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文档介绍
高考数学大一轮复习导数与积分精品试题理含2014模拟试题
2015届高考数学大一轮复习 导数与积分精品试题 理(含2014模拟试题) 1. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,9) 的值是( ) (A) (B) (C) (D) [解析] 1. 根据定积分的意义可得,定积分的值为圆在x轴上方的面积,故. 2. (2014山西太原高三模拟考试(一),12) 已知方程在(0,+∞)上有两个不同的解a,b(a<b),则下面结论正确的是( ) [解析] 2. 由题意可得上有两个不同的解a,b(a<b),结合数形结合可得直线与曲线相切于点,且,则根据导数的几何意义可得切线的斜率为,根据两点间的斜率公式可得,由此可得,即,两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C. 3. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 4) 曲线在处的切线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 3. 依题意,,所以, 所以所求的切线方程为,即. 4. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 则0≤≤2的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 4.:如图,. 5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知,为的导函数,则的图象是( ) [解析] 5.为奇函数,排除B, D。又,所以排除C。选A 6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,12) 在平面直角坐标系中,已知是函数的图象上的动点,该曲线在点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点. 则的范围是( ) A. B. C. D. [解析] 6. 设,因为,所以, 所以曲线在点处的切线的方程为,即, 令得,过点作的垂线,其方程为, 令得, 所以,因为或, 所以或, 所以的取值范围是. 7.(2014山东潍坊高三3月模拟考试数学(理)试题,8)设,若,则( ) (A) -1 (B) 0 (C) l (D) 256 [解析] 7. . 令展开式中的x=1得,;令展开式中的x=0得,所以0. 8.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,6)若,则的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 8. 函数的定义域为. ,由且,解得. 9.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,5)若 ,则=( ) A. B. C. D. [解析] 9. . 10.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,10),数列的前项和为,数列的通项公式为,则的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 10. ,所以,所以可得,所以(当且仅当n=2时等号成立). 11.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,7)把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处,形成一个电场,距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式(其中k为常数)确定,在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从处移动到处,与从处移动到处,电场力对它所做的功之比为( ) A. B. C. D. [解析] 11. 从处移动到处电场力对它所做的功为;从处移动到处电场力对它所做的功为,其比值为3. 12.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切,且右焦点F为抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为( ) (A) (B) (C) (D) [解析] 12. 抛物线的焦点为(5,0). 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点,则根据导数的几何意义可知,解得,所以切点为(2,1),所以,又因为,所以可得,所以双曲线方程为. 13. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),8) 若实数、、、满足. 则的最小值 为 ( ) A. B. C. D. [解析] 13. , 点在曲线的图像上,点 在直线上,, 要使最小,当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行,, 由得,由得,故当时,取得极小值, ,直线的斜率为3, ,解得或(由于,故舍去), , 设点到直线的距离为,则, ,, 故的最小值为. 14. (2014重庆七校联盟, 10) 已知函数在R上满足,则曲在点 处切线的斜率是 ( ) A. B. C. D. [解析] 14. ,, 即,解方程程组得, ,斜率,选A. 15. (2014重庆七校联盟, 8) (创新)若,则等于( ) A. B. C. D. [解析] 15. ,. 16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 7) 二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为( ) A. 3 B. C. 3或 D. 3或 [解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为,解得, . 17. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 5) 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. [解析] 17.设切点为,曲线的一条切线的斜率为,,解得或(舍去),故所求切点的横坐标为2. 18. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( ) ①对于命题,则,均有 ②是直线与直线互相垂直的充要条件 ③ 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为=1.23x+0.08 ④若实数,则满足的概率为 ⑤ 曲线与所围成图形的面积是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析] 18. 对①,因为命题,则,均有,故①错误; 对②,由于直线与直线垂直的充要条件是或0,故②错误; 对③,设线性回归方程为,由于样本点的坐标满足方程,则,解得,回归直线方程为,故③正确; 对④,有几何概型知,所求概率为,故④错误; 对⑤,曲线与所围成图形的面积是,正确. 故正确的是③ ⑤ ,共2个. 19. (2014福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为 . [解析] 19. 依题意,阴影部分面积,, 故所求的概率为. 20. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试,13) 在的展开式中含常数项的系数是60,则的值为_______. [解析] 20. 常数项为,由得, 所以. 21. (2014广东广州高三调研测试,12) 已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是_______. [解析] 21. 由导数的几何意义,又因为,所以,故. 22.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,11)计算:= . [解析] 22. =,而表示的是以原点为圆心,以2为半径且在x轴上方的半圆的面积,故其值为;,所以原式的值为. 23.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 15) 设,则二项式展开式中的常数项是________(用数字作答) [解析] 23. , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120. 24.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,14) 设的展开式的常数项为,则直线与曲线围成图形的面积为 . [解析] 24. ,令,∴,所以直线为与的交点为和,∴直线与曲线围成图形的面积 25.(2014湖北八市高三下学期3月联考,11) 己知,则()6的展开式中的常数项为 . [解析] 25. 因为,所以()6的展开式中的常数项为 26.(2014周宁、政和一中第四次联考,11) 已知,若,则的值等于 . [解析] 26. ,,解得或(舍去). 27. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),14) 已知函数的对称中心为,记函数的导函数为的导函数为,则有. 若函数, 则= . [解析] 27. ∵,∴,,由得,,∴,故函数关于点对称. 即, ,…,,, ∴. 28. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),12) 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 . [解析] 28. 联立方程组,求得交点的坐标为,因此所求的面积为. 29. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 15) 曲线与直线所围成的封闭图形的面积是 . [解析] 29. 由,可得交点的坐标为,,可得交点的坐标为, 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是. 30. (2014天津七校高三联考, 13) 曲线处切线与直线垂直,则______ [解析] 30. ,,当时,, 故曲线在点处的切线斜率为1,与它垂直的直线的斜率, . 31. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 14) 如图所示,在第一象限由直线,和曲线所围图形的面积为 . [解析] 31. 依题意,解方程组的交点的坐标为, 解方程组的交点的坐标为, 所求的面积 32. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 11) 若,则的解集为 . [解析] 32. ,令,解得 ,即的解集为. 33.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是 . [解析] 33. ,又,,即的取值范围是. 34.(2014广州高三调研测试, 11) 如图3,设是图中边长为4的正方形区域,是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点,则该点落在中的概率为 . [解析] 34. 依题意,正方形的面积,阴影部分的面积, 故所求的概率为. 35. (2014湖北黄冈高三期末考试) 若,,则、的大小关系为 . [解析] 35. ,,. 36. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若曲线在原点处的切线方程是,则实数 . [解析] 36. ,又曲线在原点处的切线方程是, 37.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,17)设,其中,曲线在点处的切线与直线:平行。 (1) 确定的值; (2) 求函数的单调区间。 [解析] 37. 解析 (1) 由题,故。因直线的斜率为,故,从而; (2) ,由得或,由得。故的单增区间为和,单减区间为。 38. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,21) 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数. (1)若函数在处有极值,求的解析式; (2)若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围. [解析] 38.∵,∴由有,即切点坐标为, ∴切线方程为,或 整理得或……………………4分 ∴,解得,∴, ∴……………………6分 (1)∵,在处有极值,∴, 即,解得,∴……………………8分 (2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立, ∴,又∵在区间上恒成立,∴, 即,∴在上恒成立,∴ ∴的取值范围是 …………14分 39. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,20) 已知函数 (Ⅰ) 若在区间上为减函数,求的取值范围; (Ⅱ) 讨论在内的极值点的个数。 [解析] 39.解:(Ⅰ) ∵ ∴ ………………………………(2分) ∵在区间上为减函数 ∴≤O在区间上恒成立 …………………………(3分) ∵是开口向上的抛物线 ∴存在,使得 ∴在区间内有且只有一个极小值点 ……………(8分) 当≤≤时,由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ∴在区间内没有极值点. 综上可知,当时,在区间内的极值点个数为 当≤≤时,在区间内的极值点个数为 ………(12分) 40. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,21) 设函数 (1)判断函数f(x) 在(0, +∞) 上的单调性; (2)证明:对任意正数a,存在正数x,使不等式f(x) -1< a成立. [解析] 40. (1) 由题意知: ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0, ∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数, ……………3分 又h(0) =0,∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0, ∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数. ……………5分 (2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0, 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1), ……………7分 由G¢(x) =0得:x=ln(a+1), 当0< x< (ln(a+1) 时,G¢(x) < 0, 当x> ln(a+1) 时,G¢(x) > 0, ∴当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1), ……………9分 即当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0. ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ,使不等式F(x) -1< a成立. ……………12分 41. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,22) 设函数. (Ⅰ)求证:当时,恒成立; (Ⅱ)求证:; (Ⅲ)求证:. [解析] 41.(Ⅰ),设, 当时,,即上单调递减又,上恒有,即恒成立 . (5分) (Ⅱ)令,,则有, ,. (9分) (Ⅲ)上单调递增, ,(12分) 又上单调递减, . (14分) 42.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,21)已知函数. (1)当时,证明对任意的; (2)求证:. (3)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围. [解析] 42.(2)根据(1)的结论,当时,,即. 令,则有, ………………………7分 .即 .…8分 (本问也可用数学归纳法证明.) ③当时,,设的两根分别为与, 则,,不妨设 当及时,,当时,, 所以函数在上递增,在上递减, 而 所以时,,且 因此函数在有一个零点,而在上无零点; 此时函数只有一个零点; 综上,函数只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………14分 43.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,21)已知定义在上的函数 总有导函数, 定义. 一是自然对数的底数. (1) 若, 且, 试分别判断函数和的单调性: (2) 若. ①当时, 求函数的最小值; ②设, 是否存在, 使得? 若存在, 请求出一组的值: 若不存在, 请说明理由。 [解析] 43. 44.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,22)已知函数. (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求的单调减区间; (Ⅲ)当时,设在区间上的最小值为,令, 求证:. [解析] 44. (1) 当时, ………………2分 曲线在点处的切线方程为: 即 ………………3分 45. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,17) 已知函数. (Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值; (Ⅱ)设函数图象上任意一点的切线的斜率为,当的最小值为1时,求此时切线的方程. [解析] 45.解:(I)的定义域为()时,…………………………………………1分 当时, ……………………………2分 由得, 由得,或,由得,………3分 ∴的单调递增区间为,;单调递减区间为…………5分 ∴极大值为;极小值为 ………………………7分 (II)由题意知 ∴……………………9分 此时,即,∴,切点为,…………………………11分 ∴此时的切线方程为:. ………………………………………13分 46. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数(为常数),其图象是曲线. (Ⅰ)当时,求函数的单调减区间; (Ⅱ)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与 同时成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一 点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为. 问:是否存在常数 ,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. [解析] 46. 解析 (Ⅰ)当时, . 令,解得,所以f(x) 的单调减区间为. (4分) (Ⅱ) ,由题意知消去, 得有唯一解. 令,则, 所以在区间,上是增函数,在上是减函数, 又,, 故实数的取值范围是. (10分) (Ⅲ)设,则点处切线方程为, 与曲线:联立方程组,得,即, 所以点的横坐标. (12分) 由题意知,,, 若存在常数,使得,则, 即存在常数,使得, 所以解得,. 