2016年山东省高考文科数学真题及答案

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2016年山东省高考文科数学真题及答案

2016 年山东省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项 中,只有一个是项符合题目要求的. 1.(5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则 ∁ U (A∪B)=( ) A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6} 2.(5 分)若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则 =( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 3.(5 分)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如 图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为 [17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图, 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 4.(5 分)若变量 x,y 满足 ,则 x2+y2 的最大值是( ) A.4 B.9 C.10 D.12 5.(5 分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体 的体积为( ) A. + π B. + π C. + π D.1+ π 6.(5 分)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线 a 和直线 b 相 交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(5 分)已知圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 , 则圆 M 与圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 8.(5 分)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c,a2=2b2(1 ﹣sinA),则 A=( ) A. B. C. D. 9.(5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x ≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x);当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ).则 f(6)=( ) A.﹣2 B.1 C.0 D.2 10.(5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的 切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(5 分)执行如图的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为 . 12.(5 分)观察下列等式: (sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5; … 照此规律, (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= . 13.(5 分)已知向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4),若 ⊥(t + ),则实数 t 的 值为 . 14.(5 分)已知双曲线 E: ﹣ =1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 15.(5 分)已知函数 f(x)= ,其中 m>0,若存在实数 b, 使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.(12 分)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需 转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域 中的数.记两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ①若 xy≤3,则奖励玩具一个; ②若 xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率; (Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 17.(12 分)设 f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g( )的 值. 18.(12 分)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB. (Ⅰ)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB; (Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC. 19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 20.(13 分)设 f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a ∈ R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x),求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 21.(14 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在 第一象限),且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延 长 QM 交 C 于点 B. (ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 为定值; (ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值. 2016 年山东省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项 中,只有一个是项符合题目要求的. 1.(5 分)(2016•山东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3, 4,5},则 ∁ U(A∪B)=( ) A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6} 【分析】求出 A 与 B 的并集,然后求解补集即可. 【解答】解:集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5}, 则 A∪B={1,3,4,5}. ∁ U(A∪B)={2,6}. 故选:A. 2.(5 分)(2016•山东)若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则 =( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 【分析】根据复数的四则运算先求出 z,然后根据共轭复数的定义进行求解即可. 【解答】解:∵z= = =1+i, ∴ =1﹣i, 故选:B 3.(5 分)(2016•山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时), 制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数 据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据 直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 【分析】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于 22.5 小时的 频率,进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数. 【解答】解:自习时间不少于 22.5 小时的频率为:(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7, 故自习时间不少于 22.5 小时的频率为:0.7×200=140, 故选:D 4.(5 分)(2016•山东)若变量 x,y 满足 ,则 x2+y2 的最大值是( ) A.4 B.9 C.10 D.12 【分析】由约束条件作出可行域,然后结合 x2+y2 的几何意义,即可行域内的动 点与原点距离的平方求得 x2+y2 的最大值. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图, ∵A(0,﹣3),C(0,2), ∴|OA|>|OC|, 联立 ,解得 B(3,﹣1). ∵ , ∴x2+y2 的最大值是 10. 故选:C. 5.(5 分)(2016•山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则 该几何体的体积为( ) A. + π B. + π C. + π D.1+ π 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥, 进而可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四 棱锥, 半球的直径为棱锥的底面对角线, 由棱锥的底底面棱长为 1,可得 2R= . 故 R= ,故半球的体积为: = π, 棱锥的底面面积为:1,高为 1, 故棱锥的体积 V= , 故组合体的体积为: + π, 故选:C 6.