高考数学大一轮复习导数与积分精品试题理含2014模拟试题

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高考数学大一轮复习导数与积分精品试题理含2014模拟试题

‎2015届高考数学大一轮复习 导数与积分精品试题 理(含2014模拟试题)‎ ‎1. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,9) 的值是(  )‎ ‎(A)           (B) ‎ ‎(C)           (D) ‎ ‎[解析] 1.  根据定积分的意义可得,定积分的值为圆在x轴上方的面积,故.‎ ‎2. (2014山西太原高三模拟考试(一),12) 已知方程在(0,+∞)上有两个不同的解a,b(a<b),则下面结论正确的是(   ) ‎ ‎[解析] 2.  由题意可得上有两个不同的解a,b(a<b),结合数形结合可得直线与曲线相切于点,且,则根据导数的几何意义可得切线的斜率为,根据两点间的斜率公式可得,由此可得,即,两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C.‎ ‎3. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 4) 曲线在处的切线方程为(    )‎ A.   B.     C.         D.‎ ‎[解析] 3.  依题意,,所以,‎ 所以所求的切线方程为,即.‎ ‎4. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 则0≤≤2的概率是(    )‎ A.          ‎ B.           ‎ C.           ‎ D. ‎ ‎[解析] 4.:如图,.‎ ‎5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知,为的导函数,则的图象是(    )‎ ‎[解析] 5.为奇函数,排除B, D。又,所以排除C。选A ‎6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,12) 在平面直角坐标系中,已知是函数的图象上的动点,该曲线在点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点. 则的范围是(    )‎ A.    B.     C. D. ‎ ‎[解析] 6.  设,因为,所以,‎ 所以曲线在点处的切线的方程为,即,‎ 令得,过点作的垂线,其方程为,‎ 令得,‎ 所以,因为或,‎ 所以或,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎7.(2014山东潍坊高三3月模拟考试数学(理)试题,8)设,若,则(  )‎ ‎  (A) -1    (B) 0‎ ‎  (C) l    (D) 256‎ ‎[解析] 7.  . 令展开式中的x=1得,;令展开式中的x=0得,所以0.‎ ‎8.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,6)若,则的解集为(   )‎ ‎   A.  B.  C.   D.‎ ‎[解析] 8.  函数的定义域为. ,由且,解得.‎ ‎9.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,5)若 ‎,则=(       ) ‎ A.         B.        C.            D. ‎ ‎[解析] 9.  .‎ ‎10.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,10),数列的前项和为,数列的通项公式为,则的最小值为(    )                ‎ A.             B.         C.            D.‎ ‎[解析] 10.  ,所以,所以可得,所以(当且仅当n=2时等号成立).‎ ‎11.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,7)把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处,形成一个电场,距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式(其中k为常数)确定,在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从处移动到处,与从处移动到处,电场力对它所做的功之比为( )‎ ‎  A.            B.          C.         D.‎ ‎[解析] 11.  从处移动到处电场力对它所做的功为;从处移动到处电场力对它所做的功为,其比值为3.‎ ‎12.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切,且右焦点F为抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为(  )‎ ‎ (A)      (B)      (C)      (D) ‎ ‎[解析] 12.  抛物线的焦点为(5,0). 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点,则根据导数的几何意义可知,解得,所以切点为(2,1),所以,又因为,所以可得,所以双曲线方程为.‎ ‎13. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),8) 若实数、、、满足. 则的最小值 为  (      )   ‎ ‎   A.       B.        