故时,存在常数,使;时,不存在常数,使. (16分) 47. (2014重庆七校联盟, 19) (创新)已知函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求函数的极值. [解析] 47. (Ⅰ) , ,即 . (5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , , 令,有,由,则或; 由,则或. (9分) 所以,取得极大值, 时,取得极小值 . (13分) 48. (2014天津七校高三联考, 20) 已知函数在点处的切线方程为. (Ⅰ) 求函数的解析式; (Ⅱ) 若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值; (Ⅲ)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围. [解析] 48. 解析 (Ⅰ) . 根据题意,得即解得, 所以. (4分) (Ⅱ) 令,即.得. 1 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 2 因为,, 所以当时,,. ( 6分) 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ,所以. 所以的最小值为4. (Ⅲ)因为点不在曲线上,所以可设切点为. 则. 因为,所以切线的斜率为. (9分) 则=, 即. 因为过点可作曲线的三条切线, 所以方程有三个不同的实数解. 所以函数有三个不同的零点. 则.令,则或. 0 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 则 ,即,解得. (13分) 49. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测,21) 已知函数,. (Ⅰ)若,求曲线在出的切线方程; (Ⅱ)若对任意的都有恒成立,求的最小值; (Ⅲ)设,,若,为曲线 上的两个不同点满足,且,使得曲线在处的切线与直线平行,求证. [解析] 49. 解析 (Ⅰ),,. (4分) (Ⅱ)由恒成立等价于恒成立, 令,,, ①若,则恒成立. 函数在上是增函数, 恒成立,又,符合条件. ②若,由可得,解得或(舍去), 当时,;当时,, ,,这与恒成立矛盾. 综上所述,,的最小值为1. (9分) (Ⅲ),, 又,,, 由,易知其定义域内为单调减函数, 欲证,即证明,即证明, 变形可得,令,, 则等价于, 构造函数,, 则,令, 当时,,在上为单调增函数,, ,在上恒成立, 成立,. (14分) 50. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 21) 已知函数,其中. (Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值; (Ⅲ)设,求在区间上的最大值(其中为自然对的底数). [解析] 50. (Ⅰ)①(), 令,则,又的定义域是, ∴函数的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4分) (Ⅱ)设切点为则 解得 ,(7分) (Ⅲ) , , 令,则, ①当时,在单调增加 (9分) ②当时,在单调减少,在单调增加; 若时,; 若时,; (11分) ③当时,在上单调递减,; 综上所述,时,; 时,. (14分) 51. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数,. (Ⅰ)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数,的值; (Ⅱ)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围; (Ⅲ)当,时,求函数在区间上的最小值. [解析] 51. 解析 (Ⅰ)因为,, 所以,. 因为曲线与在它们的交点处有相同切线, 所以, 且。 即, 且, 解得. (3分) (Ⅱ)当时,, 所以. 令,解得. 当变化时,的变化情况如下表: 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 故在区间内单调递增,在区间内单调递减. 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 即解得. 所以实数的取值范围是. (8分) (Ⅲ)当,时,. 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 由于,,所以. ①当,即时, . ②当时, . (12分) ③当时,在区间上单调递增, . 综上可知,函数在区间上的最小值为 (14分) 52.(2014兰州高三第一次诊断考试, 21) 已知函数,,其中的函数图象在点处的切线平行于轴. (Ⅰ)确定与的关系; (Ⅱ)若,试讨论函数的单调性; (Ⅲ)设斜率为的直线与函数的图象交于两点() 证明:. [解析] 52. 解析 (Ⅰ)依题意得,则, 由函数的图象在点处的切线平行于轴得:. ∴ . (3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∵函数的定义域为 ∴当时, 由得,由得, 即函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减; 当时,令得或, 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,在上恒有, 即函数在上单调递增, 综上所述:当时,函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增; 当时,函数在上单调递增, 当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增. (8分) (Ⅲ)依题意得, 证,即证 因,即证 令(),即证() 令()则 ∴在(1,+)上单调递增, ∴=0,即(). ① 令, ∵,又∵,∴在单调递减, ∴∴ ② 综①②得(),即. (12分) 答案和解析 理数 [答案] 1. C [解析] 1. 根据定积分的意义可得,定积分的值为圆在x轴上方的面积,故. [答案] 2. C [解析] 2. 由题意可得上有两个不同的解a,b(a<b),结合数形结合可得直线与曲线相切于点,且,则根据导数的几何意义可得切线的斜率为,根据两点间的斜率公式可得,由此可得,即,两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C. [答案] 3. A [解析] 3. 