十年高考数学真题分类解析极限导数与积分

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十年高考数学真题分类解析极限导数与积分

十年高考分类解析与应试策略数学 第十一章 极限、导数与积分 ‎●考点阐释 本章为新教材增设内容,是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.‎ 重点掌握:‎ ‎1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限,并能利用它解决有关问题.‎ ‎2.了解函数在一点处的连续性的定义,从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.‎ ‎3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系,会求一些实际问题的最值.‎ ‎4.掌握微积分的基本公式,理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.‎ ‎●试题类编 一、填空题 ‎1.(2002天津理,15)直线x=0,y=0,x=2与曲线y=()x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.‎ ‎2.(1998上海,3)若,则a= .‎ ‎3.(1996上海理,16)= .‎ 二、解答题 ‎4.(2002天津文,21)已知a>0,函数f(x)=x3-a,x∈[0,+∞).设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.‎ ‎(Ⅰ)求l的方程;‎ ‎(Ⅱ)设l与x轴交点为(x2,0).证明:‎ ‎(i)x2≥a;‎ ‎(ii)若x1>a,则a<x2<x1.‎ ‎5.(2002天津理,20)已知a>0,函数f(x)=,x∈(0,+∞).设0<x1<,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.‎ ‎(Ⅰ)求l的方程;‎ ‎(Ⅱ)设l与x轴交点为(x2,0),证明:‎ ‎(i)0<x2≤;‎ ‎(ii)若x1<,则x1<x2<.‎ 图11—1‎ ‎6.(2001天津理,21)某电厂冷却塔外形是如图11—‎ ‎1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=‎14 m,CC′=‎18 m,BB′=‎22 m,塔高‎20 m.‎ ‎(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.‎ ‎※(2)求冷却塔的容积(精确到‎10 m3‎,塔壁厚度不计,π取3.14)‎ ‎7.(1995上海文,22)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2.‎ ‎(1)求y=f(x)的表达式;‎ ‎※(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.‎ ‎8.(1995上海理,22)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2.‎ ‎(1)求y=f(x)的表达式;‎ ‎※(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.‎ 说明:凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符,仅供读者自己选用.‎ ‎●答案解析 ‎1.答案: 解析:由旋转体的体积公式V=π .‎ ‎2.答案:4‎ 解析:依题意有:=2,∴a=4‎ ‎3.答案:- 解析:原式=.‎ ‎4.(Ⅰ)解:求f(x)的导数:f′(x)=3x2,由此得切线l的方程:‎ y-(x13-a)=3x12(x-x1).‎ ‎(Ⅱ)证明:依题意,切线方程中令y=0,‎ x2=x1-,‎ ‎(i)≥0,‎ ‎∴x2≥a,‎ 当且仅当x1=a时等号成立.‎ ‎(ii)若x1>a,则x13-a>0,x2-x1=-<0,且由(i)x2>a,‎ 所以a<x2<x1.‎ ‎5.(Ⅰ)解:求f(x)的导数:f′(x)=-,由此得切线l的方程:‎ y-()=-(x-x1).‎ ‎(Ⅱ)证明:依题意,切线方程中令y=0,‎ x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0<x1<.‎ ‎(i)由0<x1<,x2=x1(2-ax1),有x2>0,及x2=-a(x1-)2+.‎ ‎∴0<x2≤,当且仅当x1=时,x2=.‎ ‎(ii)当x1<时,ax1<1,因此,x2=x1(2-ax1)>x1,且由(i),x2<,‎ 所以x1<x2<.‎ 图11—2‎ ‎6.(1)如图11—2建立直角坐标系,xOy,使AA′在x轴上,‎ AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.‎ 设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′=7.‎ 又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有 ①‎ ②‎ 由题意,知y2-y1=20. ③‎ 由①、②、③,得 y1=-12,y2=8.b=7.‎ 故双曲线方程为=1;‎ ‎(2)由双曲线方程,得x2=y2+49.‎ 设冷却塔的容积为V(m3),则 .‎ 经计算,得V=4.25×103(m3).‎ 答:冷却塔的容积为4.25×‎103 m3‎.‎ 评述:本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.‎ ‎7.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,又已知f′(x)=2x+2‎ ‎∴a=1,b=2.‎ ‎∴f(x)=x2+2x+c 又方程f(x)=0有两个相等实根,‎ ‎∴判别式Δ=4-‎4c=0,即c=1.‎ 故f(x)=x2+2x+1.‎ ‎(2)依题意,有所求面积=.‎ 评述:本题考查导数和积分的基本概念.‎ ‎8.解:(1)与7(1)相同.(2)依题意,有,‎ ‎∴,‎ ‎-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,‎ ‎∴2(t-1)3=-1,于是t=1-.‎ ‎●命题趋向与应试策略 ‎1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查:‎ ‎(1)函数的极限;‎ ‎(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;‎ ‎(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积.‎ ‎2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标.‎
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