全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理
2004 年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）
一、选择题
1.(2004 全国 I,理 7 文 7) 椭圆x2
4+y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线
与椭圆相交,一个交点为 P,则 2| |PF
=( )
A． 3
2 B． 3 C．7
2 D．4
【答案】C.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆
锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.
椭圆、双曲线的通径长为2b2
a .本题中|PF1|=b2
a =1
2,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴
|PF2|=4-1
2=7
2.
2.(2004 全国 I,理 8 文 8)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与
抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）
A．[-1
2,1
2] B．[-2,2] C．[-1,1] D．[-4,4]
【答案】C.
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.
Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程，消去 y 整理得：
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
由△=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,
解得 -1≤k≤1.
3.(2004 全国 III、广西,理 7 文 8)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y=±1
2x,则
该双曲线的离心率 e=( )
A．5 B． 5 C． 5
2 D．5
4
【答案】C.
【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在 x 轴上,
两条渐近线为 y=±1
2x,∴b
a=1
2,即 a=2b,∴c= a2+b2= 5b,故该双曲线的离心率 e=c
a= 5
2 .
4.(2004 全国 IV,理 8)已知椭圆的中心在原点,离心率 e=1
2,且它的一个焦点与抛物线
y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( )
A.x2
4+y2
3=1 B. x2
8+y2
6=1 C.x2
2+y2=1 D.x2
4+y2=1
【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.
∵抛物线焦点为(-1,0),∴c=1,又 e=1
2
，∴a=2,∴b2=a2-c2=3,故椭圆方程为x2
4+y2
3=1.
5.(2004 江苏,5)若双曲线x2
8
-y2
b2=1的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的
离心率为( )
A. 2 B.2 2 C.4 D.4 2
【答案】A.
【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.
∵抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2,双曲线x2
8
-y2
b2=1的一条准线方程为 x= 8
8+b2,
∴2= 8
8+b2,解得 b2=8,∴c= a2+b2=4
∴e=c
a= 4
2 2
= 2.
6.(2004 天津,理 4 文 5)设 P 是双曲线
2 2
2 19
x y
a
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】C.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质.
∵双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,
∴a2=4.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=4,∵|PF1|=3,∴|PF2|=7.
7.(2004 广东,8)若双曲线 2x2-y2=k (k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是 2,则 k=
（ ）
A.6 B. 8 C. 1 D.4
【答案】A.
【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准
方程为 x2
k
2
-y2
k =1,
∵a2=k
2,b2=k,∴c2=3k
2 .
焦点到准线的距离 2=c-a2
c ,即 2=
k
3k
2
,
解得 k=6.
8.(2004 福建,理 4 文 4)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于 A、B 两点，若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A. 3
3 B. 2
3 C. 2
2 D. 3
2
【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为x2
a2+y2
b2=1,
则过 F1 且与椭圆长轴垂直的统弦 AB=2b2
a .若△ABF2 是正三角形,则 2c= 2b2
a · 3
2 ,即
3a2-2ac- 3c2=0,(a- 3c)( 3a-c)=0,∴e=c
a= 3
3 .
9.(2004 福建,理 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C
地在 B 地的北偏东 300 方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)
BA
Q
P
C
M
东
北 E
G H
D
上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码
头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元
/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元
C. (2 7+1)a 万元 D.(2 3+3)a 万元
【答案】B.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问
题的能力.设总费用为 y 万元,则
y=a·MB+2a·MC
∵河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,
∴曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.
过 M 作双曲线的焦点 B 对应的准线 l 的垂线,垂足为 D(如图).由双曲线的第二定义,
得MB
MD=e,即 MB=2MD.
∴y= a·2MD+ 2a·MC=2a·(MD+MC)≥2a·CE.(其中 CE 是点 C 到准线 l 的垂线段).
∵CE=GB+BH
=(c-a2
c )+BC·cos600=(2-1
2)+2×1
2=5
2.
∴y≥5a(万元).
10.(2004 福建,文 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300 方
向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在
曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,
从 M 到 B、C 两地修建公路的费用都 a 万元/km,那么修建这两
条公路的总费用最低是( )
A.( 7+1)a 万元 B.(2 7-2)a 万元
C.2 7a 万元 D.( 7-1)a 万元
【答案】B.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所
学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y 万元,则
y=a·(MB+MC)
∵河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,
∴曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.
由双曲线第一定义,得 MA-MB=2a,
即 MB=MA-2,
∴y= a·(MA+MC-2)≥a·AC.
以直线 AB 为 x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-2,0),C(3, 3).
∴AC= (3+2)2+( 3)2=2 7,
故 y≥(2 7-2)a(万元).