C.        D. ‎ ‎[解析] 13.  , 点在曲线的图像上,点 在直线上,,‎ 要使最小,当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行,,‎ 由得,由得,故当时,取得极小值,‎ ‎,直线的斜率为3,‎ ‎,解得或(由于,故舍去),‎ ‎,‎ 设点到直线的距离为,则,‎ ‎,,‎ 故的最小值为.‎ ‎14. (2014重庆七校联盟, 10) 已知函数在R上满足,则曲在点 处切线的斜率是  (     )‎ ‎    A.   B.     C.    D.  ‎ ‎[解析] 14.  ,,‎ 即,解方程程组得,‎ ‎,斜率,选A.‎ ‎15. (2014重庆七校联盟, 8) (创新)若,则等于(  )‎ ‎    A. ‎ B.  ‎ C. ‎ D.  ‎ ‎[解析] 15.  ,.‎ ‎16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 7) 二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为(    )‎ A. 3           ‎ B.       ‎ C. 3或       ‎ D. 3或 ‎[解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为,解得,‎ ‎.‎ ‎17. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 5) 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(    )‎ A. 3       ‎ B. 2      ‎ C. 1       ‎ D. ‎ ‎[解析] 17.设切点为,曲线的一条切线的斜率为,,解得或(舍去),故所求切点的横坐标为2.‎ ‎18. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是(       ) ‎ ‎①对于命题,则,均有 ‎②是直线与直线互相垂直的充要条件 ‎③  已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为=1.23x+0.08‎ ‎④若实数,则满足的概率为 ‎⑤ 曲线与所围成图形的面积是          ‎ A. 2           ‎ B. 3                 ‎ C. 4    ‎ D. 5‎ ‎[解析] 18.  对①,因为命题,则,均有,故①错误;‎ 对②,由于直线与直线垂直的充要条件是或0,故②错误;‎ 对③,设线性回归方程为,由于样本点的坐标满足方程,则,解得,回归直线方程为,故③正确;‎ 对④,有几何概型知,所求概率为,故④错误;‎ 对⑤,曲线与所围成图形的面积是,正确.‎ 故正确的是③  ⑤  ,共2个.‎ ‎19. (2014福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为        . ‎ ‎[解析] 19.  依题意,阴影部分面积,,‎ 故所求的概率为.‎ ‎20. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试,13) 在的展开式中含常数项的系数是60,则的值为_______. ‎ ‎[解析] 20.  常数项为,由得,‎ 所以.‎ ‎21. (2014广东广州高三调研测试,12) 已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是_______. ‎ ‎[解析] 21.  由导数的几何意义,又因为,所以,故.‎ ‎22.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,11)计算:=             .‎ ‎[解析] 22.  =,而表示的是以原点为圆心,以2为半径且在x轴上方的半圆的面积,故其值为;,所以原式的值为.‎ ‎23.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 15) 设,则二项式展开式中的常数项是________(用数字作答)‎ ‎[解析] 23.  , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120.‎ ‎24.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,14) 设的展开式的常数项为,则直线与曲线围成图形的面积为       .‎ ‎[解析] 24.  ,令,∴,所以直线为与的交点为和,∴直线与曲线围成图形的面积 ‎25.(2014湖北八市高三下学期3月联考,11) 己知,则()6的展开式中的常数项为            .‎ ‎[解析] 25.  因为,所以()6的展开式中的常数项为 ‎26.(2014周宁、政和一中第四次联考,11) 已知,若,则的值等于           .‎ ‎[解析] 26.  ,,解得或(舍去).‎ ‎27. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),14) 已知函数的对称中心为,记函数的导函数为的导函数为,则有.  若函数,‎ 则=           .‎ ‎[解析] 27.   ∵,∴,,由得,,∴,故函数关于点对称. 即,‎ ‎,…,,,‎ ‎∴.‎ ‎28. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),12) 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为          . ‎ ‎[解析] 28.    联立方程组,求得交点的坐标为,因此所求的面积为.