高考数学综合训练8

高考数学综合训练8

08 届高考数学综合训练（八） 一。选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．在由正数组成的等比数列 中， ，则 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如果复数 的实部与虚部互为相反数，则 的值等于 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数 在点 处连续，则 （ ） A．11 B． C．3 D． 4．已知函数 满足 ，且 时， ，则 与 的图像的交点的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数 的图像是中心对称图形，其对称中心的坐标是 （ ） A． B． C． D． 7．已知等比数列 中， ，公比为 ，且该数列各项的和为 ， 表示该数列的前 项和，且 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．已知函数 在 R 上可导且满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．设函数 的定义域为 ,若函数 满足: (1) 在 内单调递增,(2)方程 在 内有 两个不等的实根,则称 为递增闭函数.若 是递增闭函数,则实数 的取值范围是 ( ) A． B． C． D { }na 1 2 3 41, 4a a a a+ = + = 4 5a a+ = 2 ( )1 ai a Ri + ∈+ a 3 2 3,( 1)( ) 1 1, ( 1) x x xf x x ax x  + − >= −  + ≤ 1x = [ ( 1)]f f − = 3− 11− ( )( )y f x x R= ∈ ( 1) ( 1)f x f x+ = − [ 1,1]x∈ − 2( )f x x= ( )y f x= 5logy x= 4a = ( ) ln( 1)f x a x x= − − [2,4] 3( ) ( 2) 1f x x x= + − + ( 1,1)− ( 2,3)− (0,9) (2, 3)− { }na 1 1a = q S nS n lim( )nn S aS q→∞ − = a 3[ ,3)4 3( ,3)4 3[ ,1) (1,3)4  3[ ,1) (1,3]4  ( )f x ( ) ( ), ( 4) ( )f x f x f x f x− = + = (2006)f ′ = 1 2006 − 0 1 2006 2006 ( )f x M ( )f x ( )f x M ( )f x x= M ( )f x ( ) 2f x k k x= − + k ( ,0]−∞ [2, )+∞ ( , 2]−∞ − [ 2,0)− 10．已知集合 ，若集合 ，则实 数 的取值范围是 A． B． C． D． 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中的横线上） 11．函数 的反函数 的图像与 轴交于点 ，则方程 在 上的根是 12．数列 是等差数列， ，其中 ，则通项公式 13 ． 已 知 函 数 在 单 调 递 增 ， 且 对 任 意 实 数 恒 有 ， 若 ，则 的取值范围是 14．若 表示 的各位上的数字之和，如 ，所以 ， 记 ，则 15 ． 函 数 ， 且 满 足 ， 若 ， 则 集 合 中最小的元素是 三．解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分 12 分）已知：命题 是 的反函数，且 ； 命题 集合 ，且 ，试求实数 的取值范围使得 命题 有且只有一个真命题 2 2{( , ) | 1 1}, {( , ) | ( 1) ( 1) 1}A x y x a y B x y x y= − + − ≤ = − + − ≤ A B φ≠ a [0,2] [ 1 2, 2]− − [ 3,1]− [ 1,3]− ( )y f x= 1( )y f x−= y (0,2)P ( ) 0f x = [1,4] { }na 1 2 3 5( 1), , ( 1)2a f x a a f x= + = = − ( ) 2xf x = na = ( )f x [2, )+∞ x (2 ) (2 )f x f x+ = − 2 2(1 2 ) (1 2 )f x f x x− < + − x ( )f n 2 *1( )n n N+ ∈ 214 1 197,1 9 7 17+ = + + = (14) 17f = * 1 2 1 1( ) ( ), ( ) [ ( )], , ( ) [ ( )],k kf n f n f n f f n f n f f n k N+= = = ∈ 2007 (17)f = ( )( )y f x x R+= ∈ (3 ) 3 ( )f x f x= ( ) 1 2 (1 3)f x x x= − − ≤ ≤ { | ( ) (99)}M x f x f= = 1: ( )p f x− ( ) 1 2f x x= − 1| ( ) | 2f a− < :q 2{ | 1 0, }, { | 0}A x x ax x R B x x= + + = ∈ = > A B φ= a ,p q 17．