广东高考数学文科B卷试卷及详细解答

广东高考数学文科B卷试卷及详细解答

绝密★启用前 试卷类型：B ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时。请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB= ( )‎ A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝‎ ‎2．函数，的定义域是 ( )‎ ‎ A．(2，) B．(1,) C．[1，) D．[2，)‎ ‎3．若函数与的定义域均为，则 ( )‎ ‎ A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 ‎ C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 ‎4．已知数列{}为等比数列,是它的前n项和，若,且与的等差中项为，则S5= ( )‎ w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ ‎5．若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3,)满足条件(8—)·=30，则= ( )‎ ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎6．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是( ) o*m ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的 ( )‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是 ( )‎ ‎10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下: ( )‎ 那么d ‎ A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题(11～13题)‎ ‎11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，‎ ‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民 的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 .‎ ‎12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m 年份 ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.‎ ‎13．已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinA= ___ . w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB， CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= _____ .‎ ‎15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（） 中，曲线与的交点的极坐标为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 设函数，，，且以为最小正周期．‎ ‎（1）求；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）已知，求的值．w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m ‎（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？‎ ‎（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎18.(本小题满分14分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图4，是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎19.（本小题满分12分）‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎21.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB= ( A )‎ A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝‎ ‎2．函数，的定义域是 ( B )‎ ‎ A．(2，) B．(1,) C．[1，) D．[2，)‎ ‎3．若函数与的定义域均为，则 ( D )‎ ‎ A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 ‎ C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 ‎4．已知数列{}为等比数列,是它的前n项和，若,且与的等差中项为，则S5= ( C )‎ w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ ‎5．若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3,)满足条件(8—)·=30，则= ( C )‎ ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎6．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是( D ) o*m ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( B )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的 (A )‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是 ( D )‎ ‎10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下: ( A )‎ 那么d ‎ A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题(11～13题)‎ ‎11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，‎ ‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民 的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 1.5 .‎ ‎12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m 年份 ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.‎ ‎13．已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB， CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .‎ ‎15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（） 中，曲线与的交点的极坐标为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 设函数，，，且以为最小正周期．‎ ‎（1）求；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）已知，求的值．w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎16.解：（1）由已知可得：‎ ‎（2）∵的周期为，即 ∴ 故 ‎ （3）∵‎ ‎ ∴由已知得：即 ‎ ∴故的值为或 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m ‎（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？‎ ‎（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；‎ ‎（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。‎ 故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人。‎ ‎（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为，若从5人中任取2名观众记作，则包含的总的基本事件有：‎ 共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：共6个。‎ 故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=；‎ 法二：(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=‎ ‎18.(本小题满分14分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图4，是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎18．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心 又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴即 ‎ ∵平面，平面， ∴‎ ‎ 又平面，平面且 ∴平面 ‎ 又∵平面， ∴‎ ‎（2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.‎ ‎ ∵平面, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 ‎ 由已知可得，又 ∴‎ ‎ 在中，，故,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 又∵平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,‎ ‎ ∴，在中，, ∴,‎ ‎ ∵即，故,‎ 即点B到平面的距离为.‎ ‎ 法二：向量法，此处略，请同学们动手完成。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎19．解：设应当为该儿童分别预订个单位的午餐，个单位的晚餐，所花的费用为，则依题意得：‎ ‎ 满足条件即，‎ ‎ 目标函数为，‎ ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线。‎ ‎ 由图可知，当直线经过可行域上的点M时截距最小，即最小.‎ ‎ 解方程组：, 得点M的坐标为 所以，22‎ 答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎20．解：（1）∵，且在区间[0,2]时 ‎∴‎ 由得 ‎∴‎ ‎（2）若，则 ‎ ‎ ‎ ∴当时，‎ 若，则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 若，则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时，‎ ‎∵,∴当时，，由二次函数的图象可知，为增函数；‎ ‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为增函数，当时，为减函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为减函数；当时，为增函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，为增函数。‎ ‎（3）由（2）可知，当时，最大值和最小值必在或处取得。（可画图分析）‎ ‎∵，，，‎ ‎∴当时，;‎ 当时，‎ 当时，.‎ ‎21.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：‎ ‎21．解：（1），设切线的斜率为，则 ‎ ‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为：‎ 又∵点在曲线上, ∴‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为：即 令得，∴曲线在轴上的交点的坐标为 ‎（2）原点到直线的距离与线段的长度之比为：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时，取等号。此时，‎ 故点的坐标为 ‎（3）证法一：要证 只要证 只要证 ‎，又 所以：‎ 证法二：由上知，只需证，‎ 又，故只需证，可用数学归纳法证明之（略）.‎