上海高三考数学解析几何高考考点解析

上海高三考数学解析几何高考考点解析

‎ 高考解析几何专题 ‎ ‎ ‎ “平面直线的方程”高考要求分析 ‎【知识点1】 直线的点法向式方程和点方向式方程 ‎【考试要求】掌握直线的点法向式方程和点方向式方程，认识坐标法在建立形与数关系中的作用。‎ ‎【解读说明】掌握两种题型，一是利用点法向式方程和点方向式方程解决求直线方程问题；二是会根据一般式方程求直线的法向量和方向向量。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 已知点和点是三角形的三个顶点，求AC边的垂直平分线的方程。‎ ‎【解析】所求直线的法向量是，利用点法向式求直线方程。‎ ‎【答案】‎ 2、 求过点且以直线的法向量为方向向量的直线方程。‎ ‎【解析】根据一般式方程求直线的法向量（3，-2），再利用点方向是方程求直线方程。‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 3、过抛物线的焦点，方向向量为的直线的一个点方向式方程是 ． ‎ ‎ 【解析】先根据抛物线方程求焦点坐标，然后写出点方向式方程。‎ 注意方程形式。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【知识点2】直线的一般式方程 ‎【考试要求】会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。‎ ‎【解读说明】能够根据一般式方程求直线法向量和方向向量，再就是会求直线的斜率及画直线。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 写出直线的一个方向向量和一个法向量。‎ ‎ 【答案】‎ 2、 光线由射到直线上，反射后过点，求反射光线所在直线的方程。‎ ‎ 【解析】根据物理原理，反射光线经过点Q和点P关于直线的对称点，所以只需求出这个对称点，然后根据两点坐标求直线方程。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【知识点3】直线的倾斜角与斜率 ‎【考试要求】掌握点斜式方程 ‎【解读说明】首先掌握直线倾斜角和斜率的概念和关系，会根据斜率求倾斜角或根据倾斜角求斜率，重点掌握利用点斜式求直线方程。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 直线的倾斜角是 ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ 2、求过点，且倾斜角为的直线方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【知识点3】两条直线的平行关系与垂直关系 ‎【考试要求】会通过直线方程判断两条直线平行或垂直。利用直线的法向量（或方向向量）讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时，它们的方程应满足的条件。‎ ‎【解读说明】教材上通过行列式的计算去判断直线的位置关系，避免了讨论斜率存在和不存在的情况。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 若直线平行，则_____． ‎ ‎ 【答案】-1‎ 2、 当为何值时，三条直线，，不能构成三角形？‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 3、已知点P（-1，1）和点Q（2，2）,若直线：与线段PQ不相交，则实数的取值范围是 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【知识点4】两条相交直线的交点与夹角 ‎【考试要求】会求两条相交直线的交点坐标与夹角。‎ ‎【解读说明】会利用夹角公式求直线方程。求方程时也要注意直线斜率存在和不存在的情况。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 直线，，若与的夹角为，则 ‎ ‎【答案】0或 ‎ 2、等腰直角三角形斜边所在直线方程为，直角顶点为C(4, －1)，求两条直角边所在直线方程。‎ ‎【答案】或 ‎【知识点5】点到直线的距离 ‎【考试要求】掌握点到直线的距离公式。‎ ‎【解读说明】点到直线距离公式在解决圆与直线位置关系问题是会用到，会灵活应用距离公式。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 已知直线，则的最小值为 ‎ ‎ 【答案】‎ 1、 与直线平行且距离为的直线方程为 ‎ ‎ 【答案】-1或7‎ ‎ 3、经过点(2, 1)，且与原点相距的直线方程为 ‎ ‎ 【答案】-1或-7‎ ‎ 4、已知两条平行线并且各自绕着A、B旋转始终保持平行，若间的距离为d，则当d取得最大值时直线的方程为 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5、若直线被两平行线与所截得线段的长为，则直线的倾斜角是 .‎ ‎ 【答案】 或 ‎ “曲线方程”高考要求分析 ‎【知识点6】曲线方程的概念 ‎【考试要求】理解曲线方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，会求曲线方程的一般方法和步骤，知道适当选取坐标系的意义，会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质的基本思想。‎ ‎【解读说明】掌握求曲线方程的几种类型，重点掌握结合后面圆锥曲线的定义求曲线的轨迹方程。对于求轨迹的一般方法也要会用，一般步骤：建 设 现 代 化。‎ ‎【举例说明】‎ ‎ 1、下列四组方程中， 组表示同一曲线 ‎ A. 与 B. 与 ‎ C．与 D. 与 ‎ 【答案】D ‎ 2、若曲线与有两个不同的交点，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】B ‎ 3、一动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则此动点的轨迹方程是 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 4、已知实数成等差数列，点在直线上的射影是Q，则Q的轨迹方程是_________________。 