‎ ‎29.  (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 15) 曲线与直线所围成的封闭图形的面积是            . ‎ ‎[解析] 29.  由,可得交点的坐标为,,可得交点的坐标为,‎ 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.‎ ‎30. (2014天津七校高三联考, 13) 曲线处切线与直线垂直,则______‎ ‎[解析] 30.   ,,当时,,‎ 故曲线在点处的切线斜率为1,与它垂直的直线的斜率,‎ ‎.‎ ‎31. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 14) 如图所示,在第一象限由直线,和曲线所围图形的面积为      . ‎ ‎[解析] 31.  依题意,解方程组的交点的坐标为,‎ 解方程组的交点的坐标为,‎ 所求的面积 ‎32. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 11) 若,则的解集为             . ‎ ‎[解析] 32.  ,令,解得 ‎,即的解集为.‎ ‎33.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是        .‎ ‎[解析] 33.  ,又,,即的取值范围是.‎ ‎34.(2014广州高三调研测试, 11) 如图3,设是图中边长为4的正方形区域,是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点,则该点落在中的概率为       .‎ ‎[解析] 34.  依题意,正方形的面积,阴影部分的面积,‎ 故所求的概率为.‎ ‎35. (2014湖北黄冈高三期末考试) 若,,则、的大小关系为           . ‎ ‎[解析] 35. ,,.‎ ‎36. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若曲线在原点处的切线方程是,则实数         . ‎ ‎[解析] 36.  ,又曲线在原点处的切线方程是,‎ ‎37.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,17)设,其中,曲线在点处的切线与直线:平行。‎ ‎(1)       确定的值;‎ ‎(2)       求函数的单调区间。‎ ‎[解析] 37.  解析  (1) 由题,故。因直线的斜率为,故,从而;‎ ‎   (2) ,由得或,由得。故的单增区间为和,单减区间为。‎ ‎38. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,21) 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数.‎ ‎(1)若函数在处有极值,求的解析式;‎ ‎(2)若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围.‎ ‎[解析] 38.∵,∴由有,即切点坐标为,‎ ‎∴切线方程为,或 整理得或……………………4分 ‎∴,解得,∴,‎ ‎∴……………………6分 ‎(1)∵,在处有极值,∴,‎ 即,解得,∴……………………8分 ‎(2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立,‎ ‎∴,又∵在区间上恒成立,∴,‎ 即,∴在上恒成立,∴‎ ‎∴的取值范围是  …………14分 ‎39. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,20) 已知函数 ‎(Ⅰ) 若在区间上为减函数,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 讨论在内的极值点的个数。‎ ‎[解析] 39.解:(Ⅰ) ∵‎ ‎∴           ………………………………(2分)‎ ‎∵在区间上为减函数 ‎∴≤O在区间上恒成立         …………………………(3分)‎ ‎∵是开口向上的抛物线 ‎        ‎ ‎∴存在,使得 ‎∴在区间内有且只有一个极小值点      ……………(8分)‎ ‎      ‎ 当≤≤时,由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ‎∴在区间内没有极值点.‎ 综上可知,当时,在区间内的极值点个数为 当≤≤时,在区间内的极值点个数为   ………(12分)‎ ‎40. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,21) 设函数 ‎(1)判断函数f(x) 在(0, +∞) 上的单调性;‎ ‎(2)证明:对任意正数a,存在正数x,使不等式f(x) -1< a成立.‎ ‎[解析] 40.  (1) 由题意知:  ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0,‎ ‎∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数,            ……………3分 又h(0) =0,∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0,‎ ‎∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.             ……………5分 ‎(2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0,‎ 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1),       ……………7分 由G¢(x) =0得:x=ln(a+1),‎ 当0< x< (ln(a+1) 时,G¢(x) < 0,‎ 当x> ln(a+1) 时,G¢(x) > 0,‎ ‎∴当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1),   ……………9分 即当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0.            ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ,使不等式F(x) -1< a成立.        ……………12分 ‎41. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,22) 设函数. ‎ ‎(Ⅰ)求证:当时,恒成立;‎ ‎(Ⅱ)求证:;‎ ‎(Ⅲ)求证:.‎ ‎[解析] 41.(Ⅰ),设,‎ 当时,,即上单调递减又,上恒有,即恒成立 . (5分)‎ ‎    (Ⅱ)令,,则有,‎ ‎,. (9分)‎ ‎(Ⅲ)上单调递增,‎ ‎,(12分)‎ 又上单调递减,‎ ‎        ‎ ‎ .   (14分)‎ ‎42.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,21)已知函数.‎ ‎(1)当时,证明对任意的;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎(3)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.‎ ‎[解析] 42.(2)根据(1)的结论,当时,,即.‎ 令,则有,      ………………………7分 ‎.即 .…8分 ‎(本问也可用数学归纳法证明.)‎ ‎③当时,,设的两根分别为与,‎ 则,,不妨设 当及时,,当时,,‎ 所以函数在上递增,在上递减,‎ 而 所以时,,且 因此函数在有一个零点,而在上无零点;‎ 此时函数只有一个零点;‎ 综上,函数只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………14分 ‎43.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,21)已知定义在上的函数 总有导函数, 定义.‎ 一是自然对数的底数.‎ ‎(1) 若, 且, 试分别判断函数和的单调性:‎ ‎(2) 若.‎ ‎①当时, 求函数的最小值;‎ ‎②设, 是否存在, 使得? 若存在, 请求出一组的值: 若不存在, 请说明理由。‎ ‎[解析] 43.‎ ‎44.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,22)已知函数.‎ ‎   (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ (Ⅱ)求的单调减区间;‎ ‎   (Ⅲ)当时,设在区间上的最小值为,令,‎ ‎         求证:.‎ ‎[解析] 44.   (1) 当时,  ‎ ‎             ………………2分 ‎     曲线在点处的切线方程为:‎ ‎     即                   ………………3分 ‎45. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,17) 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值;‎ ‎(Ⅱ)设函数图象上任意一点的切线的斜率为,当的最小值为1时,求此时切线的方程.‎ ‎[解析] 45.解:(I)的定义域为()时,…………………………………………1分 当时, ……………………………2分 由得,‎ 由得,或,由得,………3分 ‎∴的单调递增区间为,;单调递减区间为…………5分 ‎∴极大值为;极小值为 ………………………7分 ‎(II)由题意知   ∴……………………9分 ‎     此时,即,∴,切点为,…………………………11分 ‎    ∴此时的切线方程为:. ………………………………………13分 ‎46. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数(为常数),其图象是曲线. ‎ ‎  (Ⅰ)当时,求函数的单调减区间;‎ ‎    (Ⅱ)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与 同时成立,求实数的取值范围;‎ ‎    (Ⅲ)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一 点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为. 问:是否存在常数 ‎,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解析] 46.    解析 (Ⅰ)当时, . ‎ 令,解得,所以f(x) 的单调减区间为. (4分)‎ ‎(Ⅱ) ,由题意知消去,‎ 得有唯一解.‎ 令,则,‎ 所以在区间,上是增函数,在上是减函数,‎ 又,,‎ 故实数的取值范围是. (10分)‎ ‎(Ⅲ)设,则点处切线方程为,‎ 与曲线:联立方程组,得,即,‎ 所以点的横坐标. (12分)‎ 由题意知,,,‎ 若存在常数,使得,则,‎ 即存在常数,使得,‎ 所以解得,.‎ 故时,存在常数,使;时,不存在常数,使. (16分)‎ ‎47. (2014重庆七校联盟, 19) (创新)已知函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴. ‎ ‎    (Ⅰ)求的值;‎ ‎    (Ⅱ)求函数的极值.