上海市浦东新区高考数学二模试卷理科含答案解析

上海市浦东新区高考数学二模试卷理科含答案解析

‎2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．已知全集U=R，若集合A={x|}，则∁UA=　　　　　　．‎ ‎2．已知复数z满足z（1﹣i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|=　　　　　　．‎ ‎3．双曲线2x2﹣y2=6的焦距为　　　　　　．‎ ‎4．已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为　　　　　　．‎ ‎5．方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为　　　　　　．‎ ‎6．已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a=　　　　　　．‎ ‎7．在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则△ABC的形状为　　　　　　．‎ ‎8．在极坐标系中，点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为　　　　　　．‎ ‎9．离散型随机变量ξ的概率分布列如图，若Eξ=1，则Dξ的值为　　　　　　．‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎0.2 ‎ ‎ a b ‎ ‎10．已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF=　　　　　　．‎ ‎11．设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是　　　　　　．‎ ‎12．已知{an}的通项公式为an=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前n项和Sn=　　　　　　．‎ ‎13．任意实数a、b，定义a⊗b=，设函数f（x）=（log2x）⊗x，数列{an}是公比大于0的等比数列，且a6=1．f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1=　　　　　　．‎ ‎14．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（　　）‎ A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分亦非必要条件 ‎16．给出下列命题，其中正确的命题为（　　）‎ A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直 C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行 D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直 ‎17．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎19．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO=AB；‎ ‎（1）证明：AB⊥平面SOC；‎ ‎（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）‎ ‎20．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；‎ ‎（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）‎ ‎（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）‎ ‎21．数列{an}满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中n∈N+；‎ ‎（1）求实数λ的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值．‎ ‎22．教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+=0与椭圆E： =1（a＞1）有且只有一个公共点；‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．‎ ‎23．（理科）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x0＜x1＜…＜xn﹣1＜xn=b，和式≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：；‎ ‎（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；‎ ‎（2）证明函数f（x）=不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；‎ ‎（3）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．已知全集U=R，若集合A={x|}，则∁UA=　[0，1]　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】求解不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．‎ ‎【解答】解：由得到x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，‎ ‎∴A=（﹣∞，0）∪（1，+∞），‎ ‎∴∁UA=[0，1]，‎ 故答案为：[0，1]．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z满足z（1﹣i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|=　　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，‎ ‎∴z（1﹣i）（1+i）=2i（1+i），‎ ‎∴2z=2（i﹣1），‎ ‎∴z=i﹣1．‎ 则|z|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线2x2﹣y2=6的焦距为　6　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．‎ ‎【解答】解：双曲线2x2﹣y2=6即为﹣=1，‎ 可得a=，b=，c==3，‎ 即有焦距为2c=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎4．已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为　　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】T5=x﹣2，由已知可得： =，a＞0．解出即可得出．‎ ‎【解答】解：T5==x﹣2，‎ ‎∴=，a＞0．‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为　x=0和x=1　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案．‎ ‎【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得 log2（9x+7）=log24（3x+1），‎ 即9x+7=4（3x+1），‎ 化为（3x）2﹣4•3x+3=0，‎ 解得：3x=1和3x=3，‎ ‎∴x=0和x=1．