11.(2004 湖北,理 6)已知椭圆x2
16+y2
9=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、
F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( )
A．9
5 B．3 C．9 7
7 D．9
4
【答案】D.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F1、F2 是一个直角三角形的三
BA
Q
P C
M
东
北
个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若 P 为直角顶点，则 PF12＋PF22=F1F22,即 PF12＋
PF22=(2 7 )2, 又 PF1 ＋ PF2=2a=8, ∴ PF1·PF2=18. 在 Rt △ PF1F2 中 ,P 到 x 轴 的 距 离
h= 18
2 7
=9 7
7 ,但9 7
7 >b=3,不合题意，舍去.由对称性，F1、F2 之一为直角顶点（不妨设
F2 为直角），则 PF2=b2
a =9
4.
12.(2004 浙江,文 6 理 4)曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是( )
A.y2=84x B.y2=4x8
C.y2=164x D.y2=4x16
【答案】C
【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为 P(x,y),其关于 x=2 对称的点的坐标为
Q(4-x,y),把它代入 y2=4x 并化简,得 y2=164x．
13.(2004 浙江,理 9) 若椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2
被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为( )
A. 16
17
B. 4 17
17 C. 4
5
D. 2 5
5
【答案】D.
【解析】抛物线 y2=2bx 的焦点为 F( 2
b ,0),∵F1(－c,0),F2(c,0),|F1F|：|FF2|=5：3,∴
52
3
2
b c
bc
,化简,得 c=2b,即 2 22c a c ,两边平方并化简得 4a2＝5c2,∴
2
2
2
4
5
ce
a
,
∴ 2 5
5e
14.(2004 年浙江,文 11) 若椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段
F1F2 被点( 2
b ,0)分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为( )
A. 16
17
B. 4 17
17
C. 4
5
D. 2 5
5
【答案】D
【解析】见上题．
15.(2004 湖南,文 4 理 2)如果双曲线 11213
22
yx 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ,
那么点 P 到右准线的距离是( )
A．
5
13 B．13
C．5 D．
13
5
【答案】A
【解析】考查双曲线线的基本量的运算．
解： a = 13 , 5c ,由双曲线的第二定义,得 13 5
13
ced a
,∴d=13
5
.
16.(2004 重庆,文理 10) 已知双曲线
2 2
2 2 1,( 0, 0)x y a ba b
的左,右焦点分别为
1 2,F F ,点 P 在双曲线的右支上,且 1 2| | 4 | |PF PF ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
( )
A． 4
3 B． 5
3
C． 2 D． 7
3
【答案】A
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m-n=2a, m=4n,∴m= 8
3 a,n= 2
3 a,又 m-n<2c≤m+n,即 2a<2c
≤ 10
3 a,∴1
0 时 ,|FP1| ＝ 7 － 1,|FPn| ＝ 7 ＋ 1, ∴ d= 1| | | |
1
nFP FP
n
＝ 2
1n , ∵ n ≥ 21, ∴
10 10d ,同理,当 d＜0 时, 1 010 d ．故 d∈ 1 1[ ,0) (0, ]10 10
．
26.(2004 湖南,文 15) F1,F2 是椭圆 C： 148
22
xx 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点
P 的个数为__________.
【答案】2
【解析】 2 2a , 2c , 2
2e ,设 P 0 0( , )x y ,则|PF1|= 2 2 + 0
2
2 x ,
|PF2|= 2 2 - 0
2
2 x ,
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即( 2 2 ＋ 0
2
2 x )2＋( 2 2 - 0
2
2 x )2=16,解得 0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两
顶点使 PF1⊥PF2．
27.(2004 重 庆 , 理 16) 对 任 意 实 数 k, 直 线 ： y kx b 与 椭 圆 ：
3 2cos (0 2 )
1 4sin
x
y
恒有公共点,则 b 取值范围是 .
【答案】[-1,3]
【 解 析 】 ∵ 直 线 y kx b 过 定 点 (0,b), 所 以 对 任 意 的 实 数 k, 它 与 椭 圆
2 2( 3) ( 1)
4 16
x y 1 恒 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 (0,b) 在 椭 圆 上 或 其 内 部 , ∴
2 2(0 3) ( 1) 14 16
b ,解得 1 3k .
28.(2004 北京春,理文 14)若直线 mx+ ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m,n 满足的
关系式为_______;以(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆x2
7+y2
3=1的公共点有
____个.
【答案】0 3,解得 00)的准线方程为 x=-p
2.
30.(2004 上海春,4)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交抛物线于 A、B 两
点,则以 F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以
及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛
物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等于 2p.
抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),因为 AB 为抛物线的通径,所以 AB＝4,即圆的半径为
2,故圆的方程是(x-1)2+y2=4.
31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它
与 x 轴、 y 轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______.
【答案】(x-3)2
9
+(y-2)2
4
=1.
【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭
圆方程可化为(x+3)2
9 +y2
4=1,因此椭圆的长半轴长为 3,短半轴长为 2.移后使椭圆与 x 轴、
y 轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在 y 轴上,下顶点在 x 轴上,又椭圆中心在第一象
限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为(x-3)2
9
+(y-2)2
4
=1.