‎ ‎[解析] 47.  (Ⅰ) ,‎ ‎  ,即 .    (5分)‎ ‎      (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,‎ 令,有,由,则或;‎ 由,则或.     (9分)‎ 所以,取得极大值,‎ 时,取得极小值 .     (13分)‎ ‎48. (2014天津七校高三联考, 20) 已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎    (Ⅰ) 求函数的解析式;‎ ‎    (Ⅱ) 若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;‎ ‎    (Ⅲ)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.‎ ‎[解析] 48.    解析  (Ⅰ) .‎ 根据题意,得即解得,‎ 所以.  (4分)‎ ‎    (Ⅱ) 令,即.得.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为,,‎ 所以当时,,.    ( 6分)‎ 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ‎,所以.‎ 所以的最小值为4.‎ ‎    (Ⅲ)因为点不在曲线上,所以可设切点为.‎ 则.‎ 因为,所以切线的斜率为.         (9分)‎ 则=,‎ 即.‎ 因为过点可作曲线的三条切线,‎ 所以方程有三个不同的实数解.‎ 所以函数有三个不同的零点.‎ 则.令,则或.‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ,即,解得.    (13分)‎ ‎49. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测,21) 已知函数,. ‎ ‎    (Ⅰ)若,求曲线在出的切线方程;‎ ‎    (Ⅱ)若对任意的都有恒成立,求的最小值;‎ ‎     (Ⅲ)设,,若,为曲线 上的两个不同点满足,且,使得曲线在处的切线与直线平行,求证.‎ ‎[解析] 49.    解析  (Ⅰ),,.    (4分)‎ ‎    (Ⅱ)由恒成立等价于恒成立,‎ 令,,,‎ ‎①若,则恒成立. 函数在上是增函数,‎ 恒成立,又,符合条件.‎ ‎②若,由可得,解得或(舍去),‎ 当时,;当时,,‎ ‎,,这与恒成立矛盾.‎ 综上所述,,的最小值为1.           (9分)‎ ‎    (Ⅲ),,‎ 又,,,‎ 由,易知其定义域内为单调减函数,‎ 欲证,即证明,即证明,‎ 变形可得,令,,‎ 则等价于,‎ 构造函数,,‎ 则,令,‎ 当时,,在上为单调增函数,,‎ ‎,在上恒成立,‎ 成立,.    (14分)‎ ‎50. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 21) 已知函数,其中. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;‎ ‎(Ⅲ)设,求在区间上的最大值(其中为自然对的底数).‎ ‎[解析] 50.  (Ⅰ)①(),‎ 令,则,又的定义域是,‎ ‎∴函数的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4分)‎ ‎(Ⅱ)设切点为则   解得   ,(7分)   ‎ ‎(Ⅲ) ,  ,‎ 令,则,‎ ‎①当时,在单调增加         (9分)‎ ‎②当时,在单调减少,在单调增加;‎ ‎   若时,;‎ ‎   若时,;       (11分)‎ ‎③当时,在上单调递减,;‎ 综上所述,时,;‎ 时,.             (14分)‎ ‎51. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数,. ‎ ‎(Ⅰ)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数,的值;‎ ‎(Ⅱ)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)当,时,求函数在区间上的最小值.‎ ‎[解析] 51.        解析 (Ⅰ)因为,,‎ 所以,.‎ 因为曲线与在它们的交点处有相同切线,‎ 所以, 且。‎ 即, 且,‎ 解得.   (3分)‎ ‎        (Ⅱ)当时,,‎ 所以.‎ 令,解得.‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 故在区间内单调递增,在区间内单调递减.‎ 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 ‎ 即解得.‎ 所以实数的取值范围是.          (8分)‎ ‎        (Ⅲ)当,时,.‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 由于,,所以.‎ ‎①当,即时,‎ ‎.‎ ‎②当时,‎ ‎.           (12分)‎ ‎③当时,在区间上单调递增,‎ ‎.‎ 综上可知,函数在区间上的最小值为 ‎     (14分)‎ ‎52.(2014兰州高三第一次诊断考试, 21) 已知函数,,其中的函数图象在点处的切线平行于轴.‎ ‎   (Ⅰ)确定与的关系;‎ ‎   (Ⅱ)若,试讨论函数的单调性;‎ ‎   (Ⅲ)设斜率为的直线与函数的图象交于两点()‎ ‎   证明:.‎ ‎[解析] 52.   解析  (Ⅰ)依题意得,则,‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得:.