1960年全国统一高考数学试卷

1960年全国统一高考数学试卷

‎1960年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、解答题（共11小题，共100分）‎ ‎1．解方程（限定在实数范围内）．‎ 考点：‎ 方根与根式及根式的化简运算。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先移项，然后再平方，将根式方程转化为一元二次方程求解，注意根的检验．‎ 解答：‎ 解：移项得，‎ 两边平方得2x2﹣5=5x﹣7，‎ 整理得2x2﹣5x+2=0，‎ 解得x=2或x=0.5；‎ 检验：当x=2时，方程成立，故x=2是方程的根；‎ 当x=0.5时，2×0.52﹣5＜0，5×0.5﹣7＜0，故根式无意义，舍去．‎ 故方程的根为x=2．‎ 点评：‎ 本题考查了根式方程的解法，去根号是解题的关键，同时注意验根．‎ ‎2．有5组篮球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？‎ 考点：‎ 排列、组合的实际应用。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由题意知每组6队，每组中各队进行单循环赛，每组第一轮共有C62次比赛，有5组篮球队，得到第一轮比赛共有5C62次比赛，第二轮各组冠军再进行单循环赛，即五个队需要比赛C52场比赛，把所有比赛场数加起来得到结果．‎ 解答：‎ 解：∵每组6队，每组中各队进行单循环赛，‎ ‎∴每组第一轮共有C62次比赛，‎ ‎∵有5组篮球队，‎ ‎∴第一轮比赛共有5C62次比赛，‎ 第二轮各组冠军再进行单循环赛，‎ 五个队需要比赛C52场比赛，‎ ‎∴共需比赛5C62+C52=85（场）．‎ 答：共需比赛85场．‎ 点评：‎ 本题考查排列组合的实际应用，解决本题的关键是理解条件中所得单循环赛的意义，即看清比赛规则，得到结果．‎ ‎3．求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）．‎ 考点：‎ 等比数列的性质；等差关系的确定。 ‎ 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ 设出一个等比数列首项为a（a＞0），公比为q（q＞0），即a，aq，aq2，…，aqn﹣1．分别取各项的对数即得到lga，lgaq，lgaq2，…，lgaqn﹣1得到一个首项为lga，公差为lgq的等差数列．‎ 解答：‎ 解：设等比数列的首项为a（a＞0），公比为q（q＞0），即a，aq，aq2，…，aqn﹣1．‎ 分别取各项的对数即得到lga，lgaq，lgaq2，…，lgaqn﹣1．‎ 即lga，lga+lgq，lga+2lgq，…，lga+（n﹣1）lgq．‎ 这就形成首项是lga，公差是lgq的等差数列．‎ 点评：‎ 考查学生运用等比数列性质的能力，以及等差数列确定方法的能力．‎ ‎4．求使等式成立的x值的范围（x是00～7200的角）．‎ 考点：‎ 角的变换、收缩变换；三角函数值的符号。 ‎ 分析：‎ 根据已知条件先确定的范围，进而可得x的范围．‎ 解答：‎ 解：要使等式成立，必须，‎ 由此可得角在第一象限或第四象限 而已知条件中限定x为00～7200的角，‎ 由此可得，‎ ‎∴0°≤x≤180°或540°≤x≤720°．‎ 点评：‎ 本题主要考查余弦函数在各个象限的符号问题．属基础题．‎ ‎5．如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O，直径是12mm，钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD是9mm，求这小孔的直径AB的长．‎ 考点：‎ 三角形中的几何计算。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先根据图象得到OA、OC、OD的长度，然后根据勾股定理可求AD的长度，进而根据直径AB=2AD可得到答案．‎ 解答：‎ 解：连接OA，‎ 则OA=OC=6（mm），‎ OD=CD﹣OC=9﹣6=3（mm），‎ 又，‎ ‎∴AB=2•AD=6（mm）．‎ 点评：‎ 本题主要考查勾股定理的应用．属基础题．‎ ‎6．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA与底面垂直，已知PA=3cm，P到BC的距离是5cm，求PC的长．‎ 考点：‎ 直线与平面垂直的性质；三垂线定理。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先根据三垂线定理证明PB⊥BC，然后在直角△PAB中利用勾股定理求出AB长，然后在直角△PBC中利用勾股定理求出PC的长即可．‎ 解答：‎ 解：∵ABCD是正方形，‎ 而且PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PB⊥BC（三垂线定理）‎ 在直角△PAB中，‎ 在直角△PBC中．．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及三垂线定理的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎7．