依题意,,所以, 所以所求的切线方程为,即. [答案] 4.C [解析] 4.:如图,. [答案] 5.A [解析] 5.为奇函数,排除B, D。又,所以排除C。选A [答案] 6. A [解析] 6. 设,因为,所以, 所以曲线在点处的切线的方程为,即, 令得,过点作的垂线,其方程为, 令得, 所以,因为或, 所以或, 所以的取值范围是. [答案] 7. B [解析] 7. . 令展开式中的x=1得,;令展开式中的x=0得,所以0. [答案] 8. A [解析] 8. 函数的定义域为. ,由且,解得. [答案] 9. C [解析] 9. . [答案] 10. B [解析] 10. ,所以,所以可得,所以(当且仅当n=2时等号成立). [答案] 11. D [解析] 11. 从处移动到处电场力对它所做的功为;从处移动到处电场力对它所做的功为,其比值为3. [答案] 12. A [解析] 12. 抛物线的焦点为(5,0). 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点,则根据导数的几何意义可知,解得,所以切点为(2,1),所以,又因为,所以可得,所以双曲线方程为. [答案] 13. C [解析] 13. , 点在曲线的图像上,点在直线上,, 要使最小,当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行,, 由得,由得,故当时,取得极小值, ,直线的斜率为3, ,解得或(由于,故舍去), , 设点到直线的距离为,则, ,, 故的最小值为. [答案] 14. A [解析] 14. ,, 即,解方程程组得, ,斜率,选A. [答案] 15. D [解析] 15. ,. [答案] 16. B [解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为,解得, . [答案] 17. B [解析] 17.设切点为,曲线的一条切线的斜率为,,解得或(舍去),故所求切点的横坐标为2. [答案] 18. A [解析] 18. 对①,因为命题,则,均有,故①错误; 对②,由于直线与直线垂直的充要条件是或0,故②错误; 对③,设线性回归方程为,由于样本点的坐标满足方程,则,解得,回归直线方程为,故③正确; 对④,有几何概型知,所求概率为,故④错误; 对⑤,曲线与所围成图形的面积是,正确. 故正确的是③ ⑤ ,共2个. [答案] 19. [解析] 19. 依题意,阴影部分面积,, 故所求的概率为. [答案] 20. [解析] 20. 常数项为,由得, 所以. [答案] 21. [解析] 21. 由导数的几何意义,又因为,所以,故. [答案] 22. [解析] 22. =,而表示的是以原点为圆心,以2为半径且在x轴上方的半圆的面积,故其值为;,所以原式的值为. [答案] 23. 1120 [解析] 23. , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120. [答案] 24. [解析] 24. ,令,∴,所以直线为与的交点为和,∴直线与曲线围成图形的面积 [答案] 25. [解析] 25. 因为,所以()6的展开式中的常数项为 [答案] 26. 3 [解析] 26. ,,解得或(舍去). [答案] 27. [解析] 27. ∵,∴,,由得,,∴,故函数关于点对称. 即, ,…,,, ∴. [答案] 28. [解析] 28. 联立方程组,求得交点的坐标为,因此所求的面积为. [答案] 29. [解析] 29. 由,可得交点的坐标为,,可得交点的坐标为, 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是. [答案] 30. 1 [解析] 30. ,,当时,, 故曲线在点处的切线斜率为1,与它垂直的直线的斜率, . [答案] 31. [解析] 31. 依题意,解方程组的交点的坐标为, 解方程组的交点的坐标为, 所求的面积 [答案] 32. [解析] 32. ,令,解得 ,即的解集为. [答案] 33. [解析] 33. ,又,,即的取值范围是. [答案] 34. [解析] 34. 依题意,正方形的面积,阴影部分的面积, 故所求的概率为. [答案] 35. [解析] 35. ,,. [答案] 36. 2 [解析] 36. ,又曲线在原点处的切线方程是, [答案] 37.查看解析 [解析] 37. 解析 (1) 由题,故。因直线的斜率为,故,从而; (2) ,由得或,由得。故的单增区间为和,单减区间为。 [答案] 38.查看解析 [解析] 38.∵,∴由有,即切点坐标为, ∴切线方程为,或 整理得或……………………4分 ∴,解得,∴, ∴……………………6分 (1)∵,在处有极值,∴, 即,解得,∴……………………8分 (2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立, ∴,又∵在区间上恒成立,∴, 即,∴在上恒成立,∴ ∴的取值范围是 …………14分 [答案] 39.查看解析 [解析] 39.解:(Ⅰ) ∵ ∴ ………………………………(2分) ∵在区间上为减函数 ∴≤O在区间上恒成立 …………………………(3分) ∵是开口向上的抛物线 ∴存在,使得 ∴在区间内有且只有一个极小值点 ……………(8分) 当≤≤时,由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ∴在区间内没有极值点. 综上可知,当时,在区间内的极值点个数为 当≤≤时,在区间内的极值点个数为 ………(12分) [答案] 40.查看解析 [解析] 40. (1) 由题意知: ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0, ∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数, ……………3分 又h(0) =0,∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0, ∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数. ……………5分 (2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0, 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1), ……………7分 由G¢(x) =0得:x=ln(a+1), 当0< x< (ln(a+1) 时,G¢(x) < 0, 当x> ln(a+1) 时,G¢(x) > 0, ∴当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1), ……………9分 即当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0. ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ,使不等式F(x) -1< a成立. ……………12分 [答案] 41.查看解析 [解析] 41.(Ⅰ),设, 当时,,即上单调递减又, 上恒有,即恒成立 . (5分) (Ⅱ)令,,则有, ,. (9分) (Ⅲ)上单调递增, ,(12分) 又上单调递减, . (14分) [答案] 42.查看解析 [解析] 42.(2)根据(1)的结论,当时,,即. 令,则有, ………………………7分 .即 .…8分 (本问也可用数学归纳法证明.) ③当时,,设的两根分别为与, 则,,不妨设 当及时,,当时,, 所以函数在上递增,在上递减, 而 所以时,,且 因此函数在有一个零点,而在上无零点; 此时函数只有一个零点; 综上,函数只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………14分 [答案] 43.查看解析 [解析] 43. [答案] 44.查看解析 [解析] 44. (1) 当时, ………………2分 曲线在点处的切线方程为: 即 ………………3分 [答案] 45.查看解析 [解析] 45.解:(I)的定义域为()时,…………………………………………1分 当时, ……………………………2分 由得, 由得,或,由得,………3分 ∴的单调递增区间为,;单调递减区间为…………5分 ∴极大值为;极小值为 ………………………7分 (II)由题意知 ∴……………………9分 此时,即,∴,切点为,…………………………11分 ∴此时的切线方程为:. ………………………………………13分 [答案] 46.查看解析 [解析] 46. 解析 (Ⅰ)当时, . 令,解得,所以f(x) 的单调减区间为. (4分) (Ⅱ) ,由题意知消去, 得有唯一解. 令,则, 所以在区间,上是增函数,在上是减函数, 又,, 故实数的取值范围是. (10分) (Ⅲ)设,则点处切线方程为, 与曲线:联立方程组,得,即, 所以点的横坐标. (12分) 由题意知,,, 若存在常数,使得,则, 即存在常数,使得, 所以解得,. 故时,存在常数,使;时,不存在常数,使. (16分) [答案] 47.查看解析 [解析] 47. (Ⅰ) , ,即 . (5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , , 令,有,由,则或; 由,则或. (9分) 所以,取得极大值, 时,取得极小值 . (13分) [答案] 48.查看解析 [解析] 48. 解析 (Ⅰ) . 根据题意,得即解得, 所以. (4分) (Ⅱ) 令,即.得. 1 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 2 因为,, 所以当时,,. ( 6分) 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ,所以. 所以的最小值为4. (Ⅲ)因为点不在曲线上,所以可设切点为. 则. 因为,所以切线的斜率为. (9分) 则=, 即. 因为过点可作曲线的三条切线, 所以方程有三个不同的实数解. 所以函数有三个不同的零点. 则.令,则或. 0 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 则 ,即,解得. (13分) [答案] 49.查看解析 [解析] 49. 解析 (Ⅰ),,. (4分) (Ⅱ)由恒成立等价于恒成立, 令,,, ①若,则恒成立. 函数在上是增函数, 恒成立,又,符合条件. ②若,由可得,解得或(舍去), 当时,;当时,, ,,这与恒成立矛盾. 综上所述,,的最小值为1. (9分) (Ⅲ),, 又,,, 由,易知其定义域内为单调减函数, 欲证,即证明,即证明, 变形可得,令,, 则等价于, 构造函数,, 则,令, 当时,,在上为单调增函数,, ,在上恒成立, 成立,. (14分) [答案] 50.查看解析 [解析] 50. (Ⅰ)①(), 令,则,又的定义域是, ∴函数的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4分) (Ⅱ)设切点为则 解得 ,(7分) (Ⅲ) , , 令,则, ①当时,在单调增加 (9分) ②当时,在单调减少,在单调增加; 若时,; 若时,; (11分) ③当时,在上单调递减,; 综上所述,时,; 时,. (14分) [答案] 51.查看解析 [解析] 51. 解析 (Ⅰ)因为,, 所以,. 因为曲线与在它们的交点处有相同切线, 所以, 且。 即, 且, 解得. (3分) (Ⅱ)当时,, 所以. 令,解得. 当变化时,的变化情况如下表: 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 故在区间内单调递增,在区间内单调递减. 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 即解得. 所以实数的取值范围是. (8分) (Ⅲ)当,时,. 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 由于,,所以. ①当,即时, . ②当时, . (12分) ③当时,在区间上单调递增, . 综上可知,函数在区间上的最小值为 (14分) [答案] 52.查看解析 [解析] 52. 解析 (Ⅰ)依题意得,则, 由函数的图象在点处的切线平行于轴得:. ∴ . (3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∵函数的定义域为 ∴当时, 由得,由得, 即函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减; 当时,令得或, 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,在上恒有, 即函数在上单调递增, 综上所述:当时,函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增; 当时,函数在上单调递增, 当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增. (8分) (Ⅲ)依题意得, 证,即证 因,即证 令(),即证() 令()则 ∴在(1,+)上单调递增, ∴=0,即(). ① 令, ∵,又∵,∴在单调递减, ∴∴ ② 综①②得(),即. (12分)查看更多