‎ ‎∴ .           (3分)‎ ‎    (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎∵函数的定义域为 ‎∴当时,‎ 由得,由得,‎ 即函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减;‎ 当时,令得或,‎ 若,即时,由得或,由得,‎ 即函数在,上单调递增,在单调递减;‎ 若,即时,由得或,由得,‎ 即函数在,上单调递增,在单调递减;‎ 若,即时,在上恒有,‎ 即函数在上单调递增,‎ 综上所述:当时,函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;‎ 当时,函数在上单调递增,‎ 当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.‎ ‎          (8分)‎ ‎    (Ⅲ)依题意得,‎ 证,即证 因,即证 令(),即证()‎ 令()则 ‎∴在(1,+)上单调递增,‎ ‎∴=0,即().       ①‎ 令,‎ ‎∵,又∵,∴在单调递减,‎ ‎∴∴ ②‎ 综①②得(),即.      (12分)‎ 答案和解析 理数 ‎[答案] 1.  C ‎[解析] 1.  根据定积分的意义可得,定积分的值为圆在x轴上方的面积,故.‎ ‎[答案] 2.  C ‎[解析] 2.  由题意可得上有两个不同的解a,b(a<b),结合数形结合可得直线与曲线相切于点,且,则根据导数的几何意义可得切线的斜率为,根据两点间的斜率公式可得,由此可得,即,两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C.‎ ‎[答案] 3.  A ‎[解析] 3.  依题意,,所以,‎ 所以所求的切线方程为,即.‎ ‎[答案] 4.C ‎[解析] 4.:如图,.‎ ‎[答案] 5.A ‎[解析] 5.为奇函数,排除B, D。又,所以排除C。选A ‎[答案] 6.  A ‎[解析] 6.  设,因为,所以,‎ 所以曲线在点处的切线的方程为,即,‎ 令得,过点作的垂线,其方程为,‎ 令得,‎ 所以,因为或,‎ 所以或,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎[答案] 7.  B ‎[解析] 7.  . 令展开式中的x=1得,;令展开式中的x=0得,所以0.‎ ‎[答案] 8.  A ‎[解析] 8.  函数的定义域为. ,由且,解得.‎ ‎[答案] 9.  C ‎[解析] 9.  .‎ ‎[答案] 10.  B ‎[解析] 10.  ,所以,所以可得,所以(当且仅当n=2时等号成立).‎ ‎[答案] 11.  D ‎[解析] 11.  从处移动到处电场力对它所做的功为;从处移动到处电场力对它所做的功为,其比值为3.‎ ‎[答案] 12.  A ‎[解析] 12.  抛物线的焦点为(5,0). 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点,则根据导数的几何意义可知,解得,所以切点为(2,1),所以,又因为,所以可得,所以双曲线方程为.‎ ‎[答案] 13.  C ‎[解析] 13.  , 点在曲线的图像上,点在直线上,,‎ 要使最小,当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行,,‎ 由得,由得,故当时,取得极小值,‎ ‎,直线的斜率为3,‎ ‎,解得或(由于,故舍去),‎ ‎,‎ 设点到直线的距离为,则,‎ ‎,,‎ 故的最小值为.‎ ‎[答案] 14.  A ‎[解析] 14.  ,,‎ 即,解方程程组得,‎ ‎,斜率,选A.‎ ‎[答案] 15.  D ‎[解析] 15.  ,.‎ ‎[答案] 16.  B ‎[解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为,解得,‎ ‎.‎ ‎[答案] 17.  B ‎[解析] 17.设切点为,曲线的一条切线的斜率为,,解得或(舍去),故所求切点的横坐标为2.‎ ‎[答案] 18.  A ‎[解析] 18.  对①,因为命题,则,均有,故①错误;‎ 对②,由于直线与直线垂直的充要条件是或0,故②错误;‎ 对③,设线性回归方程为,由于样本点的坐标满足方程,则,解得,回归直线方程为,故③正确;‎ 对④,有几何概型知,所求概率为,故④错误;‎ 对⑤,曲线与所围成图形的面积是,正确.‎ 故正确的是③  ⑤  ,共2个.‎ ‎[答案] 19.‎ ‎[解析] 19.  依题意,阴影部分面积,,‎ 故所求的概率为.‎ ‎[答案] 20.‎ ‎[解析] 20.  常数项为,由得,‎ 所以.‎ ‎[答案] 21.‎ ‎[解析] 21.  由导数的几何意义,又因为,所以,故.‎ ‎[答案] 22.  ‎ ‎[解析] 22.  =,而表示的是以原点为圆心,以2为半径且在x轴上方的半圆的面积,故其值为;,所以原式的值为.‎ ‎[答案] 23.  1120‎ ‎[解析] 23.  , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120.‎ ‎[答案] 24.  ‎ ‎[解析] 24.  ,令,∴,所以直线为与的交点为和,∴直线与曲线围成图形的面积 ‎[答案] 25.  ‎ ‎[解析] 25.  因为,所以()6的展开式中的常数项为 ‎[答案] 26.  3‎ ‎[解析] 26.  ,,解得或(舍去).‎ ‎[答案] 27.‎ ‎[解析] 27.   ∵,∴,,由得,,∴,故函数关于点对称. 即,‎ ‎,…,,,‎ ‎∴.‎ ‎[答案] 28.  ‎ ‎[解析] 28.    联立方程组,求得交点的坐标为,因此所求的面积为.‎ ‎[答案] 29.  ‎ ‎[解析] 29.  