高考数学解题方法攻略概率与统计2理

高考数学解题方法攻略概率与统计2理

概率与统计 一．专题综述 在中学数学里，排列、组合、二项式定理、概率统计相对比较独立，他们与实际生活联系较紧，解决本部分的问题也有比较独特的思维方式，高考对本部分考察的命题往往具有一定得灵气。‎ ‎1.考纲要求 ‎（1）掌握解决排列组合应用题的基本方法，会利用二项式定理解决问题；‎ ‎（2）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；‎ ‎（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；‎ ‎（4）了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；‎ ‎（5）会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率；‎ ‎（6）掌握离散型随机变量的期望与方差，三种抽样方法，样本频率直方图及条形图，正态分布；‎ ‎（7）了解回归分析的原理及线性回归分析。‎ ‎2.考题设置与分值 从试题题型来看，（1）排列组合应用题与概率结合每年1道客观题；（2）二项式定理每年1道客观题，主要考查二项式定理的通项应用或系数性质求系数和，（3）概率与统计以应用题为背景命题，有选择题，也有填空题，但更多是解答题，基本上是1小1大题，解答题将等可能事件的概率与独立事件或互斥事件问题综合在一起命题，或将概率与离散型随机变量分布列综合求数学期望与方差。‎ 对本部分考察总分值约25分 ‎3.考试重点与难度：‎ 本专题内容从历年高考试题来看，考纲规定的考点都有考查。‎ 概率应用问题仍是高考考查学生实践能力的热点问题.问题背景多联系生活实际，有时大胆创新、构思新颖，综合考查多种分支知识及多种思想方法，在知识网络的交汇处设计试题. 一般通过模球类的问题、元素分配类问题、计数类问题等，来考查学生利用排列组合知识求等可能性事件的概率，以及考查互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率问题的掌握和应用.‎ 总起来将，高考对本部分内容的考察无论是客观题还是主观题都属于中档题。 ‎ 二．考点选讲 ‎【考点1】排列、组合的应用题 排列、组合的应用题是每年高考的必考点，几种典型的分析思路和典型的模型是我们要掌握的重点。‎ ‎【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内 ‎（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？‎ ‎（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？‎ ‎ （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？‎ ‎【练习1】设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）种 A．50 B．‎49 C．48 D．47‎ ‎【练习2】已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{4，5，6，7，8}，映射f:A→B满足f(1)＜f(2)＜f(3)，则这样的映射f共有( ) A、35个 B、15个 ‎ ‎ C、53个 D、10个 ‎【考点2】二项式定理 对二项式定理的考查主要是两个方面：（1）展式的通项公式的应用（求指定项）；（2）用赋值法研究展式的系数。‎ ‎【例2】在的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当时，S等于( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【练习】展开式中的常数项是__________________；‎ ‎【考点3】概率的计算 ‎【例3】平面上有两个质点A，B，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位. 已知质点A向左，右移动的概率都是，向上，下移动的概率分别是和，质点B向四个方向移动的概率均为.(1)求和的值；(2)试判断至少需要几秒，A、B能同时到达D，并求出在最短时间同时到达的概率？ ‎ ‎【练习1】．从数字，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【练习2】．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次模取一个球，定义数列：，如果为数列的前n项之和，那么的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【练习3】．A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时，A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片. 如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止. 那么在7次内游戏终止的概率为 .‎ ‎【练习4】．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲方手中的概率为 .‎ ‎【练习5】．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形，使正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点4】概率与统计综合 从“统计”纳入高中教学内容后，“统计”中除“回归分析”这一考点外，几乎所有考点都在近几年的高考中出现过，除一个主观题外，有时还有客观题，一年一个花样。这一部分考题历年都考得不难，有的还是简单题，但由于本部分内容相对独立，学生平时用的少，老师教学花的时间也不多，所以考生失分比较严重，应引起重视，特别是“回归分析”。‎ ‎【例4】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．‎ ‎【练习】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：‎ ‎（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ 三．专题训练 概率与统计专题检测试题 一、 选择题 ‎1、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 ‎ 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎2、一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则 A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能 ‎3、某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ‎（A）7 （B）15 （C）25 （D）35‎ ‎4、一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ‎（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6‎ ‎5、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ‎（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种 ‎6、已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ）‎ A、0.1588 B、‎0.1587 C、0.1586 D0.1585‎ ‎7、为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）‎ A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 ‎8、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A B C D ‎ ‎9、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ‎（A） （A） （A） （A）‎ ‎10、（2010湖北理数）6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为 A．26, 16, 8, B．25，17，8 ‎ C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎11、已知随机变量服从正态分布，若，则 A、0.477 B、‎0.625 C、0.954 D、0.977‎ ‎12、样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为 ‎ A、 B、 C、 D、2‎ 二、填空题 ‎13、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为 （结果用最简分数表示）。‎ ‎14、某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ‎，则该队员每次罚球的命中率为____________.‎ ‎15、在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 ‎ ‎16、某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .‎ ‎17、加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .‎ ‎18、一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。‎ ‎19、某射手射击所得环数的分布列如下：‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎ x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知的期望E=8.9，则y的值为 .‎ ‎20、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎21、将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。‎ 三、解答题 ‎22、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。‎ （1） 求的分布列；‎ （2） 求的数学期望。‎ ‎23、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 概率与统计专题检测参考答案 一、选择题 ‎1、【答案】B ‎【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题 ‎【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则 P(A)=P(A1)+ P(A2)=‎ ‎2、【答案】B ‎【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。‎ 方法一：每箱的选中的概率为，总概率为；同理，‎ 方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。‎ ‎3、解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为 ‎4、解析：因为 ‎ 故各层中依次抽取的人数分别是，，，‎ 答案：D ‎5、【答案】B 解：分两类:第一类:甲排在第一位，共有种排法；第二类：甲排在第二位，共有种排法，所以共有编排方法24+18=42种。‎ ‎6、B．=0.3413，‎ ‎=0.5-0.3413=0.1587．‎ ‎7、C.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，‎ 共5×（120-1）=595s．‎ 总共就有600+595=1195s．‎ ‎8、答案：C 解：用间接法考虑，事件A，B都不发生的概率为，则所求概率为 ‎9、C ‎【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.‎ ‎【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.‎ ‎10、答案:B ‎ 解析:依题意可知,在随机抽样中首次抽到003号,以后每隔12个号码抽到一个人,则分别是003,015,027,039……构成以3为首项,12为公差的等差数列,故可分别求出在001到300中有25人,在301到495中有17人,则496到600中有8人.‎ ‎11、因为已知随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线x=0对称，又 ‎,所以。‎ 所以 故选C ‎12、由题意知解得,所以样本方差为 ‎, ‎ 故选D 二、填空题 ‎13、解析：考查等可能事件概率 ‎“抽出的2张均为红桃”的概率为 ‎14、解析：由得 ‎15、【答案】‎ ‎16、【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：户，所以所占比例的合理估计是.‎ ‎【方法总结】本题分层抽样问题，首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.‎ ‎17、解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 ‎18、【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；‎ 若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率 ‎19、【答案】0.4‎ ‎【解析】由表格可知：‎ 联合解得.‎ ‎20、【解析】由题意知，所求概率为。‎ ‎【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。‎ ‎21、【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是，‎ 故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。‎ ‎【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。‎ 三、解答题 ‎22、【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。‎ （1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6‎ ‎，，，‎ 分布列为：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（2）小时 ‎23、解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分