全国卷高考数学试卷答案点评和难度解析

全国卷高考数学试卷答案点评和难度解析

‎2015年全国卷高考数学试卷答案点评和难度解析 相比2014课标全国I卷的数学试题，本次高考数学试题的难度变化不大，理科数学难度有所下降，考察内容方面注重基础的考察，知识覆盖全面，重点突出，传统高考中突出考察的“三角函数”、“数列与不等式”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”六大板块依旧是考察的重点，且难度适当，依然体现了“以学生为本”“在基础中考察能力”的要求。与此同时，今年高考在考察方式上有所创新，理科数学第8题，第9题，第14题，第18题，第24题，文科数学第8题，第14题，第24题均运用了与历年课标全国卷考法有所区别的考法。‎ 下面就部分较有特色的题目作个别分析。‎ 理科数学第3题，文科数学第5题考察函数的奇偶性，非常的基础，回归课本，类似的题目在高考中出现过多次如2006年辽宁卷理科数学第2题，文科数学第3题等。‎ 理科数学第8题，考察三角函数恒等变换，运用特殊值法令 α=π/3，β= π/6 可以秒杀。‎ 理科数学第9题，将线性规划问题与简易逻辑结合在一起考察，难度不大但有新意。‎ 理科数学第11题，文科数学第12题，考察函数的单调性，注意到函数图像的形状即可，考察方式非常传统，难度较历年选择压轴题有所下降。‎ 理科数学第14题及文科数学第14题，考察逻辑推理，难度很小，在高考的考察方式中是一道新颖的小题。‎ 理科数学第17题如我们所料在连续两年考察解三角形后考察了数列，题目形式较新，难度依然不大，通过作差可轻松得到答案。文科第17题考察错位相减法为数列的传统考法，注意计算准确即可。‎ 理科数学第18题综合考察了统计与正态分布的知识，将正态分布的考察从选择填空转移到了解答题，但并没有增加难度，文科数学第18题综合考察了统计与统计案例，也是一道不错的考题。‎ 在解析几何的考察上，文理科试卷都延续了减少计算量的趋势，且考查方式非常传统，理科数学第20题中出现的标志“三角形OPQ的面积”及文科数学第20题中出现的标志“三角形OPM的面积”几乎为高三考生平常训练中必做的题目类型。‎ 理科数学第21题作为压轴题第一问考察基础的切线问题，第二问则是典型的不含参数恒成立问题的证明，在我们的课上曾经多次讲过对于不含参的恒成立问题，左边的最小值大于等于右边的最大值为一个有效的方法，本题经过变形将左边变为xlnx，再直接利用方法即可得到正确的证明。实际上本题脱胎自课本上xlnx的求导。‎ 而同时，理科数学的压轴题与以下这道成题x∈(0,+∞)证明时， e^x lnx≥ 1-2e^x-1/x(e^x表示e的x次方)做简单的移项变形后可以说完全一样。总体而言，2015年的高考数学课标全国I卷难度适当，考察方式有所创新，内容与部分题型更加注重回归基础及传统，对考生而言，严格以“课本”与“真题”为材料进行复习，才是正途。‎ ‎　1. 选择题 ‎　　分析近五年的选择题，函数、几何、算法初步与框图、数系的扩充与复数的引入这4个知识点年年必考，其中还有可能以综合题型的方式，结合多个知识点一起考察学生的知识掌握情况。其中，集合的概念及运算，命题及条件，复数的计算和程序框图基本每年必考，以函数及集合知识为重。从难度上来看，只要对基本知识点熟练掌握，计算细心不出错，基本上12题选择中有9题可以全部得到。一般最后一题难度最高，比较灵活，曾出现过函数体、数列求和、综合题等，这需要学生对于函数、数列等知识的熟练运用。在平时学习中，建议打牢基本功，并主动思考综合偏难的题目，注意总结几种常见的几何思路。‎ ‎　　2.填空 ‎　　近五年的填空部分，主要涉及函数（其中，函数的极值问题几乎每年必考一题），几何等问题。考察的内容较为基础，胜在形式灵活，学生在做题的时候，切忌“想当然”，图形类、函数类的题目一定要画图，不画图空想做题是非常容易出错的！在填空题部分，数形结合的能力成了考察的重点。‎ ‎　　3.解答题部分 ‎　　3.1数列的运算一般都必考且均放在第17题（均为12分），题目形式较新，难度依然不大，主要考察学生的计算及对公式的记忆能力，这12分一定要得到，要注意要先化简再代入求值，在平常的练习中多加熟悉。