2010年北京市高考数学试卷(理科)

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2010年北京市高考数学试卷(理科)

‎2010年北京市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.(5分)(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},则P∩M=(  )‎ A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x≤3}‎ ‎2.(5分)在等比数列{an}中,a1=1,公比q≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=(  )‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎3.(5分)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为(  )‎ A.A88A92 B.A88C92 C.A88A72 D.A88C72‎ ‎5.(5分)极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )‎ A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎6.(5分)若,是非零向量,“⊥”是“函数为一次函数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.(5分)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(  )‎ A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞]‎ ‎8.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积(  )‎ A.与x,y,z都有关 B.与x有关,与y,z无关 C.与y有关,与x,z无关 D.与z有关,与x,y无关 ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.(5分)在复平面内,复数对应的点的坐标为  .‎ ‎10.(5分)在△ABC中,若b=1,c=,∠C=,则a=  .‎ ‎11.(5分)从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=  .若要从身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为  .‎ ‎12.(5分)如图,⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=  ;CE=  .‎ ‎13.(5分)已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为  ;渐近线方程为  .‎ ‎14.(5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为  ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.(13分)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cosx.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.‎ ‎16.(14分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.‎ ‎17.(13分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p a d ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;‎ ‎(Ⅱ)求数学期望Eξ.‎ ‎18.(13分)已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x+x2(k≥0).‎ ‎(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间.‎ ‎19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(﹣1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于﹣.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(13分)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn,定义A与B的差为A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…|an﹣bn|);‎ A与B之间的距离为 ‎(Ⅰ)证明:∀A,B,C∈Sn,有A﹣B∈Sn,且d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B);‎ ‎(Ⅱ)证明:∀A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ)设P⊆Sn,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为.‎ 证明:≤.‎ ‎ ‎ ‎2010年北京市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.(5分)(2010•北京)(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},则P∩M=(  )‎ A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x≤3}‎ ‎【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},分别解出集合P,M,从而求出P∩M.‎ ‎【解答】解:∵集合P={x∈Z|0≤x<3},‎ ‎∴P={0,1,2},‎ ‎∵M={x∈Z|x2<9},‎ ‎∴M={﹣2,﹣1,0,1,2},‎ ‎∴P∩M={0,1,2},‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2010•北京)在等比数列{an}中,a1=1,公比q≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=(  )‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4a5,求得am=a1q10,根据等比数列通项公式可得m.‎ ‎【解答】解:am=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10,因此有m=11‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2010•北京)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】从正视图和侧视图上分析,去掉的长方体的位置应该在的方位,然后判断俯视图的正确图形.