‎ 故答案为：x=0和x=1．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a=　﹣3　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】由y=（a），可得反函数：y=，利用函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．‎ ‎【解答】解：由y=（a），解得x=（y≠3），把x与y互换可得：y==，‎ ‎∵函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，‎ ‎∴﹣a=3，解得a=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则△ABC的形状为　等腰三角形或直角三角形　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【分析】由题意可得acosA﹣bcosB=0，利用正弦定理化边为角，得到sin2A=sin2B．再由A，B为三角形的两个内角，可得A=B或A+B=，得到三角形为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎【解答】解：由=0，得a•cosA﹣b，‎ 即acosA﹣bcosB=0，‎ 由正弦定理可得：sinAcosA﹣sinBcosB=0，‎ ‎∴sin2A=sin2B．‎ ‎∵A，B为三角形的两个内角，‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π．‎ 即A=B或A+B=，‎ ‎∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．‎ 故答案为：等腰三角形或直角三角形．‎ ‎　‎ ‎8．在极坐标系中，点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为　2　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】先求出A（0，2），直线为x﹣y﹣2=0，由此利用点到直线的距离公式能求出点A（2，）到直线ρcos（）=的距离．‎ ‎【解答】解：在极坐标系中，点A（2，），‎ ‎∴在平面直角坐标系中，A（2cos，2sin），即A（0，2），‎ ‎∵ρcos（）=ρ（cos﹣sin）=cosθ﹣sinθ=，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ ‎∴直线为x﹣y﹣2=0，‎ 点A（0，2）到直线x﹣y﹣2=0的距离：d==2，‎ ‎∴点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．离散型随机变量ξ的概率分布列如图，若Eξ=1，则Dξ的值为　0.4　．‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎0.2 ‎ ‎ a b ‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】利用离散型分布列的性质，先求出a，b，由此能求出Dξ的值．‎ ‎【解答】解：∵Eξ=1，‎ ‎∴由离散型随机变量ξ的概率分布列，得，‎ 解得a=0.6，b=0.2，‎ ‎∴Dξ=（0﹣1）2×0.2+（1﹣1）2×0.6+（2﹣1）2×0.2=0.4．‎ 故答案为：0.4．‎ ‎　‎ ‎10．已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF=　1　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO=FO=1，，由此能求出EF．‎ ‎【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，‎ ‎∵四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，‎ ‎∴EO∥CD，且EO=，FO∥AB，且FO==1，‎ ‎∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角，∴，‎ ‎∴△EOF是等边三角形，∴EF=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎11．设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】由与的夹角为锐角，得到，由此能求出与的夹角为锐角的概率．‎ ‎【解答】解：∵m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），‎ 与的夹角为锐角，‎ ‎∴，‎ 基本事件总数n=6×6=36，‎ m﹣n＞0包含的基本事件个数m=15，‎ ‎∴与的夹角为锐角的概率是p===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知{an}的通项公式为an=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前n项和Sn=　　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】an=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，∴a2k﹣1+a2k=﹣（2k﹣1）+22k﹣1+2k+22k=1+．当n为偶数时，则前n项和Sn=S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣1+a2k），再利用等比数列的前n项和公式即可得出．当n为奇数时，则前n项和Sn=S2k﹣2+an．‎ ‎【解答】解：∵an=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，‎ ‎∴a2k﹣1+a2k=﹣（2k﹣1）+22k﹣1+2k+22k=1+．‎ 当n为偶数时，则前n项和Sn=S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣1+a2k）=k+×=+2（4k﹣1）=+2n+1﹣2．‎ 当n为奇数时，则前n项和Sn=S2k﹣2+an=+2n﹣2﹣n+2n=2n+1﹣2﹣．‎ 综上可得：Sn=．‎ 故答案为：Sn=．‎ ‎　‎ ‎13．任意实数a、b，定义a⊗b=，设函数f（x）=（log2x）⊗x，数列{an}是公比大于0的等比数列，且a6=1．f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1=　4　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】f（x）=（log2x）⊗x=，及其数列{an}是公比大于0的等比数列，且a6=1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（log2x）⊗x=，‎ ‎∵数列{an}是公比大于0的等比数列，且a6=1，‎ ‎①1＜q时，a1，a2，…，a5∈（0，1），a7，a8，a9，a10∈[1，+∞），=1．‎ ‎∴，‎ 分别为：，，…，，1，q，…，q4．‎ ‎∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，‎ ‎∴++…++0+a7log2a7+…+a10log2a10=2a1，‎ ‎∴+q4+…++qlog2q+…+=2×．‎ ‎∴=2×．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．