由,可得交点的坐标为,,可得交点的坐标为,‎ 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.‎ ‎[答案] 30.  1‎ ‎[解析] 30.   ,,当时,,‎ 故曲线在点处的切线斜率为1,与它垂直的直线的斜率,‎ ‎.‎ ‎[答案] 31.  ‎ ‎[解析] 31.  依题意,解方程组的交点的坐标为,‎ 解方程组的交点的坐标为,‎ 所求的面积 ‎[答案] 32.  ‎ ‎[解析] 32.  ,令,解得 ‎,即的解集为.‎ ‎[答案] 33.  ‎ ‎[解析] 33.  ,又,,即的取值范围是.‎ ‎[答案] 34.  ‎ ‎[解析] 34.  依题意,正方形的面积,阴影部分的面积,‎ 故所求的概率为.‎ ‎[答案] 35.  ‎ ‎[解析] 35. ,,.‎ ‎[答案] 36.  2‎ ‎[解析] 36.  ,又曲线在原点处的切线方程是,‎ ‎[答案] 37.查看解析 ‎[解析] 37.  解析  (1) 由题,故。因直线的斜率为,故,从而;‎ ‎   (2) ,由得或,由得。故的单增区间为和,单减区间为。‎ ‎[答案] 38.查看解析 ‎[解析] 38.∵,∴由有,即切点坐标为,‎ ‎∴切线方程为,或 整理得或……………………4分 ‎∴,解得,∴,‎ ‎∴……………………6分 ‎(1)∵,在处有极值,∴,‎ 即,解得,∴……………………8分 ‎(2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立,‎ ‎∴,又∵在区间上恒成立,∴,‎ 即,∴在上恒成立,∴‎ ‎∴的取值范围是  …………14分 ‎[答案] 39.查看解析 ‎[解析] 39.解:(Ⅰ) ∵‎ ‎∴           ………………………………(2分)‎ ‎∵在区间上为减函数 ‎∴≤O在区间上恒成立         …………………………(3分)‎ ‎∵是开口向上的抛物线 ‎        ‎ ‎∴存在,使得 ‎∴在区间内有且只有一个极小值点      ……………(8分)‎ ‎      ‎ 当≤≤时,由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ‎∴在区间内没有极值点.‎ 综上可知,当时,在区间内的极值点个数为 当≤≤时,在区间内的极值点个数为   ………(12分)‎ ‎[答案] 40.查看解析 ‎[解析] 40.  (1) 由题意知:  ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0,‎ ‎∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数,            ……………3分 又h(0) =0,∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0,‎ ‎∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.             ……………5分 ‎(2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0,‎ 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1),       ……………7分 由G¢(x) =0得:x=ln(a+1),‎ 当0< x< (ln(a+1) 时,G¢(x) < 0,‎ 当x> ln(a+1) 时,G¢(x) > 0,‎ ‎∴当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1),   ……………9分 即当x=ln(a+1) 时,G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0.            ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ,使不等式F(x) -1< a成立.        ……………12分 ‎[答案] 41.查看解析 ‎[解析] 41.(Ⅰ),设,‎ 当时,,即上单调递减又,‎ 上恒有,即恒成立 . (5分)‎ ‎    (Ⅱ)令,,则有,‎ ‎,. (9分)‎ ‎(Ⅲ)上单调递增,‎ ‎,(12分)‎ 又上单调递减,‎ ‎        ‎ ‎ .   (14分)‎ ‎[答案] 42.查看解析 ‎[解析] 42.(2)根据(1)的结论,当时,,即.‎ 令,则有,      ………………………7分 ‎.即 .…8分 ‎(本问也可用数学归纳法证明.)‎ ‎③当时,,设的两根分别为与,‎ 则,,不妨设 当及时,,当时,,‎ 所以函数在上递增,在上递减,‎ 而 所以时,,且 因此函数在有一个零点,而在上无零点;‎ 此时函数只有一个零点;‎ 综上,函数只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………14分 ‎[答案] 43.查看解析 ‎[解析] 43.‎ ‎[答案] 44.查看解析 ‎[解析] 44.   (1) 当时,  ‎ ‎             ………………2分 ‎     曲线在点处的切线方程为:‎ ‎     即                   ………………3分 ‎[答案] 45.查看解析 ‎[解析] 45.解:(I)的定义域为()时,…………………………………………1分 当时, ……………………………2分 由得,‎ 由得,或,由得,………3分 ‎∴的单调递增区间为,;单调递减区间为…………5分 ‎∴极大值为;极小值为 ………………………7分 ‎(II)由题意知   ∴……………………9分 ‎     此时,即,∴,切点为,…………………………11分 ‎    ∴此时的切线方程为:. ………………………………………13分 ‎[答案] 46.查看解析 ‎[解析] 46.    