2015高考数学人教A版本（平面解析几何）一轮过关测试题
阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2014·山东省博兴二中质检)“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若两直线垂直，则3m＋m(2m－1)＝0，∴m＝0或－1，故选A.
2．(文)(2014·三峡名校联盟联考)直线x－y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
[答案] B
[解析] 圆心C(1,0)到直线的距离d＝＝，∴选B.
(理)(2014·天津市六校联考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由条件知，≤，∴－3≤a≤1，故选C.
3．(2014·韶关市曲江一中月考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝.
4．(2014·山西曲沃中学期中)对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2
＝1的曲线是椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B.
5．(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内一条弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
[答案] C
[解析] 圆心C(1,0)，由条件知PC⊥AB，∴kAB＝－＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.
(理)(2014·银川九中一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
[答案] B
[解析] 设圆心C(x0，－x0)，则
＝，
∴x0＝1，∴圆心C(1，－1)，半径r＝，
方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( )
A.＋＝1或＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
[答案] C
[解析] 由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.
7．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
8．(文)(2014·河南淇县一中模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
[答案] B
[解析] 由条件知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
由条件知，(2c)2＝(a－c)·(a＋c)，∴a2＝5c2，∴e＝.
(理)(2014·抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝x2＋x2－2x2·(－)＝x2，∴|AC|＝x，
由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，
∴x＋x＝2a，x＝2c，∴c＝＝＝＝.
9．(2014·威海期中)已知变量x，y满足约束条件则z＝的最大值为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，z＝表示平面区域内的点P(x，y)与原点连线的斜率，∴kOA≤≤kOB，
∵kOA＝＝－，kOB＝，故－≤≤，选B.
10．(文)(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C．2 D．2
[答案] B
[解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，
又＝，结合a2－b2＝c2，得e＝，故选B.
(理)(2014·浙北名校联盟联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，若·＝2b2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知，双曲线两渐近线方程为y＝±x，设P(x0，y0)，则－＝1，∴x－＝a2，
由y＝y0与y＝±x得M(－，y0)，N(，y0)，
∵·＝(－－x0,0)·(－x0,0)＝x－＝a2＝2b2，
又b2＝c2－a2，∴3a2＝2c2，∴e＝＝.
11．(2014·山西曲沃中学期中)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
[答案] A
[解析] ⊙C1的圆心C1(2,3)，半径r＝1，⊙C2的圆心C2(3,4)，半径R＝3，
设E为x轴上任一点，EC1交⊙C1于A，EC2交⊙C2于B，则|EA|＋|EB|＝|EC1|＋|EC2|－4为E到⊙C1与⊙C2上的点的距离之和的最小值，而|EC1|＋|EC2|的最小值为|C1′C2|(其中C1′为C1关于x轴的对称点)，∴当P为直线C1′C2：7x－y－17＝0与x轴的交点(，0)时，|PM|＋|PN|取到最小值，|PC1|＋|PC2|－4＝＋－4＝＋－4＝5－4，故选A.
12．(2014·海南省文昌市检测)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
[答案] C
[解析] 由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x2＋ky2＝3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2
＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．
[答案]
[解析] 抛物线的焦点为F(3,0)，椭圆的方程为：＋＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴离心率e＝＝.
14．(2014·浙北名校联盟联考)已知直线l与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内相切于点C，并且分别与x，y轴相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．
[答案] 2
[解析] 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
l：＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
∵l与⊙O相切，∴＝1，∴a2＋b2＝a2b2，
∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)2≥4a2b2＝4(a2＋b2)，
∴a2＋b2≥4，∴≥2，即|AB|的最小值为2.
15．(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，
∴解得a＝5，b＝4，
∴双曲线方程为－＝1，∴c＝＝，
∴双曲线－＝1的离心率e＝＝.
(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] (1,1＋)
[解析] ∵双曲线关于x轴对称，∴A、B两点关于x轴对称，∴|F2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF2F1<45°⇔|AF1|<|F1F2|，
∵F1(－c,0)，∴A(－c，)，即|AF1|＝，
又|F1F2|＝2c，
∴<2c，∴c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，
∴1－
1，∴12，解得m>1.
综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；
当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；
当m>1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．
18．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省博兴二中质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解析] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2
，0)．
故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为3.