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5、在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ‎ 【答案】‎ ‎ 6、已知曲线C：和定点A（3，1），B为曲线C上任意一点，若，当点B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程。‎ ‎ 【解析】两个动点问题，其中一个在已知 曲线上动，利用代换法求轨迹方程。‎ ‎【答案】‎ 7、 已知定圆A：和定圆B：，有一动圆C，与圆A内切，与圆B外切，求动圆圆心C的轨迹方程。‎ ‎【解析】利用椭圆的定义求动点轨迹方程。‎ ‎【答案】‎ 8、 已知椭圆C：，分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，过右焦点做外角平分线的垂线，垂足为点T，求动点点T的轨迹方程。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 9、已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.‎ ‎（1）求点到线段的距离；‎ ‎（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示图形的面积；‎ ‎（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.‎ 对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.‎ ‎① ，，，.‎ ‎② ，，，.‎ ‎③ ，，，.‎ ‎【答案】解：（1）设是线段上任一点，‎ 则 ‎. ‎ ‎∴当时，. ‎ ‎（2）不妨设、为线段的两个端点， ‎ 则为线段、线段、半圆、半圆 所围成的区域. ‎ 这是因为对，则；‎ 而对，则；‎ 对，则. ‎ 于是所表示的图形面积为. ‎ ‎（3） ① 选择，，，，. ‎ ‎②选择，，，，‎ ‎ ③ 选择，，，，‎ ‎. ‎ ‎【知识点7】圆的标准方程与一般方程 ‎【考试要求】以直线与圆的位置关系为例，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。掌握圆的标准方程与一般方程。‎ ‎【解读说明】会根据圆的一般式方程求圆心，半径及画图，会解决圆与直线位置关系问题，重点是相切的问题，如求切线方程。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 直线被圆所截得的弦长为 ‎ ‎【答案】‎ 2、 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎ 3、已知实数满足，（1）求的最大值；（2）求的范围；（3）求的最小值。‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎ 4、已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，求四边形面积的最大值。‎ ‎ 【答案】 5 ‎ ‎ 5、方程为 的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【知识点8】椭圆的标准方程与几何性质 ‎【考试要求】掌握椭圆的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上椭圆的标准方程。‎ ‎【解读说明】掌握椭圆的定义和方程，会求椭圆的方程，椭圆的性质掌握两类题型，一种是利用性质求方程，一种是利用性质解决最值问题和一些综合问题。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 若椭圆的两个焦点为，椭圆的弦AB过点，且的周长为12，那么该椭圆的方程为 ‎ ‎ 【答案】‎ 2、 设椭圆的标准方程为，若其焦点在x轴上，则的取值范围是 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 3、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆方程。‎ ‎ 【答案】 ‎ 4、 在椭圆内有一点，弦AB的中点恰为点M，求弦AB所在直线的方程。‎ ‎ 【解析】中点弦问题的点差法。‎ ‎ 【答案】‎ 5、 若点M是椭圆上的一点，是焦点，若，求的面积。‎ ‎ 【解析】‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 6、已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是__________________‎ ‎ 【解析】椭圆定义和基本不等式的综合应用。‎ ‎ 【答案】 25‎ ‎ 7、已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．‎ ‎（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由． ‎ ‎ 【答案】解：（1）由题设及，得．（4分）‎ ‎（2）由题设，，又，得，，‎ 于是，故．‎ ‎（3）由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，[来源:Zxx 得，又，及，得点的坐标为，‎ 因为点在椭圆上，所以，又，得，‎ ‎，与矛盾,故不存在满足题意的直线．‎ ‎ 8、已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知,,是椭圆C上异于、的任意一点，直线、分别交y轴于、,求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若,,且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。 ‎ ‎【答案】 解：（1）、 ‎ 所以椭圆C的标准方程为。 ‎ ‎（2）设，直线 ‎ 令x=0，得：，§网]所以：=， ‎ ‎（3）， ‎ 又 ‎ 两正方形的面积和为当且仅当时，等式成立。‎ 两正方形的面积和的最小值为10，此时G、H。‎ ‎9、已知椭圆，常数、，且．