‎ ‎②0＜q＜1时， =1，∴，‎ 分别为：，，…，，1，q，…，q4，a1，a2，…，a5∈（1，+∞）；a7，a8，a9，a10∈（0，1），‎ ‎∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，‎ ‎∴++…++log2q+…+=2×．‎ ‎∴=2×．‎ ‎∴=4，‎ ‎∴a1=4．‎ ‎③q=1时，a1=…=a6=…=a10=1，不满足f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，舍去．‎ 综上可得：a1=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为　4031　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．‎ ‎【解答】解：y==，‎ 作函数y=与y=|sinπx|在[﹣2016，2016]上的图象如下，‎ 由图象知函数y=|sin|的周期是2，两个函数都关于x=1对称，‎ 当x≤0时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[﹣2016，0]内有1008×2=2016个交点，‎ 在[0，2]内两个函数只有一个交点，‎ 当x≥2时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[2，2016]内有1007×2=2014个交点，‎ 则在[﹣2016，2016]上解的个数为2016+1+2014=4031，‎ 故答案为：4031‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（　　）‎ A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分亦非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，‎ ‎∴“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的既不充分也不必要条件．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎16．给出下列命题，其中正确的命题为（　　）‎ A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直 C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行 D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案．‎ ‎【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c异面，故A错误；‎ 对于B，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；‎ 对于C，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；‎ 对于D，假设存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，则b⊥a，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确 故选：D．‎ ‎　‎ ‎17．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），‎ 过P作PN垂直直线x=﹣1于N，‎ 由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，‎ 设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，‎ 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，‎ 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，‎ 所以∠NPA=45°，‎ ‎=cos∠NPA=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎18．已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】画出函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4‎ ‎=，‎ ‎（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．‎ ‎∴=（3﹣x，6+2x），=（﹣3﹣x，6+2x）．‎ ‎∴=x2﹣9+（6+2x）2=5x2+24x+27，‎ ‎∵x∈[﹣4，﹣2]，∴﹣≤λ≤11．‎ ‎∴当λ=﹣时有一解，当﹣＜λ≤11时有两解；‎ ‎（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．‎ ‎∴=（3﹣x，2），=（﹣3﹣x，2）．‎ ‎∴=x2﹣9+4=x2﹣5，‎ ‎∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．‎ ‎∴当λ=﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；‎ ‎（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．‎ ‎=（3﹣x，6﹣2x），=（﹣3﹣x，6﹣2x），‎ ‎∴=x2﹣9+（6﹣2x）2=5x2﹣24x+27，‎ ‎∵2＜x≤4，∴﹣≤=λ≤11．‎ ‎∴当λ=﹣时有一解，当﹣＜λ＜11时有两解．‎ 综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是﹣＜λ＜﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎19．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO=AB；‎ ‎（1）证明：AB⊥平面SOC；‎ ‎（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；‎ ‎（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO．‎ ‎【解答】证明：（1）∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ ‎∴SO⊥AB，‎ ‎∵C为的中点，‎ ‎∴AB⊥OC，又SO⊂平面SOC，OC⊂平面SOC，SO∩OC=O，‎ ‎∴AB⊥平面SOC．‎ ‎（2）连结OD．‎ ‎∵AB⊥平面SOC，‎ ‎∴∠ADO为AD与平面SOC所成的角，‎ 设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，‎ ‎∴SC==a，∴OD=，‎ ‎∴tan∠ADO==．‎ ‎∴AD与平面SOC所成角为arctan．‎ ‎　‎ ‎20．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；‎ ‎（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）‎ ‎（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）设BC=x，则AB=2﹣x，AC=2.4﹣x，A=120°，利用余弦定理列方程解出x；‎ ‎（2）利用（1）的结论得出三角形ABC的三边长，使用余弦定理求出cosB，得到B的大小．