辅助角公式在高考三角题中的应用

辅助角公式在高考三角题中的应用

辅助角公式在解题中的妙用 在近来的学习中，多次出现了通过对asinx+bcosx型式子的化简来求三角函数的有关性质的题目!此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式，把式子变为两角和与差的正弦、余弦公式的形式再求解，但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形，而且此类做法耗费的时间也较多，如果我们能在平时的练习中总结出asinx+bcosx公式，则可省略对中间步骤的运算，直接得出结果，这对快速准确地解题是大有好处的！‎ 公式的推导 对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：‎ y=asinx=bcosx ‎。‎ 由于上式中的与的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则 由此我们得到结论：‎ asinx+bcosx=，其中θ由来确定。‎ 通常称式子asinx+bcosx=为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。‎ 一. 求周期 例1求函数的最小正周期。‎ 解：‎ 所以函数y的最小正周期T=π。‎ 评注：将三角式化为y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途径。‎ 二. 求最值 例2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求f(x)的最大值和最小值。‎ 解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。‎ 由。‎ 当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。‎ 从而f(x)在上的最大值是1，最小值是。‎ 三. 求值域 例4. 求函数的值域。‎ 解：‎ 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。‎ 四. 图象对称问题 例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( )‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）-1‎ 解：可化为知时，y取得最值，即 五. 图象变换 例7已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？‎ 解：‎ ‎（1）向左平移，得到y=sin(x+)的图象；‎ ‎（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=的图象；‎ ‎（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x+)的图象；‎ ‎（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图象。‎ 综上，依次经过四步变换，可得y=的图象。‎ 六.求值 例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设α∈（0，π），f()=，求sinα的值。‎ 解：f(x)==sin。‎ 由f()=sin()，得sin()=。又α∈（0，π）。‎ 而sin，故α+，则cos(α+)=。‎ sinα=sin[]=sin==。‎ 评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α+）-，并且判断出α+的范围，进而求出cos(α+)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。‎ 七. 求系数 例9.若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值。‎ 解：f(x)===，‎ 其中角由sin=来确定。‎ 由已知有，解得a=。‎ 八. 解三角不等式 例10.已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x，求使f(x)为正值的x的集合。‎ 解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+。‎ 由f(x)＞0，有sin2x-则得2kπ-，故kπ＜x＜kπ+。‎ 再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是。‎ 通过对以上几例的观察!公式所起到的作用是化多个三角函数为一个三角函数!化异名三角函数为同名三角函数"这实际上也是我们三角化简中一种重要的思想"进一步我们可以得知!在三角函数式中出现asinx+bcosx型式子时!可以利用公式迅速化简!使解题有事半功倍的效果！‎