高考数学总复习集合与常用逻辑用语

高考数学总复习集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语 本章知识结构图 互逆 互为逆否 互逆 互否 互否 等价关系 关系 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若┐p,则┐q 逆否命题：若,则 集合 集合元素的特征 确定性、互异性、无序性 集合的分类 无限集 有限集 空集 集合间的基本关系 子集 真子集 相等 集合间的基本运算 交集A∩B 并集A∪B Venn图、数轴 充要条件 充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件 简易逻辑 命题 全称命题与存在性命题 全称量词：任意；存在量词：存在 复合命题 且：p∧q 或：p∨q 非：┐p 一假则假，两真为真 一真便真，两假为假 补集 第 23 页 共 23 页 第一节 集 合 考纲解读 ‎1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ ‎2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．‎ 命题趋势探究 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．‎ 预测2019年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：‎ ‎（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．‎ ‎（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．‎ 知识点精讲 一、集合的有关概念 ‎1．集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．‎ ‎2．集合元素的特征 ‎（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．‎ ‎（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．‎ ‎（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．‎ ‎3．集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．‎ ‎4．常用数集的表示 R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集 二、集合间的关系 ‎1．元素与集合之间的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．‎ 空集：不含有任何元素的集合，记作．‎ ‎2．集合与集合之间的关系 ‎（1）包含关系．‎ 子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．‎ 第 23 页 共 23 页 ‎（2）相等关系．‎ 对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．‎ ‎（3）真子集关系．‎ 对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．‎ 三、集合的基本运算 集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．‎ 表 交集 A B 并集 A B 补集 A I ‎1．交集 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．‎ ‎2．并集 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．‎ ‎3．补集 已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．‎ 四、集合运算中常用的结论 ‎1．集合中的逻辑关系 ‎（1）交集的运算性质．‎ ‎，， ，，．‎ ‎（2）并集的运算性质．‎ ‎，， ，，．‎ ‎（3）补集的运算性质．‎ ‎，， ，．‎ 第 23 页 共 23 页 补充性质：．‎ ‎（4）结合律与分配律．‎ 结合律： ．‎ 分配律： ．‎ ‎（5）反演律（德摩根定律）．‎ ‎ ．‎ 即“交的补补的并”，“并的补补的交”．‎ ‎2．由个元素组成的集合的子集个数 的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．‎ ‎3．容斥原理 ‎．‎ 题型归纳及思路提示 题型1 集合的基本概念 思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．‎ 例1.1 设，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。‎ 变式1 （2012新课标理1）已知集合，则中所含元素的个数为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 变式2 （2013山东理2）已知集合中元素的个数为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 变式3 若集合，则 ， ．‎ 题型2 集合间的基本关系 思路提示 ‎（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．‎ 第 23 页 共 23 页 ‎（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．‎ 一、集合关系中的判断问题 例1.2 若，则，，之间的关系为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故．‎ 解法二：列举，．因此，故选C．‎ 评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．‎ 变式1 设集合，，则 A． B． C． D．‎ 例1.3 设.‎ ‎（1）若，试判断集合与集合的关系；‎ ‎（2）若，求实数组成的集合.‎ 分析：（1）先求集合，再由求集合，确定与的关系.‎ ‎（2）解方程，建立的关系式求，从而确定集合.‎ 解析：（1）由得或，所以.‎ 若，得，即，所以，故.‎ ‎（2）因为，又.‎ ‎①当时，则方程无解，则；‎ ‎②当时，则，由，得，所以或，即或 故集合.‎ 评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.‎ 第 23 页 共 23 页 ‎（2）含参数的一元一次方程解的确定：‎ 当时，方程有唯一实数解；‎ 当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；‎ 当且时，方程无解.‎ 变式1 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.‎ 二、已知集合间的关系，求参数的取值范围 例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合，则（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 解析：由，得，故或且，所以或.