高考数学复习立体几何学习策略更多资料关注微博高中学习资料库

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‎2015浙江高考数学复习立体几何学习策略 浙江省衢州高级中学何数思维工作室 何豪明 324006‎ 浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳 311100‎ 策略,百度文库给出的语义解释是:计策;谋略.因此,策略是一种法则,是发现问题,解决问题的一种方法和规则。‎ 立体几何学习策略有二。其一是数学语言(文字语言、符号语言和图形语言)相互转化的学习策略;其二是寻找母体(大家都熟悉的几何体,如正方体,长方体等)的学习策略。因为几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,所以在立体几何学习策略的应用过程中,我们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.‎ ‎1. 数学语言相互转化的学习策略 数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是(按照语言形式的外表特征分类)数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习.这种相互转化,有助于学生数学思维的训练,有助于学生实用知识的获取,有助于学生文化素养的提升,学生在数学语言相互转化的过程中学习对立统一的辩证思维,从而学会数学地阅读,数学地理解,数学地交流.‎ 文字语言:文字语言是用自然语言来表达数学知识的语言,这种语言必须做到严谨、精确。‎ 符号语言:符号语言是用一些数学概念、定理、运算法则的缩写、代码组成来表达数学知识的语言,它避免了日常语言的繁复、冗长或含混不清,“具有无可比拟的更大的万能性”。‎ 图形语言:图形语言是用数学图表来表达数学事实的语言,是进行抽象思维的重要工具,是数学形象思维的载体和中介,是数学思维的重要材料和结果。‎ ‎ 1. (2014广东文)若空间中四条两两不同的直线、、、,满足,,,则下列结论一定正确的是( )‎ ‎ A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定 ‎【解析】如图,在正方体中,取为,为,取为,为,‎ ‎ ‎ 则;取为,为,则;取为,为,则与异面,因此、的位置关系不确定。选D.‎ ‎2 .(2013年新课标2理)已知为异面直线,平面,平面.直 线满足,则(  )‎ A.,且 B.,且 C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于 ‎【解析】 在母体(正方体或长方体)中直观感知,操作确认。选D。 ‎ ‎3. (2013年浙江理)在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记 ‎.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则(  )‎ A.平面与平面垂直 B.平面与平面所成的(锐)二面角为 C.平面与平面平行 D.平面与平面所成的(锐)二面角为 ‎ ‎【解析】 设,根据题意,得,点是垂足。因为,所以,点是垂足。同理,若,得点是垂足,因此表示,点是垂足,因为对任意的点,恒有,所以点与重合,因此,四边形是矩形,且是二面角的平面角,因为是直角,所以(图形语言在草稿纸上完成)。选。‎ ‎ 评析:这种类型的高考立体几何试题,常用的解题策略是把题目中的符号语言(或文字语言)转化为文字语言(或符号语言)和图形语言,然后在母体中直观感知,操作确认,思辨论证。‎ ‎2. 寻找母体的学习策略 高考对立体几何的考查,每年的题目各不相同,但在“大家都熟悉的几何体”中考查的理念始终没有改变,我们把“大家都熟悉的几何体”称作“母体”,此处的“母体”是指正方体和长方体.因此,求解立体几何问题,必须寻找“母体”.在此基础上,通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.下面选择典型的高考立体几何试题,让我们在解题过程中一起感悟寻找“母体”的解题策略.‎ ‎4. (2012辽宁理)已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面的距离为________。‎ ‎【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图,因为正方体内接于球,所以正方体的体对角线为球的直径且垂直平面,球心在正方体对角线的中点。故球心到截面的距离为球的半径()减去正三棱锥的高。故球心到截面的距离为。‎ ‎ 5. (2014新课标1理)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ ‎【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图,正方体的棱长为4,符合条件的三棱锥为,因此最长的棱的长度为=。选B。‎ ‎6. (2014辽宁理)如图,和所在平面互相垂直,且,,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【解析】由条件可知,三棱锥可以看成是长方体中的一部分,如图,由长方体的性质可知,,又∥,所以。‎ 寻找长方体为母体,只要作于,再作于,连结,得到为二面角的平面角,易得,,在直角中,求得=,在直角中,,求得。‎ ‎7. (2014新课标2理)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面AEC;‎ ‎(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.‎ ‎【解析】 如图,在长方体中直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算。‎ ‎(1) 证明:略。‎ ‎(2) 由条件可知,四棱锥可以看作是长方体中的一部分,过点作 于,连结,则,所以,又因为,所以,因为为的中点,所以三棱锥的高为,三棱锥的体积 ‎。‎ ‎【评析】通过解题体验,我们可以感悟到:一般几何体都可以寻找到它的母体,关键是你的感悟是否深刻,比如已知条件中有共顶点的三条棱两两互相垂直,线面垂直,两个平面互相垂直等,在这些已知条件中寻找母体,则相对要简单些,如例4,例6,例7。有些题目,已知条件中只给出对称关系等位置关系,在这些已知条件中寻找母体,则难度相对大些,如例5,例6.但是,不管怎么样,寻找母体的解题策略肯定是行之有效的好方法,解题时常常会收到意想不到的效果。‎ 事实上,寻找母体的过程也就是建立空间直角坐标系的过程(例6(2)和例7(2)的空间向量法略)。寻找母体的解题策略有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和推理论证能力。而建立空间直角坐标系,利用向量法,将几何问题代数化,则是几何机械化的开端。‎ 在立体几何的学习过程中,我们应该遵循直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算的认识方法把握几何体的特征,同时把数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习策略贯穿其中,这样,可以极大地提高学生数学语言的应用能力,提高学生的数学素养。‎
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