‎ ‎【解答】解:由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧,‎ 由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2010•北京)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为(  )‎ A.A88A92 B.A88C92 C.A88A72 D.A88C72‎ ‎【分析】本题要求两个教师不相邻,用插空法来解决问题,将所有学生先排列,有A88种排法,再将两位老师插入9个空中,共有A92种排法,根据分步计数原理得到结果.‎ ‎【解答】解:用插空法解决的排列组合问题,‎ 将所有学生先排列,有A88种排法,‎ 然后将两位老师插入9个空中,‎ 共有A92种排法,‎ ‎∴一共有A88A92种排法.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2010•北京)极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )‎ A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎【分析】由题中条件:“(ρ﹣1)(θ﹣π)=0”得到两个因式分别等于零,结合极坐标的意义即可得到.‎ ‎【解答】解:方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0⇒ρ=1或θ=π,‎ ρ=1是半径为1的圆,‎ θ=π是一条射线.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2010•北京)若,是非零向量,“⊥”是“函数为一次函数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】先判别必要性是否成立,根据一次函数的定义,得到,则成立,再判断充分性是否成立,由,不能推出函数为一次函数,因为时,函数是常数,而不是一次函数.‎ ‎【解答】解:,‎ 如,则有,‎ 如果同时有,则函数f(x)恒为0,不是一次函数,因此不充分,‎ 而如果f(x)为一次函数,则,因此可得,故该条件必要.‎ 故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2010•北京)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(  )‎ A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞]‎ ‎【分析】先依据不等式组,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域,再利用指数函数y=ax的图象特征,结合区域的角上的点即可解决问题.‎ ‎【解答】解:作出区域D的图象,联系指数函数y=ax的图象,‎ 由得到点C(2,9),‎ 当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,‎ 而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2010•北京)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积(  )‎ A.与x,y,z都有关 B.与x有关,与y,z无关 C.与y有关,与x,z无关 D.与z有关,与x,y无关 ‎【分析】四面体PEFQ的体积,找出三角形△EFQ面积是不变量,P到平面的距离是变化的,从而确定选项.‎ ‎【解答】解:从图中可以分析出,△EFQ的面积永远不变,为面A1B1CD面积的,‎ 而当P点变化时,它到面A1B1CD的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.(5分)(2010•北京)在复平面内,复数对应的点的坐标为 (﹣1,1) .‎ ‎【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母进行复数的乘法运算,得到最简形式即复数的代数形式,写出复数对应的点的坐标.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴复数在复平面上对应的点的坐标是(﹣1,1)‎ 故答案为:(﹣1,1)‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2010•北京)在△ABC中,若b=1,c=,∠C=,则a= 1 .‎ ‎【分析】先根据b,c,∠c,由正弦定理可得sinB,进而求得B,再根据正弦定理求得a.‎ ‎【解答】解:在△ABC中由正弦定理得,‎ ‎∴sinB=,‎ ‎∵b<c,‎ 故B=,则A=‎ 由正弦定理得 ‎∴a==1‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2010•北京)从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a= 0.03 .若要从身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 3 .‎ ‎【分析】欲求a,可根据直方图中各个矩形的面积之和为1,列得一元一次方程,解出a,欲求选取的人数,可先由直方图找出三个区域内的学生总数,及其中身高在[140,150]内的学生人数,再根据分层抽样的特点,代入其公式求解.‎ ‎【解答】解:∵直方图中各个矩形的面积之和为1,‎ ‎∴10×(0.005+0.035+a+0.02+0.01)=1,‎ 解得a=0.03.‎ 由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.03+0.02+0.01)=60人.‎ 其中身高在[140,150]内的学生人数为10人,‎ 所以身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为×10=3人.‎ 故答案为:0.03,3.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2010•北京)如图,⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE= 5 ;CE=  .‎ ‎【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长,再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可.‎ ‎【解答】解:首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE,‎ 于是AE=8,DE=5,又BD⊥AE,‎ 故BE为直径,因此∠C=90°,‎ 由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28,‎ 故CE=.‎ 故填:5;.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2010•北京)已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 (4,0),(﹣4,0) ;渐近线方程为 y=x .‎ ‎【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标,得到双曲线的c值,再由离心率求出a的值,最后根据b=得到b的值,可得到渐近线的方程.