（本题满分 12 分）已知函数 同时满足：○1 不等式 的解集有且只 有一个元素；○2 在定义域内存在 ，使得不等式 成立．设数列 的前 项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数， 令 （ 为正整数），求数列 的变号数 18．（本题满分 12 分）函数 是定义域为 的奇函数，且对任意的 ，都有 成 立，当 时， . （1）当 时，求函数 的解析式; （2）求不等式 的解集. 2( ) ( )f x x ax a a R= − + ∈ ( ) 0f x ≤ 1 20 x x< < 1 2( ) ( )f x f x> { }na n ( )nS f n= { }na { }nc 1 0i ic c +⋅ < i { }nc 1n n ac a = − n { }nc ( )y f x= R x R∈ ( 4) ( )f x f x+ = ( )2,0∈x 2( ) 1f x x= − + ( ) Z)(k24,24 ∈+−∈ kkx ( )f x ( ) 1f x > − 19．（本题满分 12 分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品， 根据经验知道，其次品率 与日产量 （万件）之间大体满足关系： （其中 为小于 6 的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如 表示每生产 10 件产品，有 1 件为次品，其余为合格品） 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元，但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元，故厂方希望定出合适的 日产量. （1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数 （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 20．（本题满分 13 分）已知正项数列 中， ，点 在抛物线 上；数列 中，点 在过点 ，以 为方向向量的直线 上． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若 ，问是否存在 ，使 成立，若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由． （3）证明不等式： ， ，…… 21．（本题满分 14 分）已知函数 （ 为常数且 ） （1）当 时，求 的单调区间 （2）若 在 处取得极值，且 ，而 在 上恒成立，求实数 的取值范围（其中 为自然对数的底数） P x 1 ,1 ,6 2 ,3 x cxP x c  ≤ ≤ −=   > c 0.1P = T x { }na 1 6a = 1( , )n n nA a a + 2 1y x= + { }nb ( , )n nB n b (0,1) (1,2) l { }na { }nb ,( ) , n n a nf n b n =   为奇数 为偶数 *k N∈ ( 27) 4 ( )f k f k+ = k 1 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5 152 n n b b b n a + + + ≥ − +  1,2,3n = 2 ( ) ln( 2) 2 xf x x a = − − a 0a ≠ 0a > ( )f x ( )f x 0x 2 0 [ 2, 2]x e e∉ + + ( ) 0f x ≥ 2[ 2, 2]e e+ + a e 2008 届高三年级十月联考数学试题参考答案 一．选择题 1~10 BADDA BCBCD 二．填空题 11．2 12． 13． 14．8 15．45 三．解答题 16．解：因为 ，所以 ………………………………（1 分） 由 得 ，解得 ………………………………（3 分） 因为 ，故集合 应分为 和 两种情况 （1） 时， …………………………………（6 分） （2） 时， ……………………………………（8 分） 所以 得 …………………………………………………（9 分） 若 真 假，则 …………………………………………………………（10 分） 若 假 真，则 ……………………………………………………………（11 分） 故实数 的取值范围为 或 ………………………………………（12 分） 17．