‎ ‎　　3.2.概率统计必考一题，主要考察的问题有这两类：一是是否合规问题，二是求概率。这一题分数12分，十分简单，也是必须要得到的。‎ ‎　　3.3函数题也是必考的，对于函数问题的考察可能出现在综合题中以小题的方式出现。函数综合题难度中等或者中等偏上，如何将函数问题与几何有机结合往往是解决这类题目的关键。函数类题目是令学生头疼的问题，但其实在平常练习中勤奋做题，分析题目是注意分类讨论，分数也并不特别难得到。‎ ‎　　3.4几何体，主要考察对学生基本几何知识的理解与运用。一般考察线面的垂直、平行的证明并求体积。应灵活运用辅助线，这类问题往往能迎刃而解。‎ ‎3.5在解析几何的考察上，文理科试卷都延续了减少计算量的趋势，且考查方式非常传统，几乎为高三考生平常训练中必做的题目类型。‎ ‎3.6选做题，固定的出三类知识点的内容：（1）几何证明选讲；（2）坐标系与参数方程；（3）不等式选讲。其实选做题就是送分题，三选一，选自己最有把握拿到全部分数的题目做，题目并不困难，而且一般固定考察几个知识点。如几何证明选讲一般都将三角形或四边形结合圆一起考察；坐标系与参数方程考察学生对于坐标方程与参数方程的转换问题偶尔还会求最值；不等式选讲求解集求参数取值范围以及不等式证明。这10分的选做题是一定要拿下的。‎ ‎　‎ 备考建议 ‎　　(一)要培养良好的解题习惯，做到“会做=拿满分”‎ ‎　　有不少学生在平时的学习中，题目读完后，发现类型、方法都与做过的某某题类似，就轻易跳过不去管了，殊不知，“会而不对、对而不全”是一名普通学生和一名优秀学生的重要区别。因此在复习中，做题一定要彻底：推理过程严密、显示主要步骤，考虑问题全面，正确书写解题过程和答案，切不可走马观花，凭想当然去处理遇到的题目。‎ ‎　　1.会而不对：做题时不是束手无策，而是在正确的思路上，或考虑不周、或推理不严、或书写不准，最后答案是错的，这叫“会而不对”。‎ ‎　　2.对而不全：做题思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一逻辑点过不去;或遗漏某一特殊情况、讨论不够完备;或潜在假设、或以偏概全，这叫“对而不全”。‎ ‎　　针对以上两种情况，必须在平时的训练中做“综合治理”：会做的题目，要特别注意表达的准确、考虑的周密，书写的规范、语言的科学，做到“会而对、对而全、全而优”。‎ ‎　　切记：“不对=不会”。‎ ‎　　(二)提高解三角题、数列题、立体几何题、概率统计题的准确率 ‎　　进入高三后，每个学生对自己的知识能力水平，应该有个大致的定位，也就是一份高考[微博]水平的数学试卷，你打算做多少题，哪些题是必须拿分的，哪些题是可以放弃的。所谓“舍得”，有所舍弃才能有所得。三角函数、数列、立体几何、概率统计题的高考定位是“中低档难度”，对大部分学生来说，在复习时，一定要把这些部分的题目做透。抓好这些题的满分率是提高总分的有效途径。其中：‎ ‎　　1.三角函数：关键是抓三角函数的图象特征，掌握简单的三角恒等变换、正弦定理和余弦定理;关注测量及三角应用题。‎ ‎　　2.数列：关键是抓等差数列和等比数列的定义和“基本量法”，关注数列应用题。‎ ‎　　3.立体几何：关键是抓垂直与平行。垂直是解立体几何题的一个关键突破口。会建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决空间中的角度问题，并能正确计算。‎ ‎　　4.概率统计：关键是重视概率思想与统计思想，重视统计量及统计中数据处理的方法，注意古典概型和几何概型概率计算。重视排列组合在求概率中的应用，掌握几种特殊的分布(几何分布、二项分布等)。理解数学期望和方差的实际含义和计算公式。‎ ‎　　(三)对一些“小题”要有足够的重视 ‎　　所谓的“小题”一般指那些只在选择题或填空题中出现、不易同高中数学其他知识点综合考查的题目，比如线性回归问题、程序框图问题、正态分布问题、极坐标、参数方程、几何证明等，这些题目一般比较简单，只要把基本的知识掌握了，处理起来还是比较容易的。