高考中数学不等式题型

高考中数学不等式题型

高考不等式经典题型研学总结 研学背景： 作为一名高中生高考是我们必经的阶段，也是人生的重要一步。我们有必要为此作准备。由于我们对数学的不等式比较有兴趣，因此确定了这样的研究性学习专题。‎ 研学目的： 我们想通过这次的研学，接触更多的高考不等式题型，学习更多有关不等式的知识。提高我们的数学水平，分析未来高考不等式的命题趋势，为将来的高考打好基础。‎ 研学小组成员：指导老师：杨志明 ‎ 组员：马是哲 刘思源 俞泽坤 吴逸飞 李业铿 ‎ ‎ 1、 高考与不等式 纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：‎ ‎①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；‎ ‎②‎ 解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；‎ ‎③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．‎ 1、 命题趋势及典型例题解释 ‎ （1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．‎ 例1：设命题甲：x和y满足，命题乙：x和y满足 ，那么 甲是乙的（）‎ A  充分但不必要条件  B  必要但不充分条件C 充要条件  D 既不充分也不必要条件 ‎ ‎［思路］‎ 根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。‎ ‎［破解］易知即乙甲；但当时，显然满足不满足故甲乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选B ‎［收获］‎ 本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。‎ 例2：已知.设 ‎ 函数在R上单调递减.‎ 不等式的解集为R.‎ 如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.‎ ‎［思路］ ‎ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.‎ ‎［破解］:函数在R上单调递减，不等式的解集为R 函数在R上恒大于1，∵∴函数在R上的最小值为，∴不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；‎ 所以的取值范围为.‎ ‎［收获］‎ ‎“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.‎ ‎（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论．‎ 例3：解关于的不等式。‎ ‎ 分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号．‎ ‎ 解 ‎ ‎(1)当时：若，则，不等式解集为；若，则，解集为.‎ ‎(2)当时：不等式为，解集为．‎ ‎(3)当时：若，则，解集为.‎ ‎ 若，不等式为，解集为且.‎ ‎ 若，则，解集为．‎ ‎ 点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．‎ 例4：若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。‎ ‎［思路］‎ 此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。‎ ‎［破解］‎ 解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集。‎ ‎(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。‎ 令－4=0得=4，令3－=0得=3‎ ① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<‎ 解不等式组，∴>1‎ ② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1‎ ③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<‎ 解不等式，∴>1‎ 综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。‎ 由(1)(2)知所求取值范围是≤1‎ 解法二：由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解 从而当≤1时，原不等式解集为空集。‎ 解法三： ∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1∴当>1时，|－4|+|3－|<有解从而当≤1时，原不等式解集为空集。‎ ‎［收获］‎ ‎1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。‎ ‎2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。‎ ‎（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度．‎ 例5：若二次函数的图象经过原点，且，，求的范围．‎ ‎［思路］要求的取值范围，只需找到含的不等式(组)．由于 是二次函数，所以应先将的表达形式写出来．即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式(组)，即可求解．‎ ‎［破解］因为的图象经过原点，所以可设．于是 解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得其中等号分别在与时成立，且与也满足（1）所以的取值范围是．‎ 解法二(数形结合)建立直角坐标系，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分．因为，所以表示斜率为2的直线系．如图6，当直线过点，时，分别取得的最小值6，最大值10．即的取值范围是：．‎ 解法三(利用方程的思想)因为所以又，而 ‎，， ①‎ 所以　．　②‎ ‎①+②得即。‎ ‎［收获］‎ ‎1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得，而，所以 ‎ 2)对这类问题的求解关键一步是，找到的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．‎ ‎3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意的数学结构。‎ 1、 我们的收获 ‎ 通过这次的研究性学习，我们懂得了很多有关不等式的知识，并得出以下心得。‎ ‎(1)重视数学思想方法的复习 从命题趋向来看，我们应该加强对数学思想方法的复习．‎ ‎①在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度，由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化可以简化不等式（组），以快速、准确求解．‎ ‎②加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含有参数等问题，这时可能要对参数进行分类讨论．其中在讨论的过程中，要明白引起讨论的原因，同时要合理分类，要做到不重不漏．‎ ‎③加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，互相转化，如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．‎ ‎④在不等式的证明中，要加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，这既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，所以在复习中应特别加以关注．‎ ‎（2）强化不等式的应用 由于不等式单独命题较少，常在函数、数列、立几、解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合问题能力的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力，如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，在求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误，同时还要注意实际情况的限制．‎ 2、 展望 未来的学习和生活中我们会继续与不等式打交道，不等式的美我们在日后也能继续欣赏。希望会有等多的人重视不等式，也希望不等式领域能继续扩大。‎