解：（1）由○1 的解集有且只有一个元素知 或 ………………………………………（2 分） 当 时，函数 在 上递增，此时不满足条件○2 综上可知 …………………………………………（3 分） ……………………………………（6 分） （2）由条件可知 ……………………………………（7 分） 当 时，令 或 所以 或 ……………………………………………………………（9 分） 荆州中学 宜昌一中 11 3 2 n− ( 2,0)− ( ) 1 2f x x= − 1 1( ) 2 xf x− −= 1| ( ) | 2f a− < 1| | 22 a− < 3 5a− < < A B φ= A A φ= A φ≠ A φ= 2 4 0 2 2a a∆ = − < ⇒ − < < A φ≠ 2 1 2 4 0 2 0 a a x x a  ∆ = − ≥ ⇒ ≥ + = − < A B φ= 2a > − p q 3 2a− < ≤ − p q 5a ≥ a 3 2a− < ≤ − 5a ≥ ( ) 0f x ≤ 2 4 0 0a a a∆ = − = ⇒ = 4a = 0a = 2( )f x x= (0, )+∞ 24, ( ) 4 4a f x x x= = − + 2 1, 14 4, 2 5, 2n n nS n n a n n =∴ = − + ∴ =  − ≥ 3, 1 41 , 22 5 n n c nn  − ==  − ≥ − 2n ≥ 1 2 9 2 7 3 50 02 5 2 3 2 2n n n nc c nn n+ − −⋅ < ⇒ ⋅ < ⇒ < <− − 7 9 2 2n< < 2n = 4n = 又 时，也有 ……………………………（11 分） 综上可得数列 的变号数为 3……………………………………………（12 分） 18．解：（1）当 时， ………………………（1 分） 当 时， ……………………（2 分） 由 ，知 又是周期为 4 的函数，所以 当 时 …………………………（4 分） 当 时 …………………………（6 分） 故当 时，函数 的解析式为 ………………………………（7 分） （2）当 时，由 ，得 或 或 解上述两个不等式组得 …………………………………………（10 分） 故 的解集为 …………………（12 分） 19．解：（1）当 时， ， ……………………（2 分） 当 时， ， 综上，日盈利额 （万元）与日产量 （万件）的函数关系为： …………………………………………………………（4 分） （2）由（1）知，当 时，每天的盈利额为 0……………………………（6 分） 当 时， 1 23, 5, 1c c n= − = ∴ = 1 2 0c c⋅ < { }nc 0x = (0) (0), (0) 0f f f= − ∴ = ( )0,2−∈x 2(0,2], ( ) ( ) 1x f x f x x− ∈ = − − = − ( 4) ( )f x f x+ = ( )y f x= )4,24( kkx −∈ 2( 4 ) [ 2,0) ( ) ( 4 ) ( 4 ) 1x k f x f x k x k− ∈ − ∴ = − = − − )24,4( +∈ kkx 2( 4 ) (0,2] ( ) ( 4 ) ( 4 ) 1x k f x f x k x k− ∈ ∴ = − = − − + ( ) Z)(k24,24 ∈+−∈ kkx ( )f x ( ) )( )24,4(1)4( 20 )4,24(1)4( 2 2 Zk kkxkx kx kkxkx xf ∈    +∈+−− = −∈−− = ( )2,2−∈x ( ) 1f x >    −>− <<− 11 02 2x x    −>+− << 11 20 2x x 0x = 22 <<− x ( ) 1f x > − { | 4 2 4 2}( )x k x k k Z− < < + ∈ x c> 2 3P = 1 22 1 03 3T x x∴ = ⋅ − ⋅ = 1 x c≤ ≤ 1 6P x = − 21 1 9 2(1 ) 2 ( ) 16 6 6 x xT x xx x x −∴ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− − − T x 29 2 ,16 0, x x x cT x x c  − ≤ ≤= −  > x c> 1 x c≤ ≤ 29 2 6 x xT x −= − 915 2[(6 ) ]6x x = − − + − 15 12 3≤ − = 当且仅当 时取等号 所以 当 时， ，此时 ……………………………（8 分） 当 时，由 知 函数 在 上递增， ，此时 ……（10 分） 综上，若 ，则当日产量为 3 万件时，可获得最大利润 若 ，则当日产量为 万件时，可获得最大利润…………（12 分） 20．