‎ ‎（1）当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎（2）过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积；[来源:学_科_网Z__K]‎ ‎（3）求的最大值．‎ ‎【解析】利用函数单调性解决圆锥曲线中的最值问题。‎ ‎【答案】解　(1) ‎ ‎　　　． ‎ 设满足题意的点为．，‎ ‎∴，． ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 设点A．联立方程组于是是此方程的解，故 ‎ ‎(3) ．‎ 设，则． ‎ 理由：对任意两个实数 ‎　　　　　 ＝‎ ‎ ． ‎ ‎[来源:网]‎ ‎．‎ ‎∴，于是．‎ ‎．‎ ‎． ‎ ‎ 10、已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；[来源:学|科|网]‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎【答案】 解：（1），，椭圆方程为。‎ ‎（2），设，则。‎ 直线：，即 代入椭圆得 ‎。，。‎ ‎，‎ ‎（定值）。‎ ‎（3）设存在满足条件，则。‎ ‎，，‎ 则由得 ，从而得。‎ ‎ 存在满足条件。‎ ‎【知识点9】双曲线的标准方程与几何性质 ‎【考试要求】掌握双曲线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x轴上的双曲线的标准方程。‎ ‎【解读说明】掌握双曲线的定义和方程，对于双曲线的性质，首先要掌握双曲线的渐近线相关题型，根据渐近线去双曲线方程，再就是根据范围解决最值问题。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 等轴双曲线的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是 ‎ ‎ 【答案】‎ 2、 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程。‎ ‎ 【解析】考查双曲线的渐近线，掌握共渐近线问题的解决思路。‎ ‎ 【答案】‎ 3、 在中，已知，顶点A为动点，且满足，求动点A的轨迹方程。‎ ‎【答案】‎ 4、 斜率为2的直线被双曲线所截得的弦长为4，求直线 的方程。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5、设双曲线的半焦距为．已知原点到直线：的距离等于，则的最小值为_______‎ ‎ 【答案】 4‎ ‎ 6、若经过点且以为方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、，则实数的取值范围是 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎7、已知双曲线C：的一个焦点是，且。‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。‎ ‎（3）设（2）中直线与双曲线C的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1） ‎ ‎ 。 ‎ ‎（2） 由得 ‎ ‎ 由 得 即 ‎ ‎ ‎ 设，则 ‎ [来源:Zxxk ‎ ‎ ‎。 x#‎ ‎（3）, ,‎ ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ， ‎ ‎【知识点10】抛物线的标准方程与几何性质 ‎【考试要求】掌握抛物线的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上抛物线的标准方程。‎ ‎【解读说明】掌握抛物线的定义和方程，会解决直线和抛物线的综合问题。‎ ‎【举例说明】‎ 1、 若抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p= ‎ ‎【答案】4‎ 2、 经过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则AB的长为 ‎ ‎【答案】‎ 3、 若动点P到点的距离比到直线的距离少1，则动点P的轨迹方程是 ‎ ‎【答案】‎ ‎ 4、设抛物线上一点到该抛物线准线与直线的距离之和为，若取到最小值，则点的坐标为 . ‎ ‎ 【答案】‎ ‎ 5、设常数，对， 是平面上任意一点，定义运算“”：， ，.‎ ‎（1）若，求动点的轨迹C；‎ ‎（2）计算和，并说明其几何意义；‎ ‎（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点，使之满足且？若存在，求出的取值范围，并请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎ 【答案】解：（1）由可知：‎ ‎，所以轨迹C为抛物线在第一象限内的部分，包括原点；‎ ‎（2），‎ ‎， 分别表示P点到原点和到直线的距离；‎ ‎（3）设若存在为，则由且得，即， 即，‎ 所以的两个根.‎ 要使存在，必须，即，‎ ‎ 所以必须.‎ 当时，由于 ‎，即.‎ 或设，由 得介于之间，即.‎ 所以==‎ ‎==。‎ ‎ ‎ ‎ 6、 如图，平面上定点到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且．[来 ‎（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，‎ 已知，，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）方法一：如图，以线段的中点为原点，‎ 以线段所在的直线为轴建立直角坐标系．则，． ‎ 设动点的坐标为，则动点的坐标为 ‎，， ‎ 由，得，‎ 方法二：由得，．‎ 所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点 为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：．‎ ‎（2）方法一：如图，设直线的方程为，，，‎ 则. ]‎ 联立方程组消去得，‎ ‎，，故 ‎ 由，得，‎ ‎，，整理得，，，‎ ‎.‎ 方法二由已知，，得. 于是，， ① ‎ 如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，‎ 则有 ② 由①，②得 谢谢大家！‎