江苏高考数学二轮复习练习4平面向量有答案

江苏高考数学二轮复习练习4平面向量有答案

专题限时集训(四)　平面向量 ‎(对应学生用书第86页)‎ ‎(限时：120分钟)‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)‎ ‎1．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.‎ ‎60°　[cos∠ABC＝ ‎＝ ‎＝，所以∠ABC＝60°.]‎ ‎2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．‎ ‎－5　[∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．‎ 又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]‎ ‎3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a，b均为单位向量，且(‎2a＋b)·(a－2b)＝－， 则向量a，b的夹角为________. ‎ ‎【导学号：56394025】‎ 　[向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝1，所以(‎2a＋b)·(a－2b)＝－‎3a·b＝－3cos θ＝－，即cos θ＝，θ＝.]‎ ‎4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量a＝(cos x，－sin x)，b＝，且a＝tb，t≠0，则sin 2x的值等于________．‎ ‎±1　[因为b＝＝(－sin x，cos x)，a＝tb，所以cos xcos x－(－sin x)(－sin x)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，tan x＝±1，x＝＋(k∈Z)，2x＝kπ＋(k∈Z)，sin 2x＝±1.]‎ ‎5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a与b 的夹角为θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，则cos θ＝________.‎ ‎－　[因为(a＋2b)－a＝2b＝(4,2)，所以b＝(2,1)，所以cos θ＝＝＝－.]‎ ‎6．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.‎ 　[因为a⊥b⇒a·b＝0⇒x－2＝0⇒x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝. ]‎ ‎7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________．‎ ‎－或1　[△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，点P满足＝＋λ，‎ ‎∴－＝λ，∴＝λ；‎ 又＝－＝(＋λ)－＝＋(λ－1)，‎ ‎∴·＝λ·[＋(λ－1)]‎ ‎＝λ·＋λ(λ－1)2‎ ‎＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×22＝1，‎ 整理得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1，‎ ‎∴实数λ的值为－或1.]‎ ‎8．(天津六校2017届高三上学期期中联考)D为△ABC的边BC上一点，＝－2，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若＝λ，＝μ，其中λ＞0，μ＞0，则＋＝________.‎ ‎3　[因为＝＋＝m＋n＝mλ＋nμ(m＋n＝1)，所以mλ＝，nμ＝⇒＋＝‎3m＋3n＝3.]‎ ‎9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,2)，则·的最小值为________．‎ ‎－　[设A(a，b)，B(c，d)，‎ ‎∵＝(1,2)，＝(－2,2)，‎ ‎∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，‎ 则＝(c－a，d－b)，＝(c－a－3，d－b)，‎ ‎∴·＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)2‎ ‎＝(c－a)2－3(c－a)＋(b－d)2＝2－＋(b－d)2≥－.‎ ‎∴·的最小值为－.]‎ ‎10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量，，满足＝＋，||＝2，||＝1，E，F分别是线段BC，CD的中点，若·＝－，则向量与的夹角为________. ‎ 　[＝－，＝－，∴·＝－－＋＝－＋·＝－.‎ ‎∴·＝1，cos〈，〉＝，∴与的夹角为.]‎ ‎11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·的值是________. ‎ ‎【导学号：56394026】‎ 图4－8‎ ‎9　[平面四边形ABCD中，O为BD的中点，‎ 且OA＝3，OC＝5，∴＋＝0；‎ 若·＝－7，‎ 则(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋· ‎＝2＋·(＋)－2‎ ‎＝32－2＝－7；‎ ‎∴2＝16，‎ ‎∴||＝||＝4；‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋2‎ ‎＝－2＋·(＋)＋2‎ ‎＝－42＋0＋52＝9.]‎ ‎12．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E，F，且交其对角线AC于K，若 ＝2，＝3，＝λ(λ∈R)，则λ＝________.‎ ‎5　[由平行四边形法则，知＝＋，所以＝＝(＋)＝(2＋3)＝＋，又E，K，F三点共线，所以＋＝1，解得λ＝5.]‎ ‎13．(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．‎ ‎3　[∵·＝0，∴AC⊥BD，‎ ‎∵(＋)·(＋)＝5，‎ ‎∴(＋＋＋)·(＋＋＋)＝(＋)·(＋)＝2－2＝5，‎ ‎∴2＝2＋5＝9，∴AC＝3.‎ ‎∴四边形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×3×2＝3.]‎ ‎14．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，则||的最小值是________．‎ 　[如图建立平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，则A(0,0)，B，C；‎ ＝＋＝(cos θ，sin θ)＋＝.‎ ＝＋＝，‎ 则||＝＝≥＝＝.]‎ 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎15．(本小题满分14分)已知直线l1与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于不同的A，B两点，对平面内任意的点Q都有＝λ＋(1－λ).设P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，求·的最小值．‎ ‎[解]　由＝λ＋(1－λ)可知，A，B，C三点共线，即弦AB为圆C的直径. 4分 又因为P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，且·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－4，故·的最小值为2－4的最小值. 10分 又因为圆心C(1,2)到直线l2：3x＋4y＋4＝0的距离为＝3，故||min＝3，所以·的最小值为9－4＝5. 14分 ‎16．(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．‎ ‎(1)当x＝时，求m·n的值；‎ ‎(2)当x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值．‎ ‎[解]　(1)当x＝时，m＝，n＝，∴m·n＝－＝. 6分 ‎(2)m·n＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，8分 若m·n＝－，则sin＝，‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴cos 2x＝cos＝coscos－sinsin ＝×－×＝. 14分 ‎17．(本题满分14分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)，P为平面ABC上的一点，＝λ＋μ且·＝0，·＝3.‎ ‎(1)求·；‎ ‎(2)求λ＋μ的值. ‎ ‎【导学号：56394027】‎ ‎[解]　(1)因为＝(2,1)，＝(1,2)， 2分 所以·＝2＋2＝4.4分 ‎(2)因为·＝0，所以⊥，‎ 因为＝(2,1)，设＝(a，－‎2a)， 6分 因为·＝3，所以(a，－‎2a)·(1,2)＝3，a－‎4a＝3，a＝－1，8分 ＝(－1,2)，因为＝(1,2)，所以(－1,2)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，10分 所以则λ＋μ＝. 14分 ‎18．(本小题满分16分)如图4－9，已知点O为△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，且2＋3＋4＝0.‎ 图4－9‎ ‎(1)求cos∠BOC的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求b2＋c2－a2的值．‎ ‎[解]　(1)设△ABC外接圆的半径为R，由2＋3＋4＝0得3＋4＝－2，‎ 两边平方得9R2＋16R2＋24R2cos∠BOC＝4R2，‎ 所以cos∠BOC＝＝－. 6分 ‎(2)由题意可知∠BOC＝2∠BAC，∠BAC∈，cos∠BOC＝cos 2∠BAC＝2cos2∠BAC－1＝－，从而cos∠‎ BAC＝，10分 所以sin∠BAC＝＝，‎ ‎△ABC的面积S＝bcsin∠BAC＝bc＝，故bc＝8，从而b2＋c2－a2＝2bccos∠BAC＝2×8×＝4.16分 ‎19．(本小题满分16分)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f (a)＝·，求f (a)的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设P的坐标为(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)．‎ ‎∵动点P满足||＝2||，∴＝2，‎ 整理得x2＋y2＝4. 6分 ‎(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，)，B(a，－)，∴f (a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4； 8分 ‎(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，‎ 代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k‎2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴f (a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.‎ 由(a)(b)得f (a)＝a2－4. 14分 ‎∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，‎ ‎∴－2

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