解：（1）将点 代入 得 因为直线 ，所以 ……………………………………（3 分） （2） ， 当 为偶数时， 为奇数， ……………（5 分） 当 为奇数时， 为偶数， （舍去） 综上，存在唯一的 符合条件…………………………………………………（7 分） （3）证明不等式 即证明 成立，下面用数学归纳法证明 ○1 当 时，不等式左边= ，原不等式显然成立………………………（8 分） ○2 假设 时，原不等式成立，即 当 时 = ，即 时，原不等式也成立 ………………（11 分） 根据○1 ○2 所得，原不等式对一切自然数都成立 ……………………………（13 分） 3x = ( )i 3 6c≤ < max 3T = 3x = ( )ii 1 3c≤ < 2 2 2 2 24 54 2( 3)( 9) (6 ) (6 ) x x x xT x x − + − −′ = =− − 29 2 6 x xT x −= − [1,3] 2 max 9 2 6 c cT c −∴ = − x c= 3 6c≤ < 1 3c≤ < c 1( , )n n nA a a + 2 1y x= + 1 1n na a+ = + 5na n∴ = + : 2 1l y x= + 2 1nb n= + 5,( ) 2 1, n nf n n n +=  + 为奇数 为偶数 k 27k + 27 5 4(2 1) 4k k k∴ + + = + ⇒ = k 27k + 352( 27) 1 4( 5) 2k k k∴ + + = + ⇒ = 4k = 1 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5 152 n n b b b n a + + + ≥ − +  1 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5 152 3 nb b b n + + + ≥ +  1n = 4 5 15 n k= ( *)k N∈ 1 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5 152 3 kb b b k + + + ≥ +  1n k= + 1 2 1 1 1 1 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 5 k kb b b b k + + + + + +  1 2 1 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 2 3(1 )2 3 2 3 2 5 k kb b b k k k + + + + + +⋅ + +  4 5 15 ≥ 2 5 2 3 k k + + 4 5 15 > 1n k= + 21．解：（1）由 得 ……………………（1 分） 又 的定义域为 ，所以 当 时， 当 时， ， 为减函数 当 时， ， 为增函数………………………（5 分） 所以当 时， 的单调递增区间为 单调递减区间为 …………………（6 分） （2）由（1）知当 时， ， 递增无极值………（7 分） 所以 在 处有极值，故 且 因为 且 ，所以 在 上单调 当 为增区间时， 恒成立，则有 ………………………………………（9 分） 当 为减区间时， 恒成立，则有 无解 ……………………（13 分） 由上讨论得实数 的取值范围为 …………………………（14 分） 2 ( ) ln( 2) 2 xf x x a = − − 1( ) 2 xf x x a ′ = −− 1( ) 2 xf x x a ′ = −− 2 22 1 [( 1) ( 1)]( 2) ( 2) x x a x aa x a x − −= − = − − − +− − ( )f x (2, )+∞ 2 0x − > 0a > ( )f x′ = 1 ( 1 1)( 1 1)( 2) x a x aa x − − + + − − +− 2, 1 1 0, ( 2) 0x x a a x> ∴ − + + > − > 1 1x a≥ + + ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 2 1 1x a≤ ≤ + + ( ) 0f x′ ≥ ( )f x 0a > ( )f x (2,1 1)a+ + (1 1, )a+ + +∞ 0a < 1( ) 2 xf x x a ′ = −− 0> ( )f x ( )f x 0x 0a > 0 1 1x a= + + 2 0 [ 2, 2]x e e∉ + + 2 2e + > ( )f x 2[ 2, 2]e e+ + 2[ 2, 2]e e+ + ( ) 0f x ≥ 2 4 22 1 1 2 ( 2) 0 e a a e e f e  + < + + ⇒ > + + ≥ 2[ 2, 2]e e+ + ( ) 0f x ≥ 2 4 2 2 22 1 1 4 4( 2) 0 4 a e ee a e ef e a  < + + > + + ⇒  + ++ ≥ ≥  a 4 22a e e> +