三、解答题
32.(2004 全国 I,理 21 文 22)设双曲线 C：x2
a2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同
的点 A、B.
(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;
(II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 5 .12PA PB 求 a 的值.
【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基
本思想和综合解题能力.
解：(I)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组
2
2
2 1,
1.
x ya
x y
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
2
4 2 2
1 0.
4 8 (1 ) 0.
0 2 1.
a
a a a
a a
所以
解得 且
双曲线的离心率
2
2
1 1 1.
0 2 1,
6 22
ae a a
a a
e e
且
且
6( , 2) ( 2, ).2e 即离心率 的取值范围为
（II）设 1 1 2 2( , ), ( , ), (0,1)A x y B x y P
1 1 2 2
1 2
5 ,12
5( , 1) ( , 1).12
5 .12
PA PB
x y x y
x x
由此得
由于 x1+x2 都是方程①的根，且 1-a2≠0,
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
17 2 .12 1
5 2 .12 1
2 289, , 601
170, .13
ax a
ax a
ax a
a a
所以
消去 得
由 所以
33.(2004 全国 II,理 21 文 22)给定抛物线 C：y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C
相交于 A、B 两点.
(I)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 的夹角的大小；
(II)设 AFFB ,若 [4,9],求 l 在 y 轴上截距的变化范围.
【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、
思想和综合解题能力,
解：(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1.
将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得
x2-6x+1=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有
x1+x2=6,x1x2=1.
∴ 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )OA OB x y x y x x y y
1 2 1 22 ( ) 1 3.x x x x
2 2 2 2
1 1 2 2| || |OA OB x y x y
1 2 1 2 1 2[ 4( ) 16] 41.x x x x x x
∴ 3 14cos( , ) .41| | | |
OA OBOA OB
OA OB
故 OA 与 OB 夹角的大小为 -arccos3 14
41 .
(II)由题设 FB AF 得
(x2-1,y2)=(1-x1,-y1),
即 x2-1=(1-x1)， ①
y2=-y1， ②
由②得 y22=2y12,
∵y12=4x1, y22=4x2,∴x2=2x1, ③
联立①、③解得 x2=,依题意有 >0,
∴B(,2 ),或(,-2 ).
故直线 l 的方程为
( -1)y=2 (x-1)或( -1)=-2 (x-1).
当 [4,9]时,直线 l 在 y 轴上的截距为2
-1
或-2
-1
.
由 2
-1
= 2
+1
+ 2
-1,可知2
-1
在[4,9]上是递减的,
∴ 3 2 4 4 2 3, ,4 1 3 3 1 4
直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为
4 3 3 4[ , ] [ , ].3 4 4 3
34.(2004 全国 III、广西,理 21 文 22)设椭圆
2
2 11
x ym
的两个焦点是 F1(-c,0)与
F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点 P,使得直线 PF2 与直线 PF2 垂直.
(I)求实数 m 的取值范围；
(II)设 L 是相应于焦点 F2 的准线,直线 PF2 与 L 相交于点 Q.若|QF2|
|PF2|=2- 3,求直线 PF2
的方程.
【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.
解:(I)由题设有 m>0,c= m.设点 P 的坐标为(x0,y0),由 PF1⊥PF2,得
0 0
0 0
1,y y
x c x c
化简得 x02+y02=m. ①
将①与
2
20
0 11
x ym
联立,
解得
2
2 2
0 0
1 1, .mx ym m
由
2
2
0
10, 0, 1.mm x mm
得
所以 m 的取值范围是 m≥1.
(II)准线 L 的方程为 1,mx
m
设点 Q 的坐标为(x1,y1),则 1
1.mx
m
∴ 2 1
2 0 0
1
| | .| |
m mQF x c m
PF c x m x
②
将
2
0
1mx m
代入②,化简得
22
2
2
| | 1 1,| | 1
QF m mPF m m
由题设 2
2
| | 2 3| |
QF
PF
,得
2 1 2 3m m , 无解.
将
2
0
1mx m
代入②，化简得
22
2
2
| | 1 1.| | 1
QF m mPF m m
由题设 2
2
| | 2 3| |
QF
PF
,得
2 1 2 3m m .
解得 m=2.
从而 0 0
3 2, , 22 2x y c ,
得到 PF2 的方程 ( 3 2)( 2).y x
35.(2004 全国 IV,理 21 文 22)双曲线
2 2
2 2 1( 1, 0)x y a ba b
的焦点距为 2c,直线 l 过点
(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥4
5c,求双曲
线的离心率 e 的取值范围
【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.