解析 (Ⅰ)当时, . ‎ 令,解得,所以f(x) 的单调减区间为. (4分)‎ ‎(Ⅱ) ,由题意知消去,‎ 得有唯一解.‎ 令,则,‎ 所以在区间,上是增函数,在上是减函数,‎ 又,,‎ 故实数的取值范围是. (10分)‎ ‎(Ⅲ)设,则点处切线方程为,‎ 与曲线:联立方程组,得,即,‎ 所以点的横坐标. (12分)‎ 由题意知,,,‎ 若存在常数,使得,则,‎ 即存在常数,使得,‎ 所以解得,.‎ 故时,存在常数,使;时,不存在常数,使. (16分)‎ ‎[答案] 47.查看解析 ‎[解析] 47.  (Ⅰ) ,‎ ‎  ,即 .    (5分)‎ ‎      (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,‎ 令,有,由,则或;‎ 由,则或.     (9分)‎ 所以,取得极大值,‎ 时,取得极小值 .     (13分)‎ ‎[答案] 48.查看解析 ‎[解析] 48.    解析  (Ⅰ) .‎ 根据题意,得即解得,‎ 所以.  (4分)‎ ‎    (Ⅱ) 令,即.得.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为,,‎ 所以当时,,.    ( 6分)‎ 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ‎,所以.‎ 所以的最小值为4.‎ ‎    (Ⅲ)因为点不在曲线上,所以可设切点为.‎ 则.‎ 因为,所以切线的斜率为.         (9分)‎ 则=,‎ 即.‎ 因为过点可作曲线的三条切线,‎ 所以方程有三个不同的实数解.‎ 所以函数有三个不同的零点.‎ 则.令,则或.‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ,即,解得.    (13分)‎ ‎[答案] 49.查看解析 ‎[解析] 49.    解析  (Ⅰ),,.    (4分)‎ ‎    (Ⅱ)由恒成立等价于恒成立,‎ 令,,,‎ ‎①若,则恒成立. 函数在上是增函数,‎ 恒成立,又,符合条件.‎ ‎②若,由可得,解得或(舍去),‎ 当时,;当时,,‎ ‎,,这与恒成立矛盾.‎ 综上所述,,的最小值为1.           (9分)‎ ‎    (Ⅲ),,‎ 又,,,‎ 由,易知其定义域内为单调减函数,‎ 欲证,即证明,即证明,‎ 变形可得,令,,‎ 则等价于,‎ 构造函数,,‎ 则,令,‎ 当时,,在上为单调增函数,,‎ ‎,在上恒成立,‎ 成立,.    (14分)‎ ‎[答案] 50.查看解析 ‎[解析] 50.  (Ⅰ)①(),‎ 令,则,又的定义域是,‎ ‎∴函数的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4分)‎ ‎(Ⅱ)设切点为则   解得   ,(7分)   ‎ ‎(Ⅲ) ,  ,‎ 令,则,‎ ‎①当时,在单调增加         (9分)‎ ‎②当时,在单调减少,在单调增加;‎ ‎   若时,;‎ ‎   若时,;       (11分)‎ ‎③当时,在上单调递减,;‎ 综上所述,时,;‎ 时,.             (14分)‎ ‎[答案] 51.查看解析 ‎[解析] 51.        解析 (Ⅰ)因为,,‎ 所以,.‎ 因为曲线与在它们的交点处有相同切线,‎ 所以, 且。‎ 即, 且,‎ 解得.   (3分)‎ ‎        (Ⅱ)当时,,‎ 所以.‎ 令,解得.‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 故在区间内单调递增,在区间内单调递减.‎ 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 ‎ 即解得.‎ 所以实数的取值范围是.          (8分)‎ ‎        (Ⅲ)当,时,.‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 由于,,所以.‎ ‎①当,即时,‎ ‎.‎ ‎②当时,‎ ‎.           (12分)‎ ‎③当时,在区间上单调递增,‎ ‎.‎ 综上可知,函数在区间上的最小值为 ‎     (14分)‎ ‎[答案] 52.查看解析 ‎[解析] 52.   解析  (Ⅰ)依题意得,则,‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得:.‎ ‎∴ .           (3分)‎ ‎    (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎∵函数的定义域为 ‎∴当时,‎ 由得,由得,‎ 即函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减;‎ 当时,令得或,‎ 若,即时,由得或,由得,‎ 即函数在,上单调递增,在单调递减;‎ 若,即时,由得或,由得,‎ 即函数在,上单调递增,在单调递减;‎ 若,即时,在上恒有,‎ 即函数在上单调递增,‎ 综上所述:当时,函数在(0,1) 上单调递增,在单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;‎ 当时,函数在上单调递增,‎ 当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.‎ ‎          (8分)‎ ‎    (Ⅲ)依题意得,‎ 证,即证 因,即证 令(),即证()‎ 令()则 ‎∴在(1,+)上单调递增,‎ ‎∴=0,即().       ①‎ 令,‎ ‎∵,又∵,∴在单调递减,‎ ‎∴∴ ②‎ 综①②得(),即.      (12分)‎
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