(5 分)(2016•山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据空间直线与直线,平面与平面位置关系的几何特征,结合充要条件 的定义,可得答案. 【解答】解:当“直线 a 和直线 b 相交”时,“平面α和平面β相交”成立, 当“平面α和平面β相交”时,“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立, 故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件, 故选:A 7.(5 分)(2016•山东)已知圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线 段的长度是 2 ,则圆 M 与圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出 a 的值,结合两圆的位置关系进行 判断即可. 【解答】解:圆的标准方程为 M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0), 则圆心为(0,a),半径 R=a, 圆心到直线 x+y=0 的距离 d= , ∵圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 , ∴2 =2 =2 =2 , 即 = ,即 a2=4,a=2, 则圆心为 M(0,2),半径 R=2, 圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的圆心为 N(1,1),半径 r=1, 则 MN= = , ∵R+r=3,R﹣r=1, ∴R﹣r<MN<R+r, 即两个圆相交. 故选:B 8.(5 分)(2016•山东)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c, a2=2b2(1﹣sinA),则 A=( ) A. B. C. D. 【分析】利用余弦定理,建立方程关系得到 1﹣cosA=1﹣sinA,即 sinA=cosA,进 行求解即可. 【解答】解:∵b=c, ∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2(1﹣cosA), ∵a2=2b2(1﹣sinA), ∴1﹣cosA=1﹣sinA, 则 sinA=cosA,即 tanA=1, 即 A= , 故选:C 9.(5 分)(2016•山东)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3 ﹣1;当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x);当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ).则 f(6)=( ) A.﹣2 B.1 C.0 D.2 【分析】求得函数的周期为 1,再利用当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x),得到 f(1)=﹣f(﹣1),当 x<0 时,f(x)=x3﹣1,得到 f(﹣1)=﹣2,即可得出结 论. 【解答】解:∵当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ), ∴当 x> 时,f(x+1)=f(x),即周期为 1. ∴f(6)=f(1), ∵当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x), ∴f(1)=﹣f(﹣1), ∵当 x<0 时,f(x)=x3﹣1, ∴f(﹣1)=﹣2, ∴f(1)=﹣f(﹣1)=2, ∴f(6)=2. 故选:D. 10.(5 分)(2016•山东)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象 在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质 的是( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3 【分析】若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直,则函数 y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1, 进而可得答案. 【解答】解:函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切 线互相垂直, 则函数 y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1, 当 y=sinx 时,y′=cosx,满足条件; 当 y=lnx 时,y′= >0 恒成立,不满足条件; 当 y=ex 时,y′=ex>0 恒成立,不满足条件; 当 y=x3 时,y′=3x2>0 恒成立,不满足条件; 故选:A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(5 分)(2016•山东)执行如图的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为 1 . 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可. 【解答】解:若输入 n 的值为 3, 则第一次循环,S=0+ ﹣1= ﹣1,1≥3 不成立, 第二次循环,S= ﹣1+ = ﹣1,2≥3 不成立, 第三次循环,S= ﹣1+ ﹣ = ﹣1=2﹣1=1,3≥3 成立, 程序终止,输出 S=1, 故答案为:1 12.(5 分)(2016•山东)观察下列等式: (sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5; … 照此规律, ( sin ) ﹣ 2+ ( sin ) ﹣ 2+ ( sin ) ﹣ 2+…+ ( sin ) ﹣ 2= n (n+1) . 【分析】由题意可以直接得到答案. 【解答】解:观察下列等式: (sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4; (sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5; … 照此规律(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= ×n (n+1), 故答案为: n(n+1) 13.(5 分)(2016•山东)已知向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4),若 ⊥(t + ), 则实数 t 的值为 ﹣5 . 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可. 【解答】解:∵向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4), ∴t + =(t+6,﹣t﹣4), ∵ ⊥(t + ), ∴ •(t + )=t+6+t+4=0, 解得 t=﹣5, 故答案为:﹣5. 14.(5 分)(2016•山东)已知双曲线 E: ﹣ =1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的 离心率是 2 . 【分析】可令 x=c,代入双曲线的方程,求得 y=± ,再由题意设出 A,B,C, D 的坐标,由 2|AB|=3|BC|,可得 a,b,c 的方程,运用离心率公式计算即可得 到所求值. 【解答】解:令 x=c,代入双曲线的方程可得 y=±b =± , 由题意可设 A(﹣c, ),B(﹣c,﹣ ),C(c,﹣ ),D(c, ), 由 2|AB|=3|BC|,可得 2• =3•2c,即为 2b2=3ac, 由 b2=c2﹣a2,e= ,可得 2e2﹣3e﹣2=0, 解得 e=2(负的舍去). 故答案为:2. 15.(5 分)(2016•山东)已知函数 f(x)= ,其中 m>0, 若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围 是 (3,+∞) . 【分析】作出函数 f(x)= 的图象,依题意,可得 4m﹣m2 <m(m>0),解之即可. 【解答】解:当 m>0 时,函数 f(x)= 的图象如下: ∵x>m 时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2, ∴y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根, 必须 4m﹣m2<m(m>0), 即 m2>3m(m>0), 解得 m>3, ∴m 的取值范围是(3,+∞), 故答案为:(3,+∞). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.(12 分)(2016•山东)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加 活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录 指针所指区域中的数.记两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ①若 xy≤3,则奖励玩具一个; ②若 xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率; (Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 【分析】(Ⅰ)确定基本事件的概率,利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具 的概率; (Ⅱ)求出小亮获得水杯与获得饮料的概率,即可得出结论. 【解答】解:(Ⅰ)两次记录的数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(3,3),(4, 2),(4,3),(4,4),共 16 个, 满足 xy≤3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共 5 个, ∴小亮获得玩具的概率为 ; (Ⅱ)满足 xy≥8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共 6 个,∴小亮获得水杯的概率为 ; 小亮获得饮料的概率为 1﹣ ﹣ = , ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率. 17.