解：直线 l 的方程为 1x y
a b
,即 bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离
1 2 2
( 1)b ad
a b
,
同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离
2 2 2
( 1)b ad
a b
∴ 1 2 2 2
2 2 .ab abs d d ca b
由 4 2 4, ,5 5
abs c cc
得 即
2 2 25 2 .a c a c
于是得
2 2 4 25 1 2 , 4 25 25 0.e e e e 即
解不等式,得 25 5.4 e
由于 e>1 所以 e 的取值范围是
5 5.2 e
36.(2004 江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为1
2,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0
的常数).
(I)求椭圆的方程；
(II)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M.若 2MQ QF ,求直
线 l 的斜率.
【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应
用 , 考 查 考 生 的 推 理 能 力 和 运 算 能 力 . 求 直 线 l 的 斜 率 , 要 充 分 利 用 条 件
“ 2MQ QF ”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分
点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为 k,用 k、m 表
示出 Q 点的坐标；最后由 Q 点在椭圆上,列方程即可求解.
解：(I)设所求椭圆方程为
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0).
由已知中,得 c=m, c
a=1
2,
所以 a=2m, b= 3m,
故所求椭圆方程是 x2
4m2+ y2
3m2=1.
(II)设 Q(x0,y0),直线 l:y=k(x+m),
则点 M(0,km).
当 2MQ QF 时,由于 F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得
x0=0-2m
1+2
=- 2m
3 , y0=km+0
1+2 =1
3km.
又点 Q 在椭圆上,∴
4m2
9
4m2
+
k2m2
9
3m2
=1,
解得 k=±2 6.
当 2MQ QF 时,
x0=0+(-2)×(-m)
1-2
=-2m, y0= km
1-2
=-km.
于是 4m2
4m2+k2m2
3m2 =1,
解得 k=0.
故直线 l 的斜率是 0 或±2 6.
37.(2004 北京,理 17)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分
别交抛物线于 A(x1.y1),B(x2,y2).
(I)求该抛物线上纵坐标为 p
2
的点到其焦点 F 的距离;
(II)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 1 2
0
y y
y
的值,并证明直线 AB 的斜率是
非零常数.
y
P
O x
A
B
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题
和解决问题的能力.
解:(I)当 y=p
2
时,x=p
8.
又抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=-p
2,由抛物线定义得,所求距离为 5( )8 2 8
p p p .
(II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB.
由 y12=2px1,y02=2px0,相减得:
1 0 1 0 1 0( )( ) 2 ( )y y y y p x x ,
故 1 0
1 0
1 0 1 0
2 ( )PA
y y pk x xx x y y
.
同理可得 2 0
2 0
2 ( )PB
pk x xy y
,
由 PA、PB 倾斜角互补知 PA PBk k
即
1 0 2 0
2 2p p
y y y y
,
所以 1 2 02y y y ,
故 1 2
0
2y y
y
.
设直线 AB 的斜率为 kAB,
由 2
2 22y px , 2
1 12y px ,相减得
2 1 2 1 2 1( )( ) 2 ( )y y y y p x x ,
所以 2 1
1 2
2 1 1 2
2 ( )AB
y y pk x xx x y y
.
将 1 2 0 02 ( 0)y y y y 代入得
1 2 0
2
AB
p pk y y y
,
所以 kAB 是非零常数.
38.(2004 北 京 , 文 17) 如 图 , 抛 物 线 关 于 x 轴 对 称 , 它 的 顶 点 在 坐 标 原 点 , 点
P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值
及直线 AB 的斜率.
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用
y
P
O x
A
B
解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px.
∵点 P(1,2)在抛物线上,
∴22=2p×1,得 p=2.
故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=－1.
(II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则
1
1
1
2 ( 1)2PA
yk xx
, 2
2
2
2 ( 1)1PB
yk xx
,
∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,
∴kPA=－kPB.
由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
2
1 14y x （1），
2
2 24y x （2）
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 11 14 4
2 ( 2)
4
y y
y y
y y
y y
由(1)－(2)得直线 AB 的斜率:
2 1
1 2
2 1 1 2
4 4 1( )4AB
y yk x xx x y y
.
39.(2004 天津,理 22 文 22)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 22 ,相应于焦点
F(c,0)(c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q
两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若 0OP OQ ,求直线 PQ 的方程；
(3)(理科做,文科不做)设 AP AQ ( 1 ),过点 P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交
于另一点 M，证明 FM FQ
.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，
曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
(1)解:由题意,可设椭圆的方程为
2 2
2 1( 2)2
x y aa
.
由已知得
2 2
2
2,
2( ).
a c
ac cc
,
解得 6, 2a c .
所以椭圆的方程为
2 2
16 2
x y ,离心率 6
3e .
(2)解:由(1)可得 A(3,0).
设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3).由方程组
2 2
1,6 2
( 3)
x y
y k x
得 2 2 2 2(3 1) 18 27 6 0k x k x k ,
依题意 212(2 3 ) 0k ,得
6 6
3 3k .