‎ ‎【解答】解；（1）设BC=x，则AB=2﹣x，AC=2﹣x+0.4=2.4﹣x，‎ 由题意得A=120°，‎ 在△ABC中，由余弦定理得：cosA===﹣．‎ 解得x=1.4．‎ ‎∴BC=1.4m．‎ ‎（2）由（1）知AB=0.6，AC=1，BC=1.4．‎ ‎∴cosB==．‎ ‎∴B=arccos．‎ ‎　‎ ‎21．数列{an}满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中n∈N+；‎ ‎（1）求实数λ的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p≤，利用取特值和做商法判断出的单调性，再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵a1=2，an+1=an+λ•2n，‎ ‎∴a2=a1+λ•2=2+2λ，a3=a2+4λ=2+6λ；‎ ‎∵a1，a2+1，a3成等差数列，‎ ‎∴2（2+2λ+1）=2+2+6λ，解得λ=1，即an+1﹣an=2n，‎ ‎∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，an﹣an﹣1=2n﹣1，‎ 以上式子相加可得，an﹣a1=2+4+8+…+2n﹣1=2n﹣2，‎ 得an﹣2=2n﹣2，则an=2n，‎ ‎∴λ=1，an=2n；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎∵P＞0，∴当n=1、2时，上式一定成立；‎ 当n≥3时，化简得p≤=，‎ 当n=3时，p≤==，当n=4时，p≤==4.8，‎ 当n=5时，p≤=，当n=6时，p≤，…‎ 设bn=，则===2（1﹣），‎ 当n≥4时，2（1﹣）≥，则＞1，‎ ‎∴当n≥4时，bn随着n的增大而增大，则随着n的增大而减小，‎ ‎∵等式成立的自然数n恰有4个，即n=1、2、4、5，‎ ‎∴正整数p的值是3．‎ ‎　‎ ‎22．教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+=0与椭圆E： =1（a＞1）有且只有一个公共点；‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将直线y=x+代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；‎ ‎（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y=2，l2：x2x+2y2y=2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my=1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；‎ ‎（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y=k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理，由题意可得 ‎，可得=，求得N的坐标，代入切点弦AB的方程，计算即可判断．‎ ‎【解答】解：（1）将直线y=x+代入椭圆方程x2+a2y2=a2，‎ 可得（1+a2）x2+2a2x+2a2=0，‎ 由直线和椭圆相切，可得 ‎△=12a4﹣4（1+a2）•2a2=0，‎ 解得a=（由a＞1）；‎ ‎（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得切线l1：x1x+2y1y=2，‎ l2：x2x+2y2y=2，‎ 由l1与l2交于点M（2，m），可得 ‎2x1+2my1=2，2x2+2my2=2，‎ 由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，‎ 即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=，‎ 由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1=0，‎ y1+y2=，y1y2=﹣，‎ 可得|AB|=•=•=，‎ 可得△OAB的面积S=d|AB|=•，‎ 设t=（t≥1），‎ S==≤，‎ 当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值；‎ ‎（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），‎ 由直线y=k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，‎ 可得（1+2k2）x2+4k（m﹣2k）x+2（m﹣2k）2﹣2=0，‎ 即有x3+x4=﹣，x3x4=，‎ 由线段CD上存在点N，使成立，‎ 可得=，化为x0=，‎ 代入韦达定理，化简可得x0=，‎ y0=k（x0﹣2）+m=k（﹣2）+m=，‎ 由x0+my0=+==1．‎ 即有N在直线AB上．‎ ‎　‎ ‎23．（理科）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x0＜x1＜…＜xn﹣1＜xn=b，和式≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：；‎ ‎（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；‎ ‎（2）证明函数f（x）=不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；‎ ‎（3）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由．‎ ‎【考点】三角函数的最值；函数的值域．‎ ‎【分析】（1）利用函数在[﹣，0]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足“绝对差有界函数”的定义；‎ ‎（2）举例说明函数f（x）对于和式= [+]≤M不成立即可；‎ ‎（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+）在[﹣，0]上是增函数，‎ ‎∴对任意划分f（xn）＞f（xn﹣1），‎ ‎∴|f（xi）﹣f（xi﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+…+f（xn）﹣f（xn﹣1）=f（0）﹣f（﹣）=2；‎ 取常数M≥2，则和式≤M恒成立，‎ ‎∴函数f（x）在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；‎ ‎（2）证明：∵函数f（x）=，‎ 令xi=，xi﹣1=，i∈N*，‎ 则f（xi）﹣f（xj）=﹣﹣；‎ ‎∴和式= [+]≤M不成立，‎ 故函数f（x）不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；‎ ‎（3）∵存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，‎ ‎∴|f（xi）﹣f（xi﹣1）|≤|xi﹣xi﹣1|=k（b﹣a）；‎ 故存在常数M=k（b﹣a），使得|f（xi）﹣f（xi﹣1）|≤M恒成立，‎ 所以f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”；‎ 又函数g（x）=2016sin，‎ 令x1=﹣，x2=，‎ ‎∴|f（x1）﹣f（x2）|≤2016×（﹣1﹣1）=4032，‎ ‎∴存在k≥4032，使g（x）=2016sin在集合A中．‎ ‎　‎ ‎2016年7月21日