高考文科立体几何证明专题

高考文科立体几何证明专题

立体几何专题 ‎1．如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．‎ ‎(1) 证明：//平面；‎ ‎(2) 证明：平面；‎ ‎(3) 当时，求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（1）在等边三角形中， ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立， ,平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.‎ ‎ 在三棱锥中，，②‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）可知，结合（2）可得.‎ ‎【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.‎ ‎2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．‎ （1） 证明：PH平面ABCD；‎ （2） 若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；‎ （3） 证明：EF平面PAB． ‎ 解：(1)‎ ‎ ‎ ‎(2):过B点做BG ；‎ 连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是的中位线 即EM为三棱锥底面上的高 ‎ ‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ ‎ 3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，‎ M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。‎ ‎（Ⅰ）求证：DM∥平面APC； ‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；‎ ‎（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．‎ ‎ ‎ ‎4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。‎ 求证：（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）A1C⊥面AB1D1。 ‎ ‎（3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1⊥平面MB1D1‎ M ‎5.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点.‎ ‎ (1)求证：AF∥平面PCE；‎ ‎ (2)求证：平面PCE⊥平面PCD；‎ ‎ (3)求四面体PEFC的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.‎ ‎(1)求证：平面PCC1⊥平面MNQ；‎ ‎(2)求证：PC1∥平面MNQ.‎ ‎7.如图，在棱长为2的正方体中，‎ ‎、分别为、 的中点.‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求证：‎ ‎8.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，平面，‎ ‎，且=2 .‎ ‎（1）画出该几何体的三视图；‎ ‎（2）求四棱锥B－CEPD的体积；‎ ‎（3）求证：平面． ‎ ‎9.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎3、解：（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线 ‎ ……………2分 ‎ ……………4分 ‎（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，‎ ‎， …………………5分 ‎ …………………6分 又 ……………………7分 ‎ ‎ 又 ………………9分 平面ABC⊥平面APC ………………10分 ‎（Ⅲ）∵，是三棱锥M—DBC的高，且MD＝…11分 ‎ 又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝ ………12分 于是＝， ………………………………………………13分 ‎ ＝ …………………………14分 ‎4、证明：（1）连结，设 连结， 是正方体 ‎ 是平行四边形 且 ‎ 又分别是的中点，且 是平行四边形 ‎ 面，面 面 ……………………………………… 5分 ‎（2）面 ‎ 又， ‎ ‎ ‎ 同理可证， ‎ 又 面 ……………………………………… 9分 ‎（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则 ‎（也可以通过定义证明二面角是直二面角） ……… 14分 ‎5、.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，‎ ‎∵F为PD的中点，E为AB的中点，‎ ‎∴FG CD，AECD ‎∴FG AE，∴AF∥GE ‎∵GE⊂平面PEC，‎ ‎∴AF∥平面PCE；‎ ‎(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，‎ ‎∴GE⊥平面PCD，‎ ‎∵GE⊂平面PEC，‎ ‎∴平面PCE⊥平面PCD；‎ ‎(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，‎ 所以EG为四面体PEFC的高，‎ 又GF∥CD，所以GF⊥PD，‎ EG＝AF＝，GF＝CD＝，‎ S△PCF＝PD·GF＝2.‎ 得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.‎ ‎6、证明：(1)∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，‎ 又CC1∥AA1，‎ AA1⊥平面ABC，‎ ‎∴CC1⊥平面ABC，‎ ‎∴CC1⊥AB，‎ 又∵CC1∩PC＝C，‎ ‎∴AB⊥平面PCC1，‎ 由题意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，‎ MN在平面MNQ内，‎ ‎∴平面PCC1⊥平面MNQ.‎ ‎(2)连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，‎ 又BC1∩AB＝B，‎ ‎∴平面ABC1∥平面MNQ，‎ ‎∵PC1在平面ABC1内，‎ ‎∴PC1∥平面MNQ.‎ 解：(1)证明：连接AF，则AF＝2，DF＝2，‎ 又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD2，‎ ‎∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，‎ ‎(2)过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD.‎ 再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，‎ ‎∴平面EHG∥平面PFD.‎ ‎∴EG∥平面PFD.‎ 从而满足AG＝AP的点G为所求.‎ ‎7、证明: （1）连接 ‎、分别为、的中点，则//，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴//平面 ‎ （2）正方体中，平面，则 正方形中，，又=B，AB、平面,‎ 则平面，‎ 平面，所以 又//,所以EF.‎ ‎8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 ‎(2)∵平面，平面 ‎∴平面平面ABCD ‎∵ ∴BC平面----------5分 ‎∵--6分 ‎∴四棱锥B－CEPD的体积 ‎.----8分 ‎(3) 证明：∵，平面，‎ 平面 ‎∴EC//平面,------------------------------------10分 同理可得BC//平面----------------------------11分 ‎∵EC平面EBC,BC平面EBC且 ‎ ‎∴平面//平面-----------------------------13分 又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 面 ∴三棱锥以为高，三角形为底………10分 ‎∵，，‎ ‎∴． ………12分 ‎∵，‎ ‎∴………14分