高考数学中的数列经典题与易错题(部分含答案)

高考数学中的数列经典题与易错题(部分含答案)

高考数学中的数列经典题与易错题 ‎1.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 分析：，分离常数。答案：D ‎2．设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前n项和，且，则= ．‎ 分析：等比数列取对数变为等差数列。答案：‎ ‎3.已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 .‎ 分析：所有大于零的项的和最大。答案：10‎ ‎4．如果等比数列的首项，公比，前n项和为，那么与的大小为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析：，所以为递增数列。答案：C ‎5.对于数列，“（n=1,2,3,…）成等差数列”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件B充分不必要条件[C．充要条件D．既不充分也不必要条件 答案：C 变式训练：‎ ‎（1）成等差数列是数列为等比数列的 条件 ‎（2）成等比数列是数列为等比数列的 条件 ‎（3）是数列为等比数列的 条件 ‎（4）是数列为等比数列的 条件 ‎（5）是数列为等比数列的 条件 ‎6．已知数列满足，且，则数列的通项公式是 ．‎ 分析：一题多解：法1：因为，，两式相减可得：‎ 法2：，法3：，法4：归纳猜想。‎ 7、 ‎（2012年青岛一模）等差数列的公差大于零,且、是方程的两个根；各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ 分析：分段函数求和，（1），（2）‎ ‎8、设是数列的前项和，，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列前n项和。‎ 分析： ，注意求有两种方法。‎ ‎9、已知a为实数，数列满足，当 时，．‎ ‎（1）当 时，填写下列表格；‎ n ‎2‎ ‎3‎ ‎51‎ ‎200‎ an ‎（2）当 时，求数列的前200项的和；‎ ‎（3）令，，求证：当时，有．‎ 答案：（1）196,192,1,4（2）5475（3）n为偶数时，‎ n为奇数时，‎ ‎10、（2011年山东试题）若数列的通项公式为：，数列满足：，求数列的前n项和Sn.‎ 答案：其实本题亦可以不讨论，可以使用错位相减法求和。‎ ‎11、已知数列是递增数列，且满足 ‎（Ⅰ）若是等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对于（Ⅰ）中，令 ，求数列的前项和．‎ 分析：不要有思维定势。本题不用分分类讨论。‎ 答案：‎ ‎12、数列的前n项和为，，‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前n项和 ‎（1）（2）‎ 分析：意识决定高度，细节决定成败。注意n=1的验证。‎ 变式训练：已知数列中，(n∈N*)．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和。‎ ‎（1）（2）‎ ‎13、已知正项数列的前项和为，且满足 ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，则是否存在数列，满足 对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ 答案：存在 ‎14、已知两个等比数列，，满足，，，.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.‎ 答案：（1）或 （2）‎ ‎15、已知函数数列 ‎ （I）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ （II）记 答案：（1） （2）‎ ‎16、【2009年58中高考复习用题】（引自2007年重庆高考试题）证明：‎ 变式练习：（2009年山东高考试题）证明不等式：‎ 相似度：90% 方法完全相同 ‎17、已知：‎ ‎（1）证明：对一切成立，‎ ‎（2）证明：‎ ‎（3）证明：‎ ‎18、证明对任意的正整数,不等式都成立.‎ ‎19、已知数列的首项前项和为，且 ‎（I）证明数列是等比数列；‎ ‎（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小 ‎20、等差数列中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）B ‎ A． B． C． D．‎ ‎21、某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） ‎ ‎22、已知数列，求的前n项和为 ‎23、已知数列，求的前n项和为 ‎24、汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.‎ ‎①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面.‎ 如图所示，将A杆上所有碟片移到C杆上，B杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次，记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次. ‎ ‎（Ⅰ）写出a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 由①②可知数列{an}的通项公式是.…………………………8分 ‎（也可由递推式构造等比数列求解）‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，，所以 ‎ ‎ 开始 S=0,T=0, i=1‎ ‎ =k?‎ 输入a1 ,d, k T=T+ ai×2 i ‎ ai+1= ai+d i=i+1‎ 输出S，T 结束 是 否 ‎25、如图所示，程序框图给出了无穷正项数列 满足的条件，且当k=5时，输出的S 是；当k=10时，输出的S是.‎ ‎ （1）试求数列的通项公式；‎ ‎ （2）试求当k=10时，输出的T的值.‎ ‎（写出必要的解题步骤）‎ 解：（1）观察框图可知，数列为等差数列，设其公差为d，‎ 又可知， （1分）‎ 由 得 ‎ （3分）‎ 由题意可知,k=5时，S=‎ ‎ （5分）‎ 解得 （6分）‎ ‎ （7分）‎ ‎（2）由框图和（1）可得 当 ‎ （9分）‎ 两式相减可得 ‎ （11分）‎ ‎ （12分）‎