高考北京理科数学试题及答案解析

高考北京理科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（理科）‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）【2015年北京，理1】复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎（2）【2015年北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）‎ ‎（A）0 （B）1 （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，当 ，，故选D．‎ ‎（3）【2015年北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，结束，输出，故选B．‎ ‎（4）【2015年北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”‎ 的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】不能推出，而，，“”是“”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎（5）【2015年北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知，面ABC，，，‎ ‎,，，，‎ 故选C．‎ ‎（6）【2015年北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ ‎（A）若，则 （B）若，则 ‎ ‎（C）若，则 （D）若，则 ‎【答案】C ‎【解析】，，所以，，故选C．‎ ‎（7）【2015年北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知：，当时，．时，单调 递减，单调递增，当时，，‎ 的解集为，故选C．‎ ‎（8）【2015年北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，‎ 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是（ ）‎ ‎（A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 ‎ ‎（B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 ‎ ‎（C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 ‎ ‎（D）某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车 更省油 ‎【答案】D ‎【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，A错；由图知，当以的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以行驶1小时耗油8升，故C错在限速，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D．‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）【2015年北京，理9】在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】，当时，系数为．‎ ‎（10）【2015年北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，所以．‎ ‎（11）【2015年北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直线方程为，点为，所以点到直线方程的距离为．‎ ‎（12）【2015年北京，理12】在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】．‎ ‎（13）【2015年北京，理13】在中，点，满足，．若，则 ；_______．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎（14）【2015年北京，理14】设函数①若，则的最小值为 ；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】；．‎ ‎【解析】①当时，，‎ 时，，时，，所以；‎ ‎②（Ⅰ）当时，没有两个零点，‎ ‎ （Ⅱ）当时，时，，有一个零点；‎ 时，；‎ 当，即时，恰有两个零点，所以当时，恰有两个零点；‎ ‎ （Ⅲ）当时，时，，有一个零点；‎ 时，，，有两个零点，‎ 此时有三个零点；‎ ‎（Ⅳ）当时，时，无零点；时，有两个零点，此时有两个零点．‎ 综上所述．‎ ‎ 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（15）【2015年北京，理15】（本小题满分13分）已知函数． ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值．‎ 解：（Ⅰ），周期．‎ ‎ （Ⅱ）最小值为．‎ ‎（16）【2015年北京，理16】（本小题满分13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：‎ 组：10，11，12，13，14，15，16‎ 组：12，13，15，16，17，14，‎ 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人 记为乙．‎ ‎（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）‎ 解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件．则，所以甲康复时间不小于14天的概率为．‎ ‎（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件．‎ 基本事件空间如下表 乙 甲 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎12‎ 短 短 短 长 长 长 长 ‎13‎ 短 短 短 短 长 长 长 ‎14‎ 短 短 短 短 短 长 长 ‎15‎ 短 短 短 短 短 短 长 ‎16‎ 短 短 短 短 短 短 短 ‎17‎ 短 短 短 短 短 短 短 ‎25‎ 短 短 短 短 短 短 短 所以．‎ ‎（Ⅲ）或 由于组为公差为1的等差数列，所以当或时组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有或两个值．‎ ‎（17）【2015年北京，理17】（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为等边 三角形，平面平面，，，，，‎ 为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若平面，求的值．‎ 解：（Ⅰ）证明：为等边三角形，为中点，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，。‎ ‎（Ⅱ）以为原点建立如图坐标系，，，‎ ‎，，‎ 平面的法向量；设平面的法向量，‎ 则，取，‎ ‎，‎ 又二面角为钝角，二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）平面，，，‎ ‎，解得（舍）或．‎ ‎（18）【2015年北京，理18】（本小题满分13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．‎ 解：（Ⅰ）， 又，‎ 所以，切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 又因为，所以，所以在上是增函数，‎ 又，故，所以．‎ ‎（Ⅲ），设 ，，，‎ ‎，函数是单调递增，显然成立。‎ 当时，令，得，‎ ‎—‎ ‎+‎ 极值 ‎，显然不成立，由此可知最大值为2．‎ ‎（19）【2015年北京，理19】（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，‎ 所以的方程为．的斜率，所以方程，令，解得，所以．‎ ‎（Ⅱ），同（Ⅰ）可得，，‎ ‎，因为所以，设则即，‎ 又在椭圆上，所以，即，所以，故存在使得．‎ ‎（20）【2015年北京，理20】（本题满分13分）已知数列满足：，，且 ‎，记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ 解：（Ⅰ）6，12，24．‎ ‎（Ⅱ）若存在是的倍数，设，‎ ‎ 当时，，也是的倍数；‎ ‎ 当时，，也是的倍数．‎ ‎ 综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；‎ 若存在是的倍数，设，‎ 当时，，因为，所以也是的倍数；‎ ‎ 当时，，因为，所以也是的倍数；．‎ ‎ 综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；所以原结论成立．‎ ‎（Ⅲ）当时，将代入，‎ 依次得到，，，，，，，，‎ ‎ 所以当时，，此时，共个元素．‎ ‎ 由题意，可取的值有，，，共个元素，‎ ‎ 显然，不论为何值，必为的倍数，所以，‎ ‎① 当时，，此时最多有个元素；‎ ‎② 当时，，此时最多有个元素；‎ ‎③ 当时，，此时最多有个元素；‎ ‎ 所以集合的元素个数的最大值为．‎