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,则
2
1 2 2
18
3 1
kx x k
①
2
1 2 2
27 6
3 1
kx x k
②
由直线 PQ 的方程得
1 1 2 2( 3), ( 3)y k x y k x ,
于是
2
1 2 1 2( 3)( 3)y y k x x
2
1 2 1 2[ 3( ) 9]k x x x x . ③
∵ 0OP OQ ,∴ 1 2 1 2 0x x y y . ④
由①②③④得 5k2=1,从而
5 6 6( , )5 3 3k .
所以直线 PQ 的方程为 5 3 0x y 或 5 3 0x y .
(3)(理科)证明:
1 1 2 2( 3, ), ( 3, )AP x y AQ x y
.
由已知得方程组
1 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 2
3 ( 3),
,
1,6 2
1.6 2
x x
y y
x y
x y
注意>1,解得 2
5 1
2x .
因 1 1(2,0), ( , )F M x y ,故
1 1 2 1( 2, ) ( ( 3) 1, )FM x y x y
1 2
1 1( , ) ( , )2 2y y .
而 2 2 2
1( 2, ) ( , )2FQ x y y
,所以
FM FQ
.
40.(2004 广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点
x
y
O
CP
AA B
N
的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他
两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m,试确定该巨响发生的位
置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)
【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的
能力.
解：如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
设 P(x,y)为巨响发生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,
故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=－x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,
故|PB|－|PA|=340×4=1360.
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线x2
a2
-y2
b2=1上,
依题意得 a=680,c=1020,
∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
故双曲线方程为 x2
6802
- y2
5×3402=1.
用 y=－x 代入上式,得 x=±680 5,
∵|PB|>|PA|,∴x=-680 5,y=680 5,
即 P(-680 5,680 5),
故 PO=680 10.
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10 m 处.
41.(2004 广东,22)设直线 l 与椭圆
2 2
125 16
x y 相交于 A、B 两点，l 又与双曲线 x2–y2=1
相交于 C、D 两点， C、D 三等分线段 AB. 求直线 l 的方程.
【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算
能力和综合解题能力.
解:首先讨论 l不与 x 轴垂直时的情况,设直线l 的方程为 y=kx+b,
如 图 所 示 ,l 与 椭 圆 、 双 曲 线 的 交 点 为 A(x1,y1),
B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
依题意有 , 3AC DB AB CD
,
由 2 2
,
125 16
y kx b
x y
,得
(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0①
∴x1+x2=- 50bk
16+25k2.
由 y=kx+b
x2-y2=1,得
(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②
若 k=±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1.
∴x3+x4= 2bk
1-k2,
由 AC DB x3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4
y
xOA
BD
C
l
- 50bk
16+25k2= 2bk
1-k2bk=0k=0 或 b=0.
(i)当 k=0 时,由①得 x1,2=±5
4 16-b2,
由②得 x3,4=± b2+1,
由 3AB CD x2-x1=3(x4-x3),即
10
4 16-b2=6 b2+1b=±16
13,
故 l 的方程为 y=±16
13.
(ii)当 b=0 时,由①得 x1,2=± 20
16+25k2,
由②得 x3,4=± 1
1-k2,
由 3AB CD x2-x1=3(x4-x3),即
40
16+25k2= 6
1-k2
k=±16
25,
故 l 的方程为 y=±16
25x.
再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.
设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
y1,2=±4
5 25-c2,y3,4=± c2-1,
由| AB
|=3| CD
||y2-y1|=3|y4-y3|,
即8
5 25-c2=6 c2-1c=±25 241
241 ,
故 l 的方程为 x=±25 241
241 .
综上所述,故 l 的方程为 y=±16
13
、y=±16
25x 和 x=±25 241
241 .
42.(2004 福建,理 22)如图,P 是抛物线 C：y=1
2x2 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交
于另一点 Q．
(I)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方
程；
(II)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求
|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|
的取值范围．
【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，
求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0.
由 y=1
2x2, ①
x
y
O
P l
S
TM
Q
得 y´=x.
∴过点 P 的切线的斜率 k 切=x1,
∴直线 l 的斜率 kl=- 1
k 切
=-1
x1
,
直线 l 的方程为
y-1
2x12=-1
x1
(x-x1). ②
方法 1：
联立①②消去 y,得
x2+2
x1
x-x12-2=0.
∵M 为 PQ 的中点，
∴
x0=x1+x2
2 =-1
x1
y0=1
2x12-1
x1
(x0-x1),
消去 x1,得 y0=x02+ 1
2x02+1(x0≠0),
∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 1
2x2+1(x≠0).
方法 2：
由 y1=1
2x12, y2=1
2x22,x0=x1+x2
2 ,得
y1-y2=1
2x12-1
2x22=1
2(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),
则 x0=y1-y2
x1-x2
=kl=-1
x1
,
∴x1=-1
x0
,
将上式代入②并整理,得
y0=x02+ 1
2x02+1(x0≠0),
∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 1
2x2+1(x≠0).