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
(理)(2014·北京西城区期末)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．
(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；
(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．
[解析] (1)抛物线y＝x2的焦点为(0，)．
由题意得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，
令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)．
因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，
所以1－k>，解得k<.
(2)由题意，设B(x1，x)，C(x2，x)，D(x3，y3)，
联立方程消去y得x2－kx＋k－1＝0，由韦达定理得1＋x1＝k，所以x1＝k－1.
同理，得AC的方程为y－1＝－(x－1)，x2＝－－1.
对函数y＝x2求导，得y′＝2x，
所以抛物线y＝x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.
同理，抛物线y＝x2在点C处的切线CD的方程为y＝2x2x－x.
联立两条切线的方程解得x3＝＝(k－－2)，y3＝x1x2＝－k，
所以点D的坐标为((k－－2)，－k)．
因此点D在定直线2x＋y＋2＝0上．
因为点O到直线2x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以|OD|≥，当且仅当点D(－，－)时等号成立．由y3＝－k＝－，得k＝，验证知符合题意．所以当k＝时，|OD|有最小值.
19．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．
(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．
[解析] (1)设椭圆方程为＋＝1，(a>0，b>0)，
∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1，则由消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
由＝2得x1＝－2x2，
∴消去x2得()2＝，
解得k2＝，∴k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
20．(本小题满分12分)(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点P(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵c＝1，＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合条件的点M(x0，y0)，
设直线l的方程为x＝my－1，
由消去x得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
由条件知Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∴AB的中点为(－，)，
∵四边形AMBF2为平行四边形，
∴AB的中点与MF2的中点重合，
即∴M(－，)，
把点M的坐标代入椭圆C的方程得：27m4－24m2－80＝0，解得m2＝，
∴存在符合条件的直线l，其方程为：y＝±(x＋1)．
(理)(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2，
∵直线x－y＋＝0与圆相切，∴d＝＝b，即b＝1，
又e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a＝，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵直线l过点F(1,0)，且斜率为k＝－，
∴l的方程为y＝－(x－1)．
联立方程组消去y得2x2－2x－1＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，可得
于是
又＋＋＝0，得＝(－x1－x2，－y1－y2)，
即H(－1，－)，
而点G与点H关于原点对称，于是可得点G(1，)．
∴kGH＝.
若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y－＝(x－)，l2：y＝－x.
联立方程组解得l1和l2的交点为O1(，－)．
因此，可求得|O1H|＝＝，
|O1M|＝＝.
所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O1(，－)，半径为.
21．(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与(，)两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．
[解析] (1)将(1,1)与(，)两点坐标代入椭圆C的方程得，解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由|MA|＝|MB|知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2.
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时
＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2.
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，
则直线OM的方程为y＝－x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由解得x＝，y＝，
∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理|OM|2＝，
所以＋＋＝2×＋＝2，故＋＋＝2为定值．
(理)(2014·浙江台州中学期中)已知焦点在y轴上的椭圆C1：＋＝1经过点A(1,0)，且离心率为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．
[解析] (1)由题意可得解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C1的方程为x2＋＝1.
(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x知，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t，所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h，代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0，
又MN与椭圆C1有两个交点，
∴Δ＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点G的横坐标为x0，则
x0＝＝，
设线段PA的中点H横坐标为x3＝，
∵GH与y轴平行，∴x0＝x3，即＝，②
显然t≠0，∴h＝－(t＋＋1)，③
当t>0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；
当t<0时，(－t)＋(－)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．
综上，h的最小值为1.
22．(本小题满分14分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b
>0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] (1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，
∴O到l的距离为＝，
由已知得，＝，∴c＝1.
由e＝＝，得a＝，∴b＝＝.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)，
由(1)，知C的方程为＋＝1.
由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1.
由消去x并化简整理得，(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0.
由韦达定理，得y1＋y2＝－，
∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2
＝－＋2＝，
∴P(，－)．
∵点P在C上，∴＋＝1，
化简整理得，4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝.
当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；
当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0.
故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0.
(理)(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
[解析] (1)由条件知e＝＝，b＝，
∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由消去y得：(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0得：k2<，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝k(x1－4)k(x2－4)＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)·－4k2·＋16k2＝25－，
∵0≤k2<，∴－≤－<－，
∴－4≤·<，∴·的取值范围是[－4，)．