不要忘了，高考中在哪部分知识上得分是没有差别的，因此在第一轮复习中，千万不能歧视或忽略这些“不重要”的“小题”所对应的知识点。‎ ‎1.第一轮：夯实基础(2014年7月-2015年2月)‎ ‎　　高考数学第一轮复习可以按照课本章节走，同时配合大量习题。复习时要把零碎与散乱的知识点串起来，编织网状结构，使各部分知识成体系化，也不容易忘记。一轮复习期间，学生动手能力不强，做题速度慢、准确率不高，不会审题，难题大多不会做，简单题容易马虎失分，所以要针对这些问题有意识、有目的地逐个解决。另外，答题时也要注意工整规范，不会的题争取得步骤分。‎ ‎　　数学第一轮复习要重视培养数学思维方法，学会用多种思路解题，总结数学复习要掌握的能力、用到的数学方法、审题思路等。大家在审题时要思考出题人意图，思考还可能怎么问，举一反三，用多种方法解答同一个题目，而且不要就题论题，要注重探求解题规律。‎ ‎2第二轮：突破专题(2015年3月-4月)‎ ‎　　专题是考试中的重点内容，重点数学知识点和章节也是常考题目，复习时可以参照去年考纲总结所有考点，参看近几年真题考点，尤其重视复习这两年还没考的重点知识，这样押中考点的机会大一些，但也不能不看考过的考点。另外，二轮复习也可以适当做些难题、偏题、怪题，使数学思维和解题模式不至于僵化固化。‎ ‎　　第二轮复习数学知识模块专题 ‎　　专题一：不等式 　　专题二：函数与导数 　　专题三：数列 　　专题四：三角函数与平面向量 　　专题五：解析几何 　　专题六：立体几何 　　专题七：计数原理与概率统计 　　专题八：高考中选择题的解法 　　专题九：高考中填空题的解法 　　专题十：高考中解答题的解法 ‎　　二轮复习以突破各个专题模块为主，注重数学解题能力的提高，同时做选择题和填空题时要掌握必要的解题方法和技巧，可以节省很多做题时间。数学选择题和填空题分值比较高，好不容易做对一道难题，可别因一道简单题失分而白做了，所以复习时一定要杜绝马虎失分现象。‎ ‎3第三轮：综合模拟(2015年5月-6月)‎ ‎　　第三轮复习要回归课本，同时做一些综合套题，如做数学真题、模拟卷和冲刺卷，在做题中发现易错考点和错误思维定式，查缺补漏，通过不断改进提高解题能力。此时需调整好应试状态，训练一些考试技巧。‎ ‎　　第三轮复习要解决的问题 ‎　　1、强化知识的综合性和交汇性，巩固方法的选择性和灵活性。 　　2、检查复习的知识疏漏点和解题易错点，探索解题的规律。 　　3、检验知识网络的生成过程。 　　4、领会数学思想方法在解答一些高考真题和新颖的模拟试题时的工具性。‎ ‎2016年高考数学全年复习大体可分为四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 　　 　　1．第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 　　 　　2．第二轮复习，通常称为“方法篇”。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 　　 　　3．第三轮复习，大约一个月的时间，也称为“策略篇”。老师主要讲述“选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对“减缩思维”的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③‎ 养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 　　 　　4．最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向，并做到：①检索自己的知识系统，紧抓薄弱点，并针对性地做专门的训练和突击措施（可请老师专门为你拎一拎）；锁定重中之重，掌握最重要的知识到炉火纯青的地步。②抓思维易错点，注重典型题型。③浏览自己以前做过的习题、试卷，回忆自己学习相关知识的历程，做好“再”纠错工作。④博览群书，博闻强记，使自己见多识广，注意那些背景新、方法新，知识具有代表性的问题。⑤不做难题、偏题、怪题，保持情绪稳定，充满信心，准备应考。 　　‎