高考理科数学全国卷1试题与答案word版

高考理科数学全国卷1试题与答案word版

‎2017年高考理科数学（全国卷1）试题及答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内 随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则； ：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则； ：若复数，则.‎ 其中的真命题为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎ ‎ ‎5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎6．展开式中的系数为（ ）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和 等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三 角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为（ ）‎ A．10 B．12 ‎ C．14 D．16‎ ‎8．右面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么 在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A．A>1 000和n=n+1‎ B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1‎ D．A1 000和n=n+2‎ ‎ ‎ ‎9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，‎ 则下面结论正确的是（ ）‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，‎ 再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎ ‎ ‎11．设x、y、z为正数，且，则（ ）‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= ___ .‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则的最小值为 ____ .‎ ‎15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点. 若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O. D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重 合，得到三棱锥. 当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积 ‎（单位：cm3）的最大值为_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 . ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，‎ 求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎20.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），‎ P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，‎ 证明：l过定点.‎ ‎21.（12分）已知函数f(x)＝ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）＝－x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ 答案及解析 一、选择题：ABBCD CBDDA DA 二、填空题： 13. 14. 15. 16. ‎ ‎17、 【解析】‎ ‎（1）S△ABC＝absin C＝，得 bsin C＝ ‎ 由正弦定理，得 sin B·sin C＝， 解得sin B·sin C＝.‎ ‎（2）由题知cos(B＋C)＝cos B·cos C－sin B·sin C＝－＝－，即cos A＝，A＝. ‎ 由正弦定理， , ‎ 则有 由余弦定理，得 ，解得 ‎∴△ABC的周长为 ‎18、【解析】‎ ‎（1）由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. ∵AB//CD，∴AB⊥PD，‎ ‎ 又AP∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD， ∴平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）记AD的中点为O，连接PO，则有PO⊥AD，‎ ‎∵AB⊥平面PAD， ∴OP⊥AB，‎ 又AD∩AB＝A，∴OP⊥平面ABCD.‎ 以O为原点，分别以、、方向为x轴、y轴、‎ z轴建立如右图所示的空间直角坐标系. 不妨假设OA＝1，‎ 于是有A(1，0，0)，B(1，，0)，C(－1，，0)，‎ D(－1，0，0)，P(0，0，1).‎ ‎ ∴，，‎ ‎ 设是平面PAB的一个法向量 ‎ ∴， 得，令x＝1，得 ‎ 同理可求得是平面PBC的一个法向量.‎ ‎ ∴‎ 由于二面角A-PB-C是钝二面角，则二面角A-PB-C的余弦值为.‎ ‎19、【解析】‎ ‎（1）由题意知，X~B(16，0.0026)，‎ ‎ ∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416＝1－0.9592＝0.0408，‎ ‎ X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.‎ ‎（2）（i）由（1）知，出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率在一次试验中发生了，有理由相信出现异常情况.‎ ‎（ii），，剔除9.22，‎ 剔除后，，，‎ ‎.‎ ‎20、【解析】‎ ‎（1）由椭圆的对称性可知，P2，P3，P4在椭圆C上.‎ 把P2(0，1)代入C，得，即b2＝1，把P4(1，)代入C，得，即a2＝4.‎ ‎∴ 椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝kx＋n（n≠1），A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 联立， 得 由韦达定理，得，‎ ‎，即 ‎ ，即 ‎ 由于n≠1，n－1≠0，得，解得 ‎ ∴直线l的方程为，即，∴l过定点(2，－1).‎ ‎21、【解析】‎ （1） 由题知，f(x)的定义域为R，‎ ‎，其中恒成立.‎ 若a≤0，则恒成立，，则f(x)在R上单调减；‎ 若a＞0，令，解得；令，解得.‎ 即当时，；当时，.‎ ‎∴ f(x)在上单调减，在上单调增.‎ ‎（2）若a≤0，f(x)在R上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；‎ 若a＞0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞；x→－∞时，f(x)→＋∞.‎ 要使f(x)有两个零点，只要即可 只要即可，即 令，则在(0，＋∞)上单调减 又，∴当，即0＜a＜1时，，.‎ 即f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0，1).‎ ‎22、【解析】‎ ‎（1）消去参数θ，得曲线C的普通方程为.‎ ‎ 当a＝－1时，消去参数t，得直线l的普通方程为.‎ ‎ 联立，解得，‎ ‎ ∴C与l的交点坐标为(3，0)和. ‎ ‎（2）设曲线C上任意一点P，‎ 消去参数t，得直线l的普通方程为. ‎ ‎∴点P到直线l的距离 由题知，，即 当a＋4＞0时，则有，解得；‎ 当a＋4≤0时，则有，解得；综上，a的值为8或－16.‎ ‎23、【解析】‎ ‎（1）当a＝1时，，又，‎ ‎ 当x＜－1时，，解得，舍去 ‎ 当－1≤x≤1时，，解得，即 ‎ 当x≥1时，，解得，即，‎ ‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）当－1≤x≤1时，. 要使不等式的解集包含[–1，1]，‎ ‎ 只要在[–1，1]上恒成立，只要在[–1，1]上恒成立 ‎ 法一：数形结合法 ‎ 只要在[–1，1]上恒成立，令 ‎ 只要，即，解得，即a的取值范围为.‎ 法二：参数分离法 ‎ 只要 ①在[–1，1]上恒成立，令 ‎ 当x＝0时，不等式①显然恒成立；‎ ‎ 当0＜x≤1时，只要在(0，1]上恒成立，由于在(0，1]上单调增 ‎ ∴，.‎ 当－1≤x＜0时，只要在[－1，0)上恒成立，由于在[－1，0)上单调增 ‎ ∴，. 综上所述，a的取值范围为.‎