高考新课标全国I卷文科数学试题及答案

高考新课标全国I卷文科数学试题及答案

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 ‎(全国卷I新课标)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　　)．‎ A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}‎ ‎2． ＝(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．( ，文4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x ‎5．( ，文5)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)．‎ A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q ‎6．( ，文6)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)．‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an ‎7．( ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)．‎ A．[－3,4] B．[－5,2]‎ C．[－4,3] D．[－2,5]‎ ‎8．( ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(　　)．‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎9．( ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为(　　)．‎ ‎10．( ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)．‎ A．10 B．9 C．8 D．5‎ ‎11．( ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ A．16＋8π ‎ B．8＋8π C．16＋16π ‎ D．8＋16π ‎12．( ，文12)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2,1] D．[－2,0]‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．( ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.‎ ‎14．( ，文14)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．‎ ‎15．( ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．‎ ‎16．( ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．( ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ ‎18．( ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎19．( ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ ‎(1)证明：AB⊥A1C；‎ ‎(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．‎ ‎20．( ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ ‎21．( ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．( ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎23．( ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ ‎24．( ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 ‎(全国卷I新课标)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．‎ 答案：A 解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，‎ ‎∴A∩B＝{1,4}．‎ ‎2． ‎ 答案：B 解析：＝.‎ ‎3． ‎ 答案：B 解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.‎ ‎4．‎ 答案：C 解析：∵，∴，即.‎ ‎∵c2＝a2＋b2，∴.∴.‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∴渐近线方程为.故选C.‎ ‎5．‎ 答案：B 解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，‎ ‎∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，‎ ‎∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．‎ ‎∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.‎ ‎6．‎ 答案：D 解析：＝3－2an，故选D.‎ ‎7．‎ 答案：A 解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．‎ 当1≤t≤3时，s＝4t－t2.‎ ‎∵该函数的对称轴为t＝2，‎ ‎∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．‎ ‎∴smax＝4，smin＝3.‎ ‎∴s∈[3,4]．‎ 综上知s∈[－3,4]．故选A.‎ ‎8．‎ 答案：C 解析：利用|PF|＝，可得xP＝.‎ ‎∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.‎ 故选C.‎ ‎9． ‎ 答案：C 解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈时，f(x)＞0，排除A.‎ 当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.‎ 令f′(x)＝0，得.‎ 故极值点为，可排除D，故选C.‎ ‎10．‎ 答案：D 解析：由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝.‎ ‎∵A∈，∴cos A＝.‎ ‎∵cos A＝，∴b＝5或(舍)．‎ 故选D.‎ ‎11．‎ 答案：A 解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．‎ V半圆柱＝π×22×4＝8π，‎ V长方体＝4×2×2＝16.‎ 所以所求体积为16＋8π.故选A.‎ ‎12．‎ 答案：D 解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．‎ 当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；‎ 当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．‎ 若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，‎ 由得x2－(a＋2)x＝0.‎ ‎∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.‎ ‎∴a∈[－2,0]．故选D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．答案：2‎ 解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝.‎ ‎∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，‎ 即ta·b＋(1－t)b2＝0.‎ ‎∴＋1－t＝0.‎ ‎∴t＝2.‎ ‎14．答案：3‎ 解析：画出可行域如图所示．‎ 画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.‎ ‎15．答案：‎ 解析：如图，‎ 设球O的半径为R，‎ 则AH＝，‎ OH＝.‎ 又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.‎ ‎∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.‎ ‎∴S球＝4πR2＝.‎ ‎16．答案：‎ 解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值．‎ 即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．‎ ‎∴cos θ＝＝－sin φ＝.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝.‎ 由已知可得 解得a1＝1，d＝－1.‎ 故{an}的通项公式为an＝2－n.‎ ‎(2)由(1)知＝，‎ 从而数列的前n项和为 ‎＝.‎ ‎18． ‎ 解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.‎ 由观测结果可得 ‎＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)‎ ‎＝2.3，‎ ‎＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)‎ ‎＝1.6.‎ 由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．‎ ‎(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．‎ ‎19．‎ ‎(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.‎ 因为CA＝CB，‎ 所以OC⊥AB.‎ 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，‎ 故△AA1B为等边三角形，‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.‎ ‎(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，‎ 所以OC＝OA1＝.‎ 又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，‎ 故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．‎ 又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.‎ ‎20．‎ 解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.‎ 故b＝4，a＋b＝8.‎ 从而a＝4，b＝4.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·.‎ 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；‎ 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎21．‎ 解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，‎ 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.‎ 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．‎ 由l与圆M相切得＝1，解得k＝.‎ 当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，‎ 所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝或|AB|＝.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．‎ ‎ (1)证明：连结DE，交BC于点G.‎ 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.‎ 而∠ABE＝∠CBE，‎ 故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，‎ 所以DE为直径，∠DCE＝90°，‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC的中垂线，‎ 所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.‎ 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，‎ 故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎23．‎ 解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎24．‎ 解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.‎ 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，‎ 则y＝‎ 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.‎ 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.‎ 所以x≥a－2对x∈都成立．‎ 故≥a－2，即a≤.‎ 从而a的取值范围是.‎