燃油效率较乙车高,所以乙车更省油,故选D.‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)【2015年北京,理9】在的展开式中,的系数为 .(用数字作答)‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】,当时,系数为.‎ ‎(10)【2015年北京,理10】已知双曲线的一条渐近线为,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,所以.‎ ‎(11)【2015年北京,理11】在极坐标系中,点到直线的距离为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直线方程为,点为,所以点到直线方程的距离为.‎ ‎(12)【2015年北京,理12】在中,,,,则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】.‎ ‎(13)【2015年北京,理13】在中,点,满足,.若,则 ;_______.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】,所以.‎ ‎(14)【2015年北京,理14】设函数①若,则的最小值为 ;②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】;.‎ ‎【解析】①当时,,‎ 时,,时,,所以;‎ ‎②(Ⅰ)当时,没有两个零点,‎ ‎ (Ⅱ)当时,时,,有一个零点;‎ 时,;‎ 当,即时,恰有两个零点,所以当时,恰有两个零点;‎ ‎ (Ⅲ)当时,时,,有一个零点;‎ 时,,,有两个零点,‎ 此时有三个零点;‎ ‎(Ⅳ)当时,时,无零点;时,有两个零点,此时有两个零点.‎ 综上所述.‎ ‎ 三、解答题:共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎(15)【2015年北京,理15】(本小题满分13分)已知函数. ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最小值.‎ 解:(Ⅰ),周期.‎ ‎ (Ⅱ)最小值为.‎ ‎(16)【2015年北京,理16】(本小题满分13分),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:‎ 组:10,11,12,13,14,15,16‎ 组:12,13,15,16,17,14,‎ 假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人 记为乙.‎ ‎(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;‎ ‎(Ⅱ)如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;‎ ‎(Ⅲ)当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)‎ 解:(Ⅰ)记甲康复时间不小于14天为事件.则,所以甲康复时间不小于14天的概率为.‎ ‎(Ⅱ)记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件.‎ 基本事件空间如下表 乙 甲 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎12‎ 短 短 短 长 长 长 长 ‎13‎ 短 短 短 短 长 长 长 ‎14‎ 短 短 短 短 短 长 长 ‎15‎ 短 短 短 短 短 短 长 ‎16‎ 短 短 短 短 短 短 短 ‎17‎ 短 短 短 短 短 短 短 ‎25‎ 短 短 短 短 短 短 短 所以.‎ ‎(Ⅲ)或 由于组为公差为1的等差数列,所以当或时组也为公差为1的等差数列,所以方差一定相等,而方差相等的方程是关于的一个一元二次方程,故最多有两个解,所以只有或两个值.‎ ‎(17)【2015年北京,理17】(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,为等边 三角形,平面平面,,,,,‎ 为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)若平面,求的值.‎ 解:(Ⅰ)证明:为等边三角形,为中点,‎ 又平面平面,平面平面,‎ 平面,。‎ ‎(Ⅱ)以为原点建立如图坐标系,,,‎ ‎,,‎ 平面的法向量;设平面的法向量,‎ 则,取,‎ ‎,‎ 又二面角为钝角,二面角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)平面,,,‎ ‎,解得(舍)或.‎ ‎(18)【2015年北京,理18】(本小题满分13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,;‎ ‎(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.‎ 解:(Ⅰ), 又,‎ 所以,切线方程为,即.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎,‎ 又因为,所以,所以在上是增函数,‎ 又,故,所以.‎ ‎(Ⅲ),设 ,,,‎ ‎,函数是单调递增,显然成立。‎ 当时,令,得,‎ ‎—‎ ‎+‎ 极值 ‎,显然不成立,由此可知最大值为2.‎ ‎(19)【2015年北京,理19】(本小题满分14分)已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);‎ ‎(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(Ⅰ)由题意知,,又,解得,‎ 所以的方程为.的斜率,所以方程,令,解得,所以.‎ ‎(Ⅱ),同(Ⅰ)可得,,‎ ‎,因为所以,设则即,‎ 又在椭圆上,所以,即,所以,故存在使得.‎ ‎(20)【2015年北京,理20】(本题满分13分)已知数列满足:,,且 ‎,记集合.‎ ‎(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;‎ ‎(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.‎ 解:(Ⅰ)6,12,24.‎ ‎(Ⅱ)若存在是的倍数,设,‎ ‎ 当时,,也是的倍数;‎ ‎ 当时,,也是的倍数.‎ ‎ 综上,是的倍数,依次类推,当时,是的倍数;‎ 若存在是的倍数,设,‎ 当时,,因为,所以也是的倍数;‎ ‎ 当时,,因为,所以也是的倍数;.‎ ‎ 综上,是的倍数,依次类推,当时,是的倍数;所以原结论成立.‎ ‎(Ⅲ)当时,将代入,‎ 依次得到,,,,,,,,‎ ‎ 所以当时,,此时,共个元素.‎ ‎ 由题意,可取的值有,,,共个元素,‎ ‎ 显然,不论为何值,必为的倍数,所以,‎ ‎① 当时,,此时最多有个元素;‎ ‎② 当时,,此时最多有个元素;‎ ‎③ 当时,,此时最多有个元素;‎ ‎ 所以集合的元素个数的最大值为.‎
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