(II)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b).
分别过 P、Q 作 PP´⊥x 轴，QQ´⊥y 轴，垂足分别为 P´、Q´.
则|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=|OT|
|PP´|+ |OT|
|QQ´|=|b|
|y1|+|b|
|y2|.
由
y=1
2x2
y=kx+b
消去 x,得
y2-2(k2+b)y+b2=0 ③
则 y1+y2=2(k2+b)
y1y2=b2 ,
方法 1:
x
y
O
P l
S
TM
Q
P´Q´
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=|b|(1
y1
+1
y2
)≥2|b| 1
y1y2
=2|b| 1
b2=2.
∵y1,y2 可取一切不相等的正数，
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|
的取值范围是(2,+∞).
方法 2:
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=|b|y1+y2
y1y2
=|b|2(k2+b)
b2 .
当 b>0 时,|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=b·2(k2+b)
b2 =2k2
b +2>2;
当 b<0 时，|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=-b·2(k2+b)
b2 =2(k2+b)
-b .
又由方程③有两个相异实根，得
△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,
于是 k2+2b>0，即 k2>-2b,
所以|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|
＞2(-2b+b)
-b
=2.
∵当 b>0 时,2k2
b
可取一切正数，
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|
的取值范围是(2,+∞).
方法 3：
由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=kTP,
即 y2-b
x2
=y1-b
x1
,
则 x1y2-bx1=x2y1-bx2,
即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).
于是 b=
x2·1
2x12-x1·1
2x22
x2-x1
=-1
2x1x2,
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|=|b|
y1
+|b|
y2
=
|-1
2x1x2|
1
2x12
+
|-1
2x1x2|
1
2x22
=|x2
x1
|+|x1
x2
|≥2.
∵|x2
x1
|可取一切不等于 1 的正数，
∴|ST|
|SP|+|ST|
|SQ|
的取值范围是(2,+∞).
43.(2004 福建,文 21)如图，P 是抛物线 C：y=1
2x2 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C
在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q．
(I)当点 P 的横坐标为 2 时，求直线 l 的方程；
(II)当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方
程,并求点 M 到 x 轴的最短距离．
【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，
求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)把 x=2 代入 y=1
2x2,得 y=2,
∴点 P 坐标为(2,2).
由 y=1
2x2, ①
得 y´=x.
∴过点 P 的切线的斜率 k 切=2,
直线 l 的斜率 kl=- 1
k 切
=-1
2,
∴直线 l 的方程为
y-2=-1
2(x-2),
即 x+2y-6=0.
(II)设 P(x0,y0),则 y0=1
2x02.
∵过点 P 的切线斜率 k 切=x0,当 x0 时不合意，
∴x0≠0,∴直线 l 的斜率 kl=- 1
k 切
=-1
x0
,
直线 l 的方程为
y-1
2x02=-1
x0
(x-x0). ②
方法 1：
联立①②消去 y,得
x2+2
x0
x-x02-2=0.
设 Q(x1,y1),M(x,y),
∵M 为 PQ 的中点，
∴
x=x0+x1
2 =-1
x0
y0=-1
x0
(-1
x0
-x0)+1
2x02= 1
x02+x02
2 +1,
消去 x0,得 y=x2+ 1
2x2+1(x≠0),就是所求轨迹方程.
由 x≠0 知 x2>0,
∴y=x2+ 1
2x2+1≥2 2
2
1
2x x
+1≥ 2+1.
上式等号仅当 x2= 1
2x2,即 x= 4 1
2
时成立，
所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2+1.
方法 2：
x
y
O
P l
M
Q
设 Q(x1,y1),M(x,y),则
y0=1
2x02, y1=1
2x12,x=x0+x1
2 ,得
y0-y1=1
2x02-1
2x12=1
2(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1),
∴x=y0-y1
x0-x1
=kl=-1
x0
,
∴x0=-1
x,
将上式代入②并整理,得
y=x2+ 1
2x2+1(x≠0),
就是所求轨迹方程.
由 x≠0 知 x2>0,
∴y=x2+ 1
2x2+1≥2 2
2
1
2x x
+1≥ 2+1.
上式等号仅当 x2= 1
2x2,即 x= 4 1
2
时成立，
所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2+1.
44.(2004 湖北,理 20 文 20)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点
A、B.
（I）求实数 k 的取值范围；
（II）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，
求出 k 的值；若不存在，说明理由.
【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用
能力.
解：（Ⅰ）将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后，整理得：
2 2( 2) 2 2 0.k x kx ……①
依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故
2
2 2
2
2
2 0,
(2 ) 8( 2) 0,
2 02
2 0.2
2 2.
k
k k
k
k
k
k k
解得 的取值范围是
（Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),则由①式得
1 2 2
2 2 2
2 ,2
2 .2
kx x k
x x k
……②
假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0).则由 FA⊥
FB 得：
1 2 1 2
1 2 1 2
( )( ) 0.
