高考数学合情推理与演绎推理

高考数学合情推理与演绎推理

推理与证明 第一节 合情推理与演绎推理 ‎1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).‎ 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。‎ 归纳推理的一般步骤：‎ 通过观察个别情况发现某些相同的性质 ‎ 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）‎ 证明 ‎2、类比推理 由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．‎ ‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 类比推理的一般步骤：‎ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；‎ ‎ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；‎ 检验猜想。‎ ‎3、演绎推理 ‎ 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎“三段论”是演绎推理的一般模式，‎ 包括　‎ ‎　 大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　‎ 小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　‎ 结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ 题型一 用归纳推理发现规律 例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。‎ ‎；；；.‎ 解析：猜想：‎ 证明：左边=‎ ‎==右边 注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”‎ ‎（1）先猜后证是一种常见题型 ‎（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）‎ 题型二 用类比推理猜想新的命题 例2：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.‎ 解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高 注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 ‎（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等 ‎（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。‎ ‎（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理 例3 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入 中的某个字母）‎ 解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多 注：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到 ‎1.下列说法正确的是 （ ）‎ ‎ A.类比推理是由特殊到一般的推理 ‎ B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 ‎ D.合情推理可以作为证明的步骤 ‎ ‎ 答案： C ‎2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）‎ A．使用了归纳推理 ‎ B．使用了类比推理 ‎ C．使用了“三段论”，但大前提错误 ‎ D．使用了“三段论”，但小前提错误 答案：C 填空题 ‎3.已知 ，考察下列式子：；；‎ ‎. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 答案：‎ ‎4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．‎ ‎[解析] （见高三复习 步步高）‎ 解法的类比（特殊化）‎ 易得两个正方体重叠部分的体积为 ‎5.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 ‎ ‎ [解析] ‎ ‎6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.‎ 答案；；‎ ‎7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．‎ 类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；‎ ‎（2） 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．‎ 答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；‎ ‎（2）； ‎ ‎8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 ‎ ‎ 答案：‎ 解答题 ‎9.（1）已知等差数列，（），‎ 求证：仍为等差数列；‎ ‎（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．‎ ‎ [解析]（1），，‎ 为等差数列为常数，所以仍为等差数列；‎ ‎（2）类比命题：若为等比数列，（），，则为等比数列 证明：，为常数，为等比数列 ‎10．将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。‎ ‎（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.‎ ‎（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.‎ ‎ 解析：(1)对于，令得<‎ ‎(2) ,所以g(x)∈M ‎2、直接证明与间接证明 三种证明方法的定义与步骤：‎ ‎1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。‎ ‎2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。‎ ‎3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.‎ 反证法法证明一个命题的一般步骤：‎ ‎(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 ‎ ‎(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题 ‎ 例1 ：对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．‎ ‎(1) 若函数为理想函数，求的值；‎ ‎(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；‎ ‎ 解析：（1）取可得． ‎ 又由条件①，故． ‎ ‎（2）显然在[0，1]满足条件①； ‎ 也满足条件②．若，，，则 ‎ ，即满足条件③， ‎ ‎ 故理想函数． ‎ 注：紧扣定义，证明函数（）满足三个条件 题型二：用分析法证明数学命题 例2：已知：，求证：.‎ 证明：∵ ∴ 要证 ，‎ 去分母后需要证：（1－a）+4a≥9a（1—a），‎ 移项合并同类项，即需要证：9—6a+1≥0，‎ 即要证；…………（1）‎ 而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。‎ 题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假 例3 ：已知，证明方程没有负数根 解析：假设是的负数根，则且且 ‎，解得，这与矛盾，‎ 故方程没有负数根 注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。‎ 选择题 ‎1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.‎ ‎ A、假设都是偶数 B、假设都不是偶数 ‎ C、假设中至多有一个偶数 D、假设中至多有两个偶数 A B C x y P O F E 答案；B ‎2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）‎ A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. ‎ 钝角三角形 D. 不能确定 答案： B ‎3.已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）‎ A.（0，） B（0，） C. （0，） D. （0，）‎ 提示；x∈（0，），由得出结论。‎ 填空题 ‎4．若，则=____________.‎ 答案：500‎ ‎5. 如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( )。‎ 答案：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎………………‎ ‎6．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ‎ 答案：。‎ 解答题 ‎7. 若且，求证：‎ ‎[解析]要证，只需证 即，因，只需证 即，‎ 设，则 成立，从而成立 ‎8.在锐角三角形中,求证:‎ ‎[解析]为锐角三角形，，‎ 在上是增函数，‎ 同理可得，‎ ‎9. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行 ‎[解析]假设，则，‎ 不平行，，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立 ‎10. 已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、、不可能成等差数列 ‎[解析] a、b、c成等差数列，‎ 假设、、成等差数列，则，从而与矛盾，、、不可能成等差数列 ‎11. 已知证明： ‎ ‎[解析] 即证： ‎ 设.‎ 当x∈（-1，0）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；‎ 当x∈（0，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；‎ ‎∴x=0为k(x)的极大值点，‎ ‎∴k(x)≤k(0)=0.‎ 即 ‎12. 已知函数，， 的最小值恰好是方程的三个根，其中．求证：；‎ ‎[解析] 三个函数的最小值依次为，，， ‎ 由，得 ‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ 故方程的两根是，．‎ 故，． ，即 ‎∴ ．‎