高考数学总复习不等式选讲

高考数学总复习不等式选讲

第三节 不等式选讲(选修4-5)‎ 考纲解读 ‎ 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.‎ ‎ 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.‎ ‎ 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.‎ ‎4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.‎ 命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.‎ 知识点精讲 一、不等式的性质 ‎1.同向合成 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎（合成后为必要条件）‎ ‎2.同解变形 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎（变形后为充要条件）‎ ‎3.作差比较法 二、含绝对值的不等式 ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎（3）零点分段讨论 三、基本不等式 ‎（1）（当且仅当等号成立条件为）‎ ‎（2）（当且仅当等号成立条件为）；‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎（3）柯西不等式 ‎ （当且仅当时取等号）‎ ‎①几何意义：‎ ‎②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.‎ 四、不等式的证明 ‎（1）作差比较法、作商比较法.‎ ‎（2）综合法——由因到果.‎ ‎（3）分析法——执果索因.‎ ‎（4）数学归纳法.‎ ‎（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.‎ ‎（6）反证法.‎ ‎（7）放缩法.‎ 题型归纳即思路提示 题型201 含绝对值的不等式 一、解含绝对值的不等式 思路提示 ‎ 对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：‎ ‎ ；‎ ‎；‎ ‎ .‎ ‎ 有时去绝对值也可根据来去绝对值.‎ 例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .‎ 解析 由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.‎ 变式1 不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 变式2 已知函数.‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎ （2）求不等式的解集.‎ 二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题 例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若恒成立，求的取值范围.‎ 解析 （1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.‎ ‎(2)记，则，‎ 所以，因此，即的取值范围是.‎ 变式1 （2012新课标理24）已知函数.‎ ‎ （1）当时，求不等式的解集；‎ ‎ （2）若的解集包含，求的取值范围.‎ 变式2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .‎ 变式3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.‎ ‎ (1)当时，求不等式的解集；‎ ‎ (2)设，且当时，，求的取值范围.‎ 三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题 例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 . ‎ 解析 不等式有解，则，故实数的取值范围是.‎ 变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .‎ 变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.‎ 四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围 例16.17 （2013福建理23） 设不等式的解集为，且 .‎ ‎ (1)求的值；‎ ‎ (2)求函数的最小值.‎ 分析 先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.‎ 解析 （1）因为且，所以，且，解得.又，所以.‎ ‎ (2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.‎ 变式1 设函数，其中.‎ ‎ (1) 当时，求不等式的解集；‎ ‎ (2)若不等式的解集为，求的值.‎ 变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.‎ ‎ (1) 当时，求不等式的解集；‎ ‎ (2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.‎ 变式3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .‎ 题型202 不等式的证明 一、比较法（差值法和比值法）‎ 思路提示 ‎ 将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.‎ 例16.18 已知均为正实数，且，求证：.‎ 分析 比较与的大小可通过作差法.‎ 解析 .因为，，所以,,.故.所以.‎ 评注 作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.‎ 变式1 已知，且,. 求证：.‎ 二、利用函数的单调性证明 思路提示 ‎ 使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.‎ ‎ 解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.‎ ‎（2）求并验证在指定区间上的单调性.‎ ‎（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.‎ 例16.19 已知，求证：.‎ 分析 属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.‎ 解析 原不等式等价于.‎ 令，.‎ 令，则，‎ 故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.‎ 又，所以当时，成立.‎ 于是成立.‎ 变式1 证明：当时，.‎ 三、综合法与分析法 思路提示 ‎ 字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.‎ ‎1.综合法（由因到果）‎ 例16.20 证明：.‎ 分析 观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.‎ 解析 ，，，‎ 故，即.‎ 评注 类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.‎ 变式1 设，求证：.‎ ‎2.