‎ ‎【解答】解:∵椭圆的焦点为(4,0)(﹣4,0),故双曲线中的c=4,且满足=2,故a=2,‎ b=,所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x 故答案为:(4,0),(﹣4,0);y=x ‎ ‎ ‎14.(5分)(2010•北京)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 4 ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 π+1 .‎ ‎【分析】正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.‎ ‎【解答】解:从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,‎ 这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4.‎ 下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,‎ P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,‎ 然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,‎ 然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,‎ 因此最终构成图象如下:‎ 故其与x轴所围成的图形面积为 ‎.‎ 故答案为:4,π+1‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.(13分)(2010•北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cosx.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)把x=代入到f(x)中,利用特殊角的三角函数值求出即可;‎ ‎(Ⅱ)利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x,然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1,得到f(x)是关于cosx的二次函数,利用配方法把f(x)变成二次函数的顶点式,根据cosx的值域,利用二次函数求最值的方法求出f(x)的最大值和最小值即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)=;‎ ‎(Ⅱ)f(x)=2(2cos2x﹣1)+(1﹣cos2x)﹣4cosx ‎=3cos2x﹣4cosx﹣1‎ ‎=,‎ 因为cosx∈[﹣1,1],‎ 所以当cosx=﹣1时,f(x)取最大值6;当时,取最小值﹣.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)(2010•北京)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设AC与BD交于点G,则在平面BDE中,可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF,就可证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)先以C为原点,建立空间直角坐标系C﹣xyz.把对应各点坐标求出来,可以推出•=0和•=0,就可以得到CF⊥平面BDE ‎(Ⅲ)先利用(Ⅱ)找到=(,,1),是平面BDE的一个法向量,再利用平面ABE的法向量•=0和•=0,求出平面ABE的法向量,就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小.‎ ‎【解答】解:证明:(I)设AC与BD交于点G,‎ 因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.‎ 因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,‎ 所以AF∥平面BDE.‎ ‎(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,‎ 所以CE⊥平面ABCD.‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C﹣xyz.‎ 则C(0,0,0),A(,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,,1).‎ 所以=(,,1),=(0,﹣,1),=(﹣,0,1).‎ 所以•=0﹣1+1=0,•=﹣1+0+1=0.‎ 所以CF⊥BE,CF⊥DE,所以CF⊥平面BDE ‎(III)由(II)知,=(,,1),是平面BDE的一个法向量,‎ 设平面ABE的法向量=(x,y,z),则•=0,•=0.‎ 即 所以x=0,且z=y.令y=1,则z=.所以n=(),从而cos(,)=‎ 因为二面角A﹣BE﹣D为锐角,所以二面角A﹣BE﹣D为.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2010•北京)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p a d ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;‎ ‎(Ⅱ)求数学期望Eξ.‎ ‎【分析】(I)由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“ξ=0”是对立的,要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率,需要先知道该生没有一门课程优秀,根据对立事件的概率求出结果.‎ ‎(II)由题意可知,需要先求出分布列中的概率a和b的值,根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率,得到这两个值,求出概率之后,问题就变为求期望.‎ ‎【解答】解:事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”,i=1,2,3.‎ 由题意可知 ‎(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的,‎ ‎∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是 ‎1﹣P(ξ=0)=1﹣‎ ‎(II)由题意可知,‎ P(ξ=0)=,‎ P(ξ=3)=‎ 整理得p=.‎ ‎∵a=P(ξ=1)=‎ ‎=‎ ‎=‎ d=P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)=‎ ‎∴Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2010•北京)已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x+x2(k≥0).‎ ‎(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间.