故选B.‎ 变式1 已知集合，若，则实数的取值范围是 .‎ 变式2 已知集合，且，则实数的取值范围是 .‎ 变式3 已知集合，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 三、集合关系中的子集个数问题 例1.5 已知集合，则集合的子集个数为 .‎ 分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.‎ 解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.‎ 例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，故选D.‎ 变式1 已知集合满足，求集合的个数.‎ 第 23 页 共 23 页 题型3 集合的运算 思路分析 凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.‎ 一、集合元素属性的理解 例1.7 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.‎ 解析：，，即，所以，故选C.‎ 评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.‎ 变式1 集合，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 变式2 已知集合，则集合 .‎ 变式3 设全集，集合，那么（ ）‎ 第 23 页 共 23 页 A． B． C． D．‎ 变式4 已知集合，，若，求实数的取值范围.‎ 二、数轴在集合运算中的应用 例1.8 设集合，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.‎ 解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.故选A.‎ ‎ ‎ 图1—1‎ 变式1 （2012天津理11）已知集合，集合，且，则 ， .‎ 变式2 已知全集，集合，那么集合（ ）. ‎ A. B. C. D.‎ 变式3 已知集合，则集合（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 三、韦恩图在集合运算中的应用 例1.9 设为全集，，是两个非空集合，定义与的差集，则（ ）.‎ 第 23 页 共 23 页 A． B． C． D．‎ 分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.‎ 解析：①当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.‎ ‎②当时，.‎ 综上，.故选B.‎ 评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如，根据定义得出所求集合为空集.故选B.‎ 变式1 设全集，，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有 人．‎ 例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第 23 页 共 23 页 分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.‎ 解析：图1-3中的阴影部分为与的公共部分，即中去掉属于的那部分元素后剩余元素组成的集合，即，故选B.‎ 对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集．‎ 如图1-4所示分别表示：（a）；（b）；(c) 或.‎ 变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 四、以集合为载体的创新题 例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.‎ 解析：由孤立元的定义，若不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为、、、、和，共6个.‎ 评注：由的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个.‎ 变式1 设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，若是的两个不相交的非空子集，，且，有，，有，则下列结论恒成立的是（ ）‎ 第 23 页 共 23 页 A.中至少有一个关于乘法是封闭 B.中至多有一个关于乘法是封闭 C.中有且只有一个关于乘法是封闭 D.中每一个关于乘法是封闭 变式2 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.‎ ‎（1）检验集合与是否具有性质，并对具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎（2）对任何具有性质的集合，证明：.‎ 变式3 （2012江苏23）变式3设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数.‎ ‎①； ②若，则； ③若，则.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求的解析式(用表示).‎ 最有效训练题1（限时45分钟）‎ ‎1．设集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设全集.集合，，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第 23 页 共 23 页 A B U 图 1—5‎ ‎4．已知全集，集合，并且，那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设集合.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设全集,‎ ‎，那么的充要条件是（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎7．设集合，则实数 .‎ ‎8．已知集合满足条件：当时，总有（且）.已知，则集合中所有元素的积等于 .‎ ‎9．已知集合满足，且.若，则的取值范围是 .‎ ‎10．已知集合.若，则实数的取值范围是 .‎ ‎11．已知集合，若对任意的，求证：.‎ ‎12．已知集合，对于中的一个子集，若存在不大于的正整数数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质.‎ 第 23 页 共 23 页 ‎（1）当时，试判断集合和是否具有性质？请说明理由.‎ ‎（2）若集合具有性质，那么集合是否一定具有性质？请说明理由.‎ 第 23 页 共 23 页 参考答案 第一章 集合与常用逻辑用语 例1.1变式1‎ 解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。‎ 因为所以即,B中所含元素的个数为10.