2015高考数学人教A版本（10-5古典概型与几何概型）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．已知α、β、γ是不重合平面，a、b是不重合的直线，下列说法正确的是( )
A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件
B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件
C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件
D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件
[答案] D
[解析] ⇒b⊥α，故A错；⇒b∥α或b⊂α，故B错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题．
2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．
其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，
∴所求概率为P＝＝.
(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a、b、c，则a＋c＝2b，所以a＋c为偶数，则a、c的奇偶性相同，且a、c允许重复，一旦a、c确定，b
也唯一确定，故a，c共有2×32＝18(种)，所以所求概率为＝，故选A.
3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] P＝＝.
(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] P＝＝.
4．(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )
A．3.13 B．3.14
C．3.15 D．3.16
[答案] A
[解析] 根据几何概型的定义有＝，得π≈3.13.
(理)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B.
C. D．π
[答案] C
[解析] 由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝，故选C.
5．(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为，设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝＝，选C.
(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析]
由题意知AB>AD，如图，当点P与E(或F)重合时，△ABP中，AB＝BP(或AP)，当点P在EF上运动时，总有AB>AP，AB>BP，由题中事件发生的概率为知，点P的分界点E、F恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝AF2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故选D.
6．(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设这两个数分别为x，y，则由条件知0
n的概率与mn的概率为×＝，
∴满足m≥n的概率为P＝＋＝.
8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
[答案]
[解析]
由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P＝＝.
(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
[答案]
[解析] ∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.
由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，
∴p＝.
9．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．
[答案]
[解析] ∵直线与圆有公共点，∴≤1，
∴－≤k≤.故所求概率为P＝＝.
(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为________．
[答案]
[解析]
方程x＝2－化为x2－2x＋2b＝0，
∵方程有两个不等实根，
∴Δ＝8a－8b>0，∴a>b，
如图可知，所求概率P＝.
三、解答题
10．(文)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m、n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
[解析] (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2
由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.
(理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：g)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．
(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；
(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
[解析] (1)若编号为n的球的重量大于其编号，
则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.
解得n<3，或n>4.
所以n＝1,2,5,6.
所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.
(2)不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序)：
1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；
2,3；2,4；2,5；2,6；
3,4；3,5；3,6；
4,5；4,6；
5,6.
共有15种．
设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.
所以m＝n(舍去)，或m＋n＝6.
满足m＋n＝6的情形为：1,5；2,4，共2种．
故所求事件的概率为.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×3＝12种，满足要求的排法只有1种，∴所求概率为P＝.
12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，∴x(12－x)>20，∴2x时，即只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝.
15．(2013·南京模拟)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P落在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
[答案]
[解析] 点P的取法有2×3＝6种，
点P在圆内部，则m2＋n2<9，
∴m＝2，n＝1或2.
∴所求概率P＝＝.
三、解答题
16．(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝，
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
(理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①设事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取两个实数x、y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
[解析] (1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)将标号为2的小球记作a1，a2
①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．
∴P(A)＝＝.
②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，
则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，
∴P(B)＝＝＝1－.
考纲要求
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
4．了解几何概型的意义．
补充说明
1．求解与角度有关的几何概型的注意点
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
2．.求解古典概型概率，首先要找准基本事件，判断的标准就是有限性和等可能性．基本事件空间中基本事件的计算方法和事件A中包含的基本事件计算方法必须保持一致，计数时可以采取一一列举的方法，也可以采用模型化方法或用计数原理求，并辅以必要的文字说明．
3．注意事件是否互斥；遇到“至多”、“至少”等事件时，注意对立事件概率公式的应用．
备选习题
1.
(2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由几何概型的概率公式，得＝，所以阴影部分面积约为，故选C.
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如图正六边形ABCDEF，从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ACDE，ACDF，ACEF，ADEF，BCDE，BCDF，BCEF，ABEF，
BDEF，CDEF共15种选法，基本事件总数为15，其中四边形是矩形的有ABDE，BCEF，CDFA共3种，所以所求概率为P＝＝.
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 先后抛掷两枚骰子，向上点数共有6×6＝36种不同结果，其中满足log2xy＝1，
即y＝2x的情况如下：
x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，共3种．
∴所求概率为P＝＝.
[点评] 注意细微差别，若把题目中的条件log2xy＝1改为log2xy>1，则所求概率为( )
此时答案为A
这是因为抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果，
∵log2xy>1，∴y>2x.
当x＝1时，y有4种取法；当x＝2时，y有2种取法；当x＝3时，没有y满足，
∴满足y>2x的取法共有4＋2＝6种，
故所求概率P＝＝.
若改为logx2y<1呢？
4．设a∈[0,2]，b∈[0,4]，则函数f(x)＝x2＋2ax＋b在R上有两个不同零点的概率为________．
[答案]
[解析]
∵f(x)有两个不同零点，∴Δ＝4a2－4b>0，∴b
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