分析法（由果索因）‎ 例16.21 设，求证：.‎ 分析 利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.‎ 解析 要证明，‎ ‎ 只要证，‎ ‎ 即证.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 故原不等式成立.‎ 评注 在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.‎ 变式1 若，且，求证：.‎ 四、反证法 思路提示 ‎ 从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.‎ 例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.‎ 分析 假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.‎ 解析 假设三式都大于，即，‎ ‎ 有 ①‎ ‎ 同理 ②‎ ‎ ③‎ ‎ 三式相加得，矛盾，故原命题成立.‎ 评注 对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.‎ 变式1 已知，,求证：.‎ 五、放缩法 思路提示 ‎ 预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.‎ 例16.23 已知正数满足，求证：.‎ 分析 采用“添项”放缩法 解析 ①‎ ‎ 同理 ② ③‎ ‎ ①+②+③得.‎ 评注 放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：‎ ‎，‎ 所以.‎ 变式1 证明：.‎ 例16.24 求证：.‎ 分析 采用“分母”放缩法证明.‎ 解析 由题意，，‎ 则，‎ ‎.‎ 所以原不等式成立.‎ 例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.‎ 解析 由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，‎ ‎ 即证明，‎ ‎ 只需证明，‎ 即. ①‎ 由，且，‎ ‎ 由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.‎ 因此可知，要成立.只需成立.‎ 当时，，三角形为直角三角形；‎ 当时，‎ 即，此时三角形为钝角三角形；‎ 当时，‎ 即，此时三角形为锐角三角形.‎ 六、三角换元法 思路提示 ‎ 若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.‎ 例16.26 设实数满足，，求证：. ‎ 分析 由，联想到三角换元.‎ 解析 令，，‎ ‎ .‎ 当，即时，取得最大值，证毕.‎ 评注 三角换元在不等式证明以及求函数的最值、解析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.‎ 变式1 设，，求证：.‎ 七、构造法 思路提示 ‎ 一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：‎ ‎ （1）构造辅助函数.‎ ‎ （2）构造辅助数列.‎ ‎ （3）构造几何图形.‎ 例16.27 设，，若，求证：.‎ 分析 构造一次函数证明.‎ 解析 即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.‎ 设,‎ 即证时，.‎ 而是关于的一次函数，且，，‎ 因此当时，成立，从而原不等式成立.‎ 评注 本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.‎ 例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.‎ 分析 不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.‎ 解析 ，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，‎ 则.‎ 变式1 证明：.‎ 变式2 已知且，，求证：.‎ 例16.29 证明：当且时，有.‎ 分析 本题通过构造辅助数列证明.‎ 解析 构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.‎ 评注 本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.‎ 例16.30 设，求证：.‎ 分析 根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.‎ 解析 如图16-34所示，构造正方形，‎ 图 16-34‎ 设，‎ 则，‎ 则.‎ 变式1 设，求证：.‎ 八、利用柯西不等式证明不等式 思路提示 ‎ 柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.‎ ‎1.二维形式的柯西不等式 设，.等号成立.‎ 证明 设，由，得，‎ 又，即，，故 等号成立即.‎ ‎2.一般形式的柯西不等式 ‎ 设及为任意实数，‎ 则，‎ 当且仅当（规定时，）时等号成立.‎ ‎ 证法一：当全为时，命题显然成立.‎ 否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.‎ 注意到，而恒成立，且，‎ 故的判别式不大于零，即，‎ 整理后得.‎ 证法二：向量的内积证法.‎ ‎ 令，，为与的夹角.‎ 因为，且，所以 ‎，即，等号成立或平行.‎ 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.‎ 例16.31 已知函数，且的解集为.‎ ①求的值；‎ ②若，且，求证：.‎ 解析 ①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.‎ ②由①知，又，‎ 由柯西不等式得 ‎.‎ 变式1 已知，，求证：.‎ 变式2 已知，.‎ 求证：.‎ 例16.32 设实数满足，求证：.‎ 解析 由柯西不等式，.所以，所以.‎ 评注 有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.‎ 变式1 已知,且，求证：.‎ 变式2 已知正实数满足，求证：.‎ 最有效训练题61(限时45分钟)‎ ‎1.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设，则（ ）‎ A. 都不大于 B. 都不小于 C. 至少有一个不大于 D. 至少有一个不小于 ‎3.若，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. 由的取值决定 ‎ ‎4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若正数满足，则①的取值范围是 ；②的取值范围是 .‎ ‎7.在实数范围内，不等式的解集为 .‎ ‎8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎9.已知,.求证：.‎ ‎10.已知函数.‎ ‎ (1) 当时，求不等式的解集；‎ ‎ (2)若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎11. 已知函数，且的解集为.‎ ①求的值；‎ ②若，且，求证：.‎ ‎12.已知函数.设数列满足，，数列满足， .‎ ‎（1）用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）证明：.‎