( )( ) ( 1)( 1) 0.
x c x c y y
x c x c kx kx
即
整理得
2 2
1 2 1 2( 1) ( )( ) 1 0.k x x k c x x c ③
把②式及 c= 6
2
代入③式化简得
25 2 6 6 0.k k
解得 6 6
5k
6 6 ( 2, 2)( )5k 或 舍去
可知 6 6
5k 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.
45.(2004 浙江,文 22 理 21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P、Q 在双曲
线的右支上,点 M(m,0)到直线 AP 的距离为 1,
⑴若直线 AP 的斜率为 k,且|k|[ 3 , 33 ], 求实数 m 的取值范围；
⑵当 m= 2 +1 时,△APQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程.
O A x
y
【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线 AP 的方程 ( 1),y k x 即 0.kx y k 因为点 M 到直
线 AP 的距离为 1, ∴
2
1,
1
mk k
k
即
2
2
1 11 1km k k
.
∵ 3[ , 3],3k ∴ 2 3 1 2,3 m 解得 2 3
3 +1≤m≤3 或--1≤m≤1-- 2 3
3 .
O A x
y P
Q
M
∴m 的取值范围是 2 3 2 3[ 1,1 ] [1 ,3].3 3
(Ⅱ)可设双曲线方程为
2
2
2 1( 0),yx bb
由 ( 2 1,0), (1,0),M A 得 2AM .又因为 M
是ΔAPQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45º,直线 AM 是∠PAQ 的角平分线,且 M
到 AQ、PQ 的距离均为 1.因此, 1,1 AQAP kk (不妨设 P 在第一象限)直线 PQ 方程
为 2 2x .直线 AP 的方程 y=x-1,∴解得 P 的坐标是(2+ 2 ,1+ 2 ),将 P 点坐标代入
12
2
2
b
yx 得, 2 2 1
2 3
b
所以所求双曲线方程为 2 2( 2 3) 1,
2 1
x y
即 2 2(2 2 1) 1.x y
46.(2004 上海,文 20) 如图, 直线 y=
2
1 x 与抛物线 y=
8
1 x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的
垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点.
(1) 求点 Q 的坐标；
(2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方
(含 A、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.
B
A
O
Q
P
x
y
【解析】解:⑴解方程组
2
1
2
1 48
y x
y x
,得 4
2
x
y
或 8
4
x
y
,即 A(－4,－2),B(8,4), 从而
AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== 1
2 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y－1= 1
2
(x－2).令 y=－5,
得 x=5,
∴Q(5,－5)
(2) 直 线 OQ 的 方 程 为 x+y=0, 设 P(x, 1
8 x2 － 4).∵ 点 P 到 直 线 OQ 的 距 离
d=
21 48
2
x x
= 21 8 32
8 2
x x , 5 2OQ ,∴SΔOPQ ＝
2
1 OQ d ＝
25 8 3216 x x .∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴－
4≤x<4 3 －4 或 4 3 －40)作直线
与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点.
(I)设点 P 分有向线段 AB
所成的比为 ,证明: ( )QP QA QB ；
(II)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的
切线,求圆 C 的方程．
【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 ,mkxy 代入抛物线方程
yx 42 得 .0442 mkxx ① 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 是 ),( 11 yx 、
122 ),,( xyx 则 、x2 是方程①的两根.
所 以 .421 mxx 由 点 P(0,m) 分 有 向 线 段 AB 所 成 的 比 为 , 得
.,01 2
121
x
xxx
即 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,－
m),从而 (0,2 )QP m
.
1 1 2 2( , ) ( , )QA QB x y m x y m
=
1 2 1 2( , (1 ) ).x x y y m
1 2( ) 2 [ (1 ) ]QP QA QB m y y m
2 2
1 1 2 1
2 2
2 [ (1 ) ]4 4
x x x xm nx x
1 2
1 2
2
42 ( ) 4
x x mm x x x
1 2
2
4 42 ( ) 0.4
m mm x x x
所以 ( ).QP QA QB
(Ⅱ)由
,4
,0122
2 yx
yx 得点 A、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4).
由 yx 2 得 ,2
1,4
1 2 xyxy
所以抛物线 yx 42 在点 A 处切线的斜率为 36 xy
设圆 C 的方程是 2 2 2( ) ( ) ,x a y b r
则
2 2 2 2
9 1 ,3
( 6) ( 9) ( 4) ( 4) .
b
a b
a b a b
解之得 3
2a , 23
2b ,
2 2 2 125( 4) ( 4) .2r a b 所以圆 C 的方程是 2 23 23 125( ) ( ) ,2 2 2x y
即 2 2 3 23 72 0.x y x y
48.(2004 重庆,文理 21) 设 0p 是一常数,过点 (2 ,0)Q p 的直线与抛物线 2 2y px 交于
相异两点 A、B,以线段 AB 为直经作圆 H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周
上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.