‎ ‎【分析】(I)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,然后求出切点坐标,再用点斜式写出直线方程,最后化简成一般式即可;‎ ‎(II)先求出导函数f'(x),讨论k=0,0<k<1,k=1,k>1四种情形,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可.‎ ‎【解答】解:(I)当K=2时,‎ 由于所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ‎.即3x﹣2y+2ln2﹣3=0‎ ‎(II)f'(x)=﹣1+kx(x>﹣1)‎ 当k=0时,‎ 因此在区间(﹣1,0)上,f'(x)>0;在区间(0,+∞)上,f'(x)<0;‎ 所以f(x)的单调递增区间为(﹣1,0),单调递减区间为(0,+∞);‎ 当0<k<1时,,得;‎ 因此,在区间(﹣1,0)和上,f'(x)>0;在区间上,f'(x)<0;‎ 即函数f(x)的单调递增区间为(﹣1,0)和,单调递减区间为(0,);‎ 当k=1时,.f(x)的递增区间为(﹣1,+∞)‎ 当k>1时,由,得;‎ 因此,在区间和(0,+∞)上,f'(x)>0,在区间上,f'(x)<0;‎ 即函数f(x)的单调递增区间为和(0,+∞),单调递减区间为.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2010•北京)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(﹣1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于﹣.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),先分别求出直线AP与BP的斜率,再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得:.根据角相等消去三角函数得比例式,最后得到关于点P的纵坐标的方程,解之即得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为点B与A(﹣1,1)关于原点O对称,所以点B得坐标为(1,﹣1).‎ 设点P的坐标为(x,y)‎ 化简得x2+3y2=4(x≠±1).‎ 故动点P轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1)‎ ‎(Ⅱ)解:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0)‎ 则.‎ 因为sin∠APB=sin∠MPN,‎ 所以 所以=‎ 即(3﹣x0)2=|x02﹣1|,解得 因为x02+3y02=4,所以 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为().‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2010•北京)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn ‎,定义A与B的差为A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…|an﹣bn|);‎ A与B之间的距离为 ‎(Ⅰ)证明:∀A,B,C∈Sn,有A﹣B∈Sn,且d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B);‎ ‎(Ⅱ)证明:∀A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ)设P⊆Sn,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为.‎ 证明:≤.‎ ‎【分析】(Ⅰ)因为每个数位上都是0或者1,取差的绝对值仍然是0或者1,符合Sn的要求.‎ 然后是减去C的数位,不管减去的是0还是1,每一个a和每一个b都是同时减去的,‎ 因此不影响他们原先的差.‎ ‎(Ⅱ)先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个),然后比较A和C有几个不同,‎ 这两者重复的(就是某一位上A和B不同,A和C不同,那么这一位上B和C就相同)去掉两次 ‎(因为在前两次比较中各计算了一次),剩下的就是B和C的不同数目,‎ 很容易得到这样的关系式:h=k+l﹣2i,从而三者不可能同为奇数.‎ ‎(Ⅲ)首先理解P中会出现Cm2个距离,所以平均距离就是距离总和再除以Cm2,‎ 而距离的总和仍然可以分解到每个数位上,第一位一共产生了多少个不同,‎ 第二位一共产生了多少个不同,如此下去,直到第n位.然后思考,‎ 第一位一共m个数,只有0和1会产生一个单位距离,因此只要分开0和1的数目即可,‎ 等算出来,一切就水到渠成了.‎ 此外,这个问题需要注意一下数学语言的书写规范.‎ ‎【解答】解:(1)设A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1‎ ‎,c2,…,cn)∈Sn 因ai,bi∈0,1,故|ai﹣bi|∈0,1,(i=1,2,…,n)a1b1∈0,1,‎ 即A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…,|an﹣bn|)∈Sn 又ai,bi,ci∈(0,1),i=1,2,…,n 当ci=0时,有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi|;‎ 当ci=1时,有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|(1﹣ai)﹣(1﹣bi)=|ai﹣bi|‎ 故 ‎(2)设A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn)∈Sn 记d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h 记O=(0,0,…,0)∈Sn,由第一问可知:‎ d(A,B)=d(A﹣A,B﹣A),d=(O,B﹣A)=k d(A,C)=d(A﹣A,C﹣A)=d(O,C﹣A)=l d(B,C)=d(B﹣A,C﹣A)=h 即|bi﹣ai|中1的个数为k,|ci﹣ai|中1的个数为l,(i=1,2,…,n)‎ 设t是使|bi﹣ai|=|ci﹣ai|=1成立的i的个数,则有h=k+l﹣2t,‎ 由此可知,k,l,h不可能全为奇数,即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.‎ ‎(3)显然P中会产生Cm2个距离,也就是说,其中表示P中每两个元素距离的总和.‎ 分别考察第i个位置,不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1,那么自然有m﹣ti个0,因此在这个位置上所产生的距离总和为,(i=1,2,…,n),‎ 那么n个位置的总和 即 ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:zhiyuan;zhwsd;qiss;涨停;yhx01248;xuanlv;wsj1012;geyanli;sllwyn;庞会丽;minqi5;Linaliu(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2017年2月3日
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