故选D 例1.1变式2‎ 解析：逐个列举可得，时，时，时，‎ 根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，故选C 例1.1变式3‎ 解析：依题意得,故即，因此 若则故因此x=y=1与题意不符；‎ 若则显然与题意不符,故，此时满足题意。‎ 例1.2变式1‎ 解析 集合M中的元素，分子为奇数；集合N中的元素，分子为整数，则M N，故选B.‎ 例1.3变式1‎ 解析 由，得，若则 ‎ （1）当B=，即时，解得 ‎ （2）当B时，如图1-9所示，由，得，得 综上所述，实数的取值范围是 第 23 页 共 23 页 评注：由，勿忘B=（空集是任何集合的子集）‎ 例1.4变式1‎ 解析 由,如图1-10所示得，故实数的取值范围是 评注 端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。‎ 例1.4变式2‎ 解析 如图1-11所示，A为，B为，要使，只需，故实数的取值范围是 例1.4变式3‎ 解析 由，得，则，故选C.‎ 例1.6变式1‎ 解析 由知，集合M是集合的任一非空子集与集合的并集，所以集合M的个数为28-1=255‎ 评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：‎ 结论1 ：含有n个元素的集合的子集个数为,真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2 )‎ 结论2设，则有，‎ 第 23 页 共 23 页 ‎①满足的集合A的个数是 ‎②满足的集合A的个数是-1‎ ‎③满足的集合A的个数是-1‎ ‎④满足的集合A的个数是-2‎ 例1.7变式1‎ 分析 本题考查集合的概念与运算。‎ 解析 先化简再求交集，由已知得，故，故选B 评注：本题若忽视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合 例1.7变式2‎ 解析 ，利用零点分段法解绝对值不等式。‎ 当时，;‎ 当时,,恒成立；‎ 当时,,‎ 综上所述,‎ 又因为，由基本不等式得,‎ 当时取，所以，故 例1.7变式3‎ 解析 解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分，表示直线y=x+1上的点集，所以表示的点集中仅有点（2,3），即（2,3）。‎ 解法二 ：，故选B 第 23 页 共 23 页 例1.7变式4‎ 分析本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围。‎ 解析 解法一 ：问题等价于方程组在[0,2]上有解，即在[0,2]上有解，令，则由知，抛物线过点(0,1),‎ 所以抛物线在[0,2]上与x轴有交点等价于 ‎ ①‎ 或 ②‎ 由①得，由②得 ‎ 所以实数的取值范围为 解法二：同解法一，问题等价于方程在[0,2]上有解，故可以转化为函数值域问题。等价转化为，当时，方程不成立；当时，方程转化为；当时，函数，即当时原方程有解，由，即所求实数的取值范围为.‎ 例1.8变式1‎ 解析 先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。‎ ‎ 因为，当时，不符合题意，所以，即，又，所以.‎ 例1.8变式2‎ 解析 ,故选D 第 23 页 共 23 页 例1.8变式3‎ 解析 解法一：,所以,得.‎ 解法二：‎ ‎. 故选D 例1.9变式1‎ 解析 由可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，故选B.‎ 例1.9变式2‎ 分析 本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。‎ 解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-人，喜爱足球不喜爱篮球的有人，故有.‎ 例1.10变式1‎ 解析 如图1-13所示，因为，所以，所以，故选A ‎ 例1.11变式1‎ 解析 由于，故整数1一定在T,V两个集合中的一个中，不妨设，则 第 23 页 共 23 页 ‎，由于，则，即，从而T对乘法封闭；另一方面，当时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对，当时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对，故选A 例1.11变式2‎ 解析 （1）因为，故集合不具有性质P，集合具有性质P，其相应的集合S和T是.‎ ‎（2）首先，由A中元素构成的有序数对 共有个，因为，所以又因为时，，所以当时，，从而集合T中元素的个数最多为,即 .‎ 例1.11变式3‎ 解析（1）当n=4时，，满足条件的集合A有。所以 .‎ ‎（2）解法一：任取偶数，则必有奇数，使得。若，则，即为偶数，为奇数；若，则，即为奇数，为偶数。所以，任意偶数是否属于集合A，完全由奇数 确定。‎ 设集合是由集合中所有奇数组成的集合，则等于集合的子集个数，即 。‎ 解法二：易得 ,‎ 当为奇数时，集合中满足条件的集合A有个,对于集合，考虑元素n，因为n为奇数，所以均可，故.‎ 即，叠乘得 .‎ 第 23 页 共 23 页 当为偶数时，集合中满足条件的集合A有个。‎ 对于集合，考虑元素n，因为n为偶数，所以，即n是否属于集合A,完全由确定。而集合中，对于每一个满足条件的集合A，元素是否属于集合A均是确定的，故为奇数，所以 综上， .‎ 评注：①数列的核心是递推，先从特殊的几个数（n=1,2,3，…….）入手，关键在于发现与的关系，从而发现一般规律，再给予证明。‎ ‎②递推法是处理数列问题（乃至大学学习计算机等方面）的“杀手锏”，请读者深思体会，并能灵活运用。‎ 最有效训练题1‎ ‎1.D 解析 因为，所以，故选D.‎ ‎2.B 解析 因为，所以，故选B ‎3.A 解析 阴影部分所表示的集合为，而，故，故选A.‎ ‎4.C 解析 因为，，如图1-14所示，利用数轴可得.故选C.‎ 第 23 页 共 23 页 ‎5. C 解析 由，即，如图1-15所示，‎ 由图可知，所以，故选C ‎6. D 解析 因为，所以，又，所以.故选D ‎7. -1 解析 ，所以，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去.若，同样舍去，当时，，满足题意，所以.‎ ‎8.1 解析 依题意 ，所以,‎ 从而 故A中只有三个元素，‎ 它们的积为 .‎ ‎9.解析 由，得，则 第 23 页 共 23 页 ‎，解得，所以的取值范围是 .‎ ‎10.解析 解法一（直接法）即原方程有一个负根或两个负根，所以 ,解得,则实数的取值范围是 解法二：（间接法）设全集 ‎} ,设方程 的两根为若方程 的根式 均非负，则 ,解得.因为，所以关于的补集即为所求.‎ ‎11.解析 ‎ 设 ,‎ 因为. 所以,故 .证毕 ‎12.解析 （1）当时，集合，集合不具有性质P，因为对任意不大于10的正整数，都可以找到集合B中两元素，使得成立。‎ 集合具有性质P，‎ 因为可取，对于该集合中任意一对元素,都有 ‎（2）若集合S具有性质P ,那么集合一定具有性质P .‎ 第 23 页 共 23 页 首先因为，任取，其中，因为，所以，从而，即，所以。由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数，使得对S中的任意一对元素，都有，对上述取定的不大于n的正整数，从集合中任取元素，其中，都有，因为，所以有，即，所以集合具有性质P 第 23 页 共 23 页