高考数学试题分类汇编之三

高考数学试题分类汇编之三

高考数学试题分类汇编之三 ‎——三角函数 ‎（2010上海文数）19.（本题满分12分）‎ 已知，化简：‎ ‎.‎ 解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．‎ ‎（2010湖南文数）16. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（I）求函数的最小正周期。‎ ‎(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。‎ ‎（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎ (I)求sinC的值；‎ ‎(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。‎ ‎（Ⅰ）解：因为cos‎2C=1-2sin‎2C=，及0＜C＜π 所以sinC=.‎ ‎（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4‎ 由cos‎2C=2cos‎2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=±‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0‎ 解得 b=或2‎ 所以 b= b=‎ ‎ c=4 或 c=4‎ ‎（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.‎ ‎【参考答案】‎ 由cos∠ADC=＞0，知B＜.‎ 由已知得cosB=，sin∠ADC=.‎ 从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.‎ 由正弦定理得 ，所以=.‎ ‎【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.‎ ‎（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，‎ ‎ AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.‎ ‎ 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,‎ ‎ 由余弦定理得 cos=,‎ ‎ ADC=120°, ADB=60°‎ ‎ 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，‎ ‎ 由正弦定理得,‎ ‎ AB=.‎ ‎（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）‎ 在中，分别为内角的对边，‎ 且 ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断的形状.‎ 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 ‎ 即 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 又，得 ‎ 因为，‎ ‎ 故 ‎ 所以是等腰的钝角三角形。‎ ‎（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 ‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ，A=120° ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 ‎（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求。‎ ‎【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。‎ 由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。‎ ‎（2010江西理数）17.（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；‎ ‎(2) 当时，，求m的值。‎ ‎【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.‎ 解：（1）当m=0时， ‎ ‎，由已知，得 从而得：的值域为 ‎（2）‎ 化简得：‎ 当，得：，，‎ 代入上式，m=-2.‎ ‎（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）‎ ‎ 的面积是30，内角所对边长分别为，。‎ ‎ (Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若，求的值。‎ ‎【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.‎ ‎【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.‎ 解：由，得.‎ 又，∴.‎ ‎（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴.‎ ‎【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.‎ ‎（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)‎ 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .‎ ‎(Ⅰ) 求sinA的值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值。‎ ‎（2010重庆理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）[来源:学科网]‎ 设函数。‎ （I） 求的值域；‎ （II） 记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。‎ ‎（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（）的最小正周期为，‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.‎ ‎（2010北京文数）（15）（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值 解：（Ⅰ）=‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。‎ ‎（2010北京理数）（15）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ 解：（I）‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 ‎（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.‎ 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。‎ 解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))‎ 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2‎ 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ‎②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]‎ ‎ ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)‎ ‎ ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 ‎(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝‎ ‎＝bccosA＝3＞0 ‎ ‎∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴sinA＝,cosA＝‎ 由题意，cosB＝,得sinB＝‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ ‎ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 ‎（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）‎ 在ABC中，。‎ ‎（Ⅰ）证明B=C：‎ ‎（Ⅱ）若=-，求sin的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.‎ ‎ 所以B=C.‎ ‎ （Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.‎ 又0<2B<,于是sin2B==.‎ ‎ 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.‎ ‎ 所以 ‎（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎（1）解：由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 ‎（2010广东理数）16、（本小题满分14分）‎ 已知函数在时取得最大值4．‎ ‎(1) 求的最小正周期；‎ ‎(2) 求的解析式；‎ ‎(3) 若(α +)=,求sinα．‎ ‎，，，，‎ ‎（2010广东文数）‎ ‎（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分)‎ ‎ 已知的内角，及其对边，满足，求内角．‎ ‎（2010四川文数）（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知，求 ‎（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）‎ 已经函数 ‎(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。‎ ‎（2010山东理数）‎ ‎（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（II）求函数的零点的集合。‎ ‎（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。‎ ‎（2010福建理数）19．（本小题满分13分）‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）‎ ‎ 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ‎。‎ ‎ (Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求（其中）。‎ ‎（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