高考数学试题分类汇编0题题详细解析

高考数学试题分类汇编0题题详细解析

‎2010年高考数学试题分类汇编——不等式 ‎（2010上海文数）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 [答]（ ）‎ ‎（A）1. （B）. （C）2. （D）3.‎ 解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2‎ ‎（2010浙江理数）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数 ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎（2010全国卷2理数）（5）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.‎ ‎【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C ‎（2010全国卷2文数）(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 ‎（A）1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】C：本题考查了线性规划的知识。‎ ‎∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时 ‎（2010全国卷2文数）（2）不等式＜0的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ‎ ∵ ，∴ ，故选A ‎（2010江西理数）3.不等式 高☆考♂资♀源*网的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。‎ 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。‎ ‎（2010安徽文数）（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是 ‎（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8‎ ‎8.C ‎【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。‎ ‎【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.‎ ‎（2010重庆文数）（7）设变量满足约束条件则的最大值为 ‎（A）0 （B）2‎ ‎（C）4 （D）6‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大 由B（2,2）知4‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. ‎4 C. D. ‎ 解析：考察均值不等式 ‎，整理得 ‎ 即，又，‎ ‎（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 A.—2 B. ‎4 C. 6 D. 8 ‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6‎ ‎（2010北京理数）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ 答案：A ‎（2010四川理数）（12）设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ 解析：‎ ‎＝ w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎＝‎ ‎≥0＋2＋2＝4‎ 当且仅当a－‎5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件.‎ 答案：B y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎（2010四川理数）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则w_w w. k#s5_u.c o*m 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ 答案：B w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（2010天津文数）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为 ‎（A）12 （B）10 （C）8 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.‎ ‎（2010福建文数）‎ ‎（2010全国卷1文数）（10）设则 ‎（A）（B） (C) (D) ‎ ‎10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.‎ ‎【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎15.【答案】CD DE ‎【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.‎ ‎（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。‎ ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ ‎2010年高考数学试题分类汇编——三角函数 ‎（2010上海文数）19.（本题满分12分）‎ 已知，化简：‎ ‎.‎ 解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．‎ ‎（2010湖南文数）16. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（I）求函数的最小正周期。‎ ‎(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。‎ ‎（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎ (I)求sinC的值；‎ ‎(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。‎ ‎（Ⅰ）解：因为cos‎2C=1-2sin‎2C=，及0＜C＜π 所以sinC=.‎ ‎（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4‎ 由cos‎2C=2cos‎2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=±‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0‎ 解得 b=或2‎ 所以 b= b=‎ ‎ c=4 或 c=4‎ ‎（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.‎ ‎【参考答案】‎ 由cos∠ADC=＞0，知B＜.‎ 由已知得cosB=，sin∠ADC=.‎ 从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.‎ 由正弦定理得 ，所以=.‎ ‎【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.‎ ‎（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，‎ ‎ AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.‎ ‎ 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,‎ ‎ 由余弦定理得 cos=,‎ ‎ ADC=120°, ADB=60°‎ ‎ 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，‎ ‎ 由正弦定理得,‎ ‎ AB=.‎ ‎（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）‎ 在中，分别为内角的对边，‎ 且 ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断的形状.‎ 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 ‎ 即 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 又，得 ‎ 因为，‎ ‎ 故 ‎ 所以是等腰的钝角三角形。‎ ‎（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 ‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ，A=120° ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 ‎（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求。‎ ‎【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。‎ 由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。‎ ‎（2010江西理数）17.（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）‎ 已知函数。‎ ‎(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；‎ ‎(2) 当时，，求m的值。‎ ‎【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.‎ 解：（1）当m=0时， ‎ ‎，由已知，得 从而得：的值域为 ‎（2）‎ 化简得：‎ 当，得：，，‎ 代入上式，m=-2.‎ ‎（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）‎ ‎ 的面积是30，内角所对边长分别为，。‎ ‎ (Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若，求的值。‎ ‎【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.‎ ‎【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.‎ 解：由，得.‎ 又，∴.‎ ‎（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴.‎ ‎【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.‎ ‎（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)‎ 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .‎ ‎(Ⅰ) 求sinA的值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值。‎ ‎（2010重庆理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）‎ 设函数。‎ （I） 求的值域；‎ （II） 记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。‎ ‎（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（）的最小正周期为，‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.‎ ‎（2010北京文数）（15）（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值 解：（Ⅰ）=‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。‎ ‎（2010北京理数）（15）（本小题共13分）www.@ks@5u.com ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ 解：（I）‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 ‎（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.‎ 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。‎ 解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) w_w w. k#s5_u.c o*m 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2‎ 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ‎②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]‎ ‎ ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)‎ ‎ ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 ‎(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝‎ ‎＝bccosA＝3＞0w_w w. k#s5_u.c o*m ‎∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴sinA＝,cosA＝‎ 由题意，cosB＝,得sinB＝‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝w_w w. k#s5_u.c o*m 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 ‎（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）‎ 在ABC中，。‎ ‎（Ⅰ）证明B=C：‎ ‎（Ⅱ）若=-，求sin的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.‎ ‎ 所以B=C.‎ ‎ （Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.‎ 又0<2B<,于是sin2B==.‎ ‎ 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.‎ ‎ 所以 ‎（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎（1）解：由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 ‎（2010广东理数）16、（本小题满分14分）‎ 已知函数在时取得最大值4．　‎ ‎(1) 求的最小正周期；‎ ‎(2) 求的解析式；‎ ‎(3) 若(α +)=,求sinα．[来源:高考资源网KS5U.COM]‎ ‎，，，，．[来 ‎（2010广东文数）‎ ‎（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分)‎ ‎ 已知的内角，及其对边，满足，求内角．‎ ‎（2010四川文数）（19）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知，求 ‎（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）‎ 已经函数 ‎(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。‎ ‎（2010山东理数）‎ ‎（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（II）求函数的零点的集合。‎ ‎（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。‎ ‎（2010福建理数）19．（本小题满分13分）‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）‎ ‎ 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ‎。‎ ‎ (Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求（其中）。‎ ‎（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