(12 分)(2016•山东)设 f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g( )的 值. 【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简 f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调 性,求得函数的增区间. (Ⅱ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,从而 求得 g( )的值. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2 =2 sin2x﹣ 1+sin2x=2 • ﹣1+sin2x =sin2x﹣ cos2x+ ﹣1=2sin(2x﹣ )+ ﹣1, 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ , 可得函数的增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k ∈ Z. (Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 可得 y=2sin(x﹣ )+ ﹣1 的图象; 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)=2sinx+ ﹣1 的图象, ∴g( )=2sin + ﹣1= . 18.(12 分)(2016•山东)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB. (Ⅰ)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB; (Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC. 【分析】(Ⅰ)由条件利用等腰三角形的性质,证得 BD⊥AC,ED⊥AC,再利用 直线和平面垂直的判定定理证得 AC⊥平面 EFBD,从而证得 AC⊥FB. (Ⅱ)再取 CF 的中点 O,利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面 ABC, OH∥平面 ABC,可得平面 OGH∥平面 ABC,从而证得 GH∥平面 ABC. 【解答】(Ⅰ)证明:如图所示,∵D 是 AC 的中点,AB=BC,AE=EC, ∴△BAC、△EAC 都是等腰三角形, ∴BD⊥AC,ED⊥AC. ∵EF∥DB,∴E、F、B、D 四点共面,这样, AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、BD, ∴AC⊥平面 EFBD. 显然,FB ⊂ 平面 EFBD,∴AC⊥FB. (Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,再取 CF 的中点 O, 则 OG∥EF,∵OG∥BD, ∴OG∥BD,而 BD ⊂ 平面 ABC,∴OG∥平面 ABC. 同理,OH∥BC,而 BC ⊂ 平面 ABC,∴OH∥平面 ABC. ∵OG∩OH=O,∴平面 OGH∥平面 ABC,∴GH∥平面 ABC. 19.(12 分)(2016•山东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列, 且 an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【分析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n, ∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5, n=1 时,a1=S1=11,∴an=6n+5; ∵an=bn+bn+1, ∴an﹣1=bn﹣1+bn, ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1. ∴2d=6, ∴d=3, ∵a1=b1+b2, ∴11=2b1+3, ∴b1=4, ∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1; (Ⅱ)cn= = =6(n+1)•2n, ∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①, ∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②, ① ﹣ ② 可 得 ﹣ Tn=6[2•2+22+23+…+2n ﹣ ( n+1 ) •2n+1]=12+6 × ﹣ 6 (n+1)•2n+1=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2, ∴Tn=3n•2n+2. 20.(13 分)(2016•山东)设 f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a ∈ R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x),求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 【分析】(Ⅰ)先求出 g(x)=f′(x)的解析式,然后求函数的导数 g′(x),利用 函数单调性和导数之间的关系即可求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)分别讨论 a 的取值范围,根据函数极值的定义,进行验证即可得到结论. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x, ∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0, g′(x)= ﹣2a= , 当 a≤0,g′(x)>0 恒成立,即可 g(x)的单调增区间是(0,+∞); 当 a>0,当 x> 时,g′(x)<0,函数为减函数, 当 0<x< ,g′(x)>0,函数为增函数, ∴当 a≤0 时,g(x)的单调增区间是(0,+∞); 当 a>0 时,g(x)的单调增区间是(0, ),单调减区间是( ,+∞); (Ⅱ)∵f(x)在 x=1 处取得极大值,∴f′(1)=0, ①当 a≤0 时,f′(x)单调递增, 则当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值,不合 题意, ②当 0<a< 时, >1,由(1)知,f′(x)在(0, )内单调递增, 当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 1<x< 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, )内单调递增,即 f(x)在 x=1 处 取得极小值,不合题意. ③当 a= 时, =1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则当 x>0 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当 a> 时,0< <1, 当 <x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x) 单调递减, ∴当 x=1 时,f(x)取得极大值,满足条件. 综上实数 a 的取值范围是 a> . 21.(14 分)(2016•山东)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦 距为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在 第一象限),且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延 长 QM 交 C 于点 B. (ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 为定值; (ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值. 【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求解椭圆 C 的方程; (Ⅱ)(ⅰ)设出 N 的坐标,求出 PQ 坐标,求出直线的斜率,即可推出结果 (ⅱ)求出直线 PM,QM 的方程,然后求解 B,A 坐标,利用 AB 的斜率求解最 小值. 【解答】解:(Ⅰ)椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .可 得 a=2,c= ,b= , 可得椭圆 C 的方程: ; (Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在 第一象限),设 N(﹣t,0)t>0,M 是线段 PN 的中点,则 P(t,2m),过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,Q(t,﹣2m), (ⅰ)证明:设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′, k= = ,k′= =﹣ , = =﹣3.为定值; (ⅱ)由题意可得 ,m2=4﹣ t2,QM 的方程为:y=﹣3kx+m, PN 的方程为:y=kx+m, 联立 ,可得:x2+2(kx+m)2=4, 即:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得 xA= ,yA= +m, 同理解得 xB= , yB= , xA﹣xB= k﹣ = , yA﹣yB= k+m﹣( )= , kAB= = = ,由 m>0,x0>0,可知 k>0, 所以 6k+ ,当且仅当 k= 时取等号. 此时 ,即 m= ,符合题意. 所以,直线 AB 的斜率的最小值为: .
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