高考数学分类专题复习之空间角与距离

高考数学分类专题复习之空间角与距离

第二十四、二十五讲 空间角与距离 O a b ‎600‎ ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ C ）‎ A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎2．（江苏•理）正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是（ B ）‎ A． B． C．6 D．‎ ‎3．（全国Ⅰ•理）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．‎ ‎5．（四川•理）如图，在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC‎1A1所成的角是 ．‎ ‎6．在棱长为的正方体ABCD—A1B‎1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， ‎ ‎(1) 求直线A‎1C与DE所成的角；‎ ‎(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；‎ ‎(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。‎ ‎【专家解答】 ‎ ‎(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直 线AD于P，则（或补角）为异面直线A‎1C与 DE所成的角。在Δ中，易得 ‎，由余弦定理得。‎ 故异面直线A‎1C与DE所成的角为。‎ ‎（2）， ‎ ‎∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，∴DB1为∠EDF的平分线。故直线 AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1．在RtΔB1AD中，‎ 则。‎ 故直线AD与平面B1EDF所成的角为。‎ O ‎（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCD—A1B‎1C1D1的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。‎ 在RtΔDOE中，‎ 则由面积关系得。‎ 在RtΔOHM中。‎ 故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为 ‎★★★高考考什么 ‎【考点透视】‎ 异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.‎ ‎【热点透析】‎ ‎1．转化思想：‎ ‎① ‎ ‎② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 ‎ ‎2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 ‎3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 距离 ‎【考点透视】‎ 判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。‎ ‎【热点透析】 ‎ 转化思想：‎ ‎ ① ；‎ ‎② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，‎ 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。‎ ‎2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：‎ ‎①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影 ‎★★★高考将考什么 ‎【范例1】如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（III）求与平面所成角的最大值．‎ 解法一：‎ ‎（I）由题意，，，‎ 是二面角是直二面角，‎ 又二面角是直二面角，‎ ‎，又，‎ 平面，‎ 又平面．‎ 平面平面．‎ ‎（II）作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 又． 在中，．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）由（I）知，平面，‎ 是与平面所成的角，且．‎ 当最小时，最大，‎ 这时，，垂足为，，，‎ 与平面所成角的最大值为．‎ 解法二：‎ ‎（I）同解法一．‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）同解法一 ‎【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。‎ ‎【变式】如右下图,在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2． ‎ E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．‎ ‎(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值．‎ 解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故 设向量与平面C1DE垂直，则有 ‎（II）设EC1与FD1所成角为β，则 ‎【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。‎ ‎【范例2】如图，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；‎ 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．‎ 解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ A B C D O F 平面．‎ 连结，在正方形中，分别为 的中点， ， ．‎ 在正方形中，， 平面．‎ ‎（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．‎ ‎，‎ 为二面角的平面角．‎ 在中，由等面积法可求得，‎ 又， ．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）中，，．‎ 在正三棱柱中，到平面的距离为．‎ 设点到平面的距离为．‎ 由得， ．‎ 点到平面的距离为．‎ 解法二：（Ⅰ）取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 在正三棱柱中，平面平面， 平面．‎ 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ x z A B C D O F y ‎，，．‎ ‎，， ，． 平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为．‎ ‎，．‎ ‎，， ‎ 令得为平面的一个法向量．‎ 由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．‎ ‎，．‎ 二面角的大小为．‎ ‎【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。‎ ‎【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。‎ ‎（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。‎ 解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，‎ ‎，‎ 又平面ACD，故 又，且平面BCD ‎（2）因为BA=BC，，‎ 为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，‎ OF//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.‎ 作FH//BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD 在三角形EOF中，又，EO=1‎ 由余弦定理知 故异面直线BC与AD所成的角为 ‎【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。‎ ‎【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.‎ ‎（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小 解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD， ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A ‎∴DA⊥平面BPA于A, 过A作AO⊥PF于O，连结OD,‎ 则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。‎ 得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为 ‎（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A ‎∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,‎ ‎∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, ‎ 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450 ，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　‎ 解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形 得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两 面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中，PA=AD，‎ 则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。　‎ ‎【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。‎ ‎【范例4】如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点， ‎ ‎ （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；‎ ‎ （III）求点E到平面ACD的距离。‎ ‎ 方法一：‎ ‎ （I）证明：连结OC ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中，由已知可得 ‎ 而 ‎ ‎ 即 ‎ 平面 ‎ （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 ‎ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 ‎ 在中， ‎ ‎ 是直角斜边AC上的中线， ‎ ‎ 异面直线AB与CD所成角的大小为 ‎ （III）解：设点E到平面ACD的距离为 ‎ ‎ ‎ 在中， ‎ ‎ 而 ‎ ‎ 点E到平面ACD的距离为 ‎ 方法二：‎ ‎ （I）同方法一。‎ ‎ （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 异面直线AB与CD所成角的大小为 ‎ （III）解：设平面ACD的法向量为则 ‎ ‎ ‎ 令得是平面ACD的一个法向量。‎ ‎ 又 点E到平面ACD的距离 ‎ ‎ ‎【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。‎ ‎【变式】已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝‎2C1N．‎ ‎（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。‎ 解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，‎ M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，‎ 所以,,‎ 因为 所以,同法可得。‎ 故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角 ‎∴﹤﹥＝‎ 故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。‎ ‎（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得 ‎, 故可取 设与n的夹角为a，则。‎ 所以到平面AMN的距离为。‎ ‎【范例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC‎1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.‎ ‎（Ⅰ）求BF的长；‎ ‎（Ⅱ）求点C到平面AEC‎1F的距离.‎ 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.‎ ‎∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.‎ ‎∴DF=C1H=2. ‎ ‎（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，‎ 则平面AEC‎1F与平面ABCD相交于AG.‎ 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C‎1M，‎ 由三垂线定理可知AG⊥C‎1M.由于AG⊥面C1MC，‎ 且AG面AEC‎1F，所以平面AEC‎1F⊥面C1MC.‎ 在Rt△C‎1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC‎1F的距离.‎ 解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），‎ A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.‎ ‎∵AEC‎1F为平行四边形，‎ ‎（II）设为面AEC‎1F的法向量，‎ 的夹角为a，则 ‎∴C到平面AEC‎1F的距离为 ‎【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。‎ ‎【文】正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。‎ ‎（1）求点到直线AC的距离.‎ ‎（2）求直线到平面的距离．‎ 解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，‎ 所以就是点到直线AC的距离。‎ B A C D 在中．‎ ‎．‎ ‎（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，‎ 设，则//DE，所以//平面，‎ 所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD 的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱 锥的高， ，‎ ‎，，即直线到平面BD的距离是．‎ ‎【点晴】求空间距离注意三点：‎ ‎_‎ o ‎_‎ E ‎_‎ A ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ D ‎_‎ P ‎_‎ x ‎_‎ y ‎_‎ ‎8‎ ‎_‎ z ‎1．常规遵循一作二证三计算的步骤；‎ ‎2．多用转化的思想求线面和面面距离；‎ ‎3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．‎ ‎【范例6】如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点 ‎（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.‎ 设与的夹角为，则，‎ ‎∴AC与PB所成角的余弦值为 ‎（Ⅱ） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则 由NE⊥面PAC可得即 化简得 即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，‎ 解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，‎ ‎∴, 即AC与PB所成角的余弦值为 ‎（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.‎ 连PF，则在RtΔADF中DF=.‎ 设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，‎ ‎∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC ‎∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=‎ ‎【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。‎