有一直圆柱高是20cm，底面半径是5cm，它的一个内接长方体的体积是800cm3，求这长方体底面的长与宽．‎ 考点：‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由题意知，直圆柱的高与内接长方体的高相等，底面圆的直径与内接长方体的长和宽组成Rt△，设出长为x，宽为y，列出方程组，可求得长与宽．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ 设长方体底面的长是xcm，宽是ycm．则高h=20，底面园半径r=5，根据题意得：‎ 长方体的体积为，V=Sh=20xy=800…①，‎ 又x2+y2=（2r）2，即x2+y2=100…②；‎ 由①②组成方程组，，‎ 解得：，或（舍去）；‎ 所以，长方体的长是cm，宽是cm．‎ 点评：‎ 本题用列方程组解实际问题的方法求长方体的长和宽，是用代数方法解几何问题的典例；本题关键是列出方程组，解出答案．‎ ‎8．从一船上看到在它的南30°东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）．‎ 考点：‎ 解三角形的实际应用。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由题意，船位于点O，看到灯塔A，半小时后船沿OB方向行至B，由于A在B的正西，所以延长BA交OC于C，且必有BC⊥OC，根据∠OBC=∠BOC，求得OC，CA，进而根据AB=CB﹣CA求得AB．‎ 解答：‎ 解：由题意，船位于点O，看到灯塔A，半小时后船沿OB方向行至B，由于A在B的正西，‎ 所以延长BA交OC于C，‎ 且必有BC⊥OC，‎ ‎∵∠OBC=∠BOC=45°，‎ ‎∴OC=BC=OB•sin45°=15×，‎ CA=OC•tan30°=15××=（里），‎ ‎∴AB=CB﹣CA=（里），‎ 故这时船与灯塔的距离约为4.5里．‎ 点评：‎ 本题主要考查解三角形的实际应用．属基础题．‎ ‎9．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为6米，‎ ‎（1）求以矩形的一边长x表示窗户的面积y的函数；‎ ‎（2）求这函数图象的顶点坐标及对称轴方程；‎ ‎（3）画出这函数的图象，并求出x的允许值范围．‎ 考点：‎ 函数模型的选择与应用。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）由于矩形的周长为定值，所以若设其长为x米，则其宽为3﹣x，代入矩形面积公式易得边长x表示窗户的面积y的函数；‎ ‎（2）根据二次函数的性质，我们对（1）的结论进行配方，化为顶点式后，易得函数图象的顶点坐标及对称轴方程；‎ ‎（3）根据函数解析式，我们可以确定函数图象的顶点、与坐标轴的交点，开口方向等，然后不难画出函数的图象，再由其长为x米，则其宽为3﹣x，均为正数，易得出x的允许值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）因为矩形周长为6米，‎ 所以若设其长为x米，则其宽为3﹣x，‎ ‎∴窗户的面积y=x（3﹣x）=﹣x2+3x．‎ ‎（2）由y=﹣x2+3x，可得，‎ 故其顶点坐标为，‎ 对称轴方程为．‎ ‎（3）令x2﹣3x=0，‎ ‎∴x1=0，x2=3．‎ 故图象与x轴相交于点（0，0），（3，0），其图象如图，‎ 根据问题的实际意义，必须y＞0，‎ 所以x的允许值范围为：0＜x＜3．‎ 点评：‎ 点评：在不等式的实际应用中，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑，如本题中，窗口的长为x米，则其宽为3﹣x，均为正数，故x的允许值范围为：0＜x＜3．‎ ‎10．已知方程2x2﹣4x•sinθ+3cosθ=0的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．‎ 考点：‎ 同角三角函数基本关系的运用。 ‎ 分析：‎ 由“一元二次方程有两相等实根则判别式为零”入手，解cosθ的一元二次方程，进而求出θ，然后解原方程即可求出其根．‎ 解答：‎ 解：由题意得△=b2﹣4ac=（﹣4sinθ）2﹣4•2•3cosθ=0，‎ 即16sin2θ﹣24cosθ=0，‎ ‎∴16（1﹣cos2θ）﹣24cosθ=0，‎ ‎∴2cos2θ+3cosθ﹣2=0，‎ 解得cosθ=或cosθ=﹣2（舍去）．‎ 又θ为锐角，∴θ=60°．‎ 因此，原方程可化为 ‎，‎ 解得相等的二根为．‎ 点评：‎ 本题考查同角正余弦的关系、正余弦值的范围，同时考查一元二次方程根的个数与判别式的关系及解一元二次方程的能力．‎ ‎11．a为何值时，方程组的解是正数？‎ 考点：‎ 不等式。 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先解关于x，y的方程组，用含a的表达式来表示x，y，最后让x，y都大于零，再解关于a的不等式即得．‎ 解答：‎ 解：消去x，得（8﹣a）y=12，‎ ‎∴，于是可得．‎ 欲使其解x，y均为正数，‎ 必须，‎ 即必须．‎ ‎∴a＜2．‎ 故当a＜2时，方程组的解均为正数．‎ 点评：‎ 本题主要考查解方程组的方法以及解不等式的方法，是一道方程与不等式交汇的题目，属于基础题．‎