A
H
x
y
B
y2=2px
O Q(2p,0)
【解析】解法一：由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为： 2ky x p .又
设 ( , ), ( , )A A B BA x y B x y ,则其坐标满足
2
2 ,
2 .
ky x p
y px
消去 x 得 2 22 4 0y pky p ,
由此得 2
2 ,
4 .
A B
A B
y y pk
y y p
,
2
2
2
2
4 ( ) (4 2 ) ,
( ) 4(2 )
A B A B
A B
A B
x x p k y y k p
y yx x pp
因此 0A B A BOA OB x x y y .
即 OA⊥OB．
故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H( HH yx , )是 AB 的中点,
故
2(2 ) ,2
.2
A B
H
A B
B
x xx k p
y yy kp
,
由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 2 2 4 2| | 5 4H HOH x y k k p .
从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小.
此时,直线 AB 的方程为：x=2p.
A
H
x
y
B
y2=2px
O Q(2p,0)
ay=x-2
解法二：由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为：ky=x－2p,
),(),,( BBAA yxByxA ,则其坐标满足
.2
,2
2 pxy
pxky
,分别消去 x,y 得
2 2
2 2 2
2 4 0,
2 ( 2) 4 0.
y pky p
x p k x p
故得 A、B 所在圆的方程 2 2 22 ( 2) 2 0.x y p k x pky
明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知 A、B 中点 H 的坐标为
2( , ) ((2 ) , ),2 2
A B A Bx x y y k p kp
故 2 2 2 2 2| | (2 )OH k p k p ,而前面圆的方程可表示为
2 2 2[ (2 ) ] ( )x k p y pk
＝ 2 2 2 2 2(2 )k p k p ,
故 |OH| 为 上 面 圆 的 半 径 R, 从 而 以 AB 为 直 径 的 圆 必 过 点 O(0,0). 又
2 2 4 2 2| | ( 5 4)R OH k k p ,
故当 k=0 时,R2 最小,从而圆的面积最小,此时直线 AB 的方程为：x=2p.
解法三：同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上,又直径|AB|= 2 2( ) ( )A B A Bx x y y
＝ 2 2 2 2
A B A Bx x y y
＝ 2 2 2 2A B A Bx x px px
2 4 4 .A B A Bx x p x x p
上式当 BA xx 时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线 AB 的方程为
x=2p.
49.(2004 辽宁,19) 设椭圆方程为 14
2
2 yx ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O
是坐标原点,点 P 满足 1 ( )2OP OA OB ,点 N 的坐标为 )2
1,2
1( ,当 l 绕点 M 旋转时,求：
(1)动点 P 的轨迹方程；
(2) || NP 的最小值与最大值.
【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以
及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
(1)解法一：直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 .1 kxy 记 ),( 11 yxA 、
),,( 22 yxB 由题设可得点 A、B 的坐标 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 是方程组 2
2
1 ①
1 ②
4
y kx
yx
的解. 将①代入 ②并化 简得, 2 2(4 ) 2 3 0k x kx ,所以
1 2 2
1 2 2
2 ,
4
8 .
4
kx x
k
y y
k
于是
1 ( )2OP OA OB ＝ 1 2 1 2( , )2 2
x x y y ＝ 2 2
4( , )
4 4
k
k k
．设点 P 的坐标为 ),,( yx 则
2
2
,4
4 .4
kx k
y k
消去参数 k 得 2 24 0x y y ③
当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为
.04 22 yyx
解法二：设点 P 的坐标为 ),( yx ,因 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 在椭圆上,所以
,14
2
12
1 yx ④ .14
2
22
2 yx ⑤ ④ — ⑤ 得 2 2 2 2
1 2 1 2
1 ( ) 04x x y y , 所 以
1 2 1 2 1 2 1 2
1( )( ) ( )( ) 0.4x x x x y y y y
当 21 xx 时,有 1 2
1 2 1 2
1 2
1 ( ) 0.4
y yx x y y x x
⑥,并且
1 2
1 2
1 2
1 2
,2
,2
1 .
x xx
y yy
y yy
x x x
⑦ 将
⑦代入⑥并整理得 .04 22 yyx ⑧
当 21 xx 时,点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点 P 的坐标为(0,0)也满足⑧,所以
点 P 的轨迹方程为
2
2
1( )2 1.1 1
16 4
yx
(2)解：由点 P 的轨迹方程知 2 1 1 1, .16 4 4x x 即 所以 2| |NP
＝ 2 21 1( ) ( )2 2x y ＝
2 21 1( ) 42 4x x ＝ 21 73( )6 12x ,故当 1
4x ,| |NP
取得最小值,最小值为 1 1;4 6x 当
时,| |NP
取得最大值,最大值为 21.6
