2010年江苏省高考数学试卷答案与解析

2010年江苏省高考数学试卷答案与解析

‎2010年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5分）（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　1　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．‎ ‎【解答】解：∵A∩B={3}‎ ‎∴3∈B，又∵a2+4≠3‎ ‎∴a+2=3 即 a=1‎ 故答案为1‎ ‎【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2010•江苏）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为　2　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接对复数方程两边求模，利用|2﹣3i|=|3+2i|，求出z的模．‎ ‎【解答】解：z（2﹣3i）=2（3+2i），‎ ‎|z||（2﹣3i）|=2|（3+2i）|，‎ ‎|2﹣3i|=|3+2i|，z的模为2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查复数运算、模的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．‎ ‎【解答】解：考查古典概型知识．‎ ‎∵总个数n=C42=6，‎ ‎∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3‎ ‎∴‎ 故填：．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；‎ ‎（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；‎ ‎（3）算出事件A的概率，即P（A）=．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2010•江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有　30　根在棉花纤维的长度小于20mm．‎ ‎【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．‎ ‎【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，‎ 则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．‎ 故填：30．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2010•江苏）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=　﹣1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可 ‎【解答】解：因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，‎ 所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数 由g（0）=0，得a=﹣1．‎ 故答案是﹣1‎ ‎【点评】考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是　4　．‎ ‎【考点】双曲线的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】d为点M到右准线x=1的距离，根据题意可求得d，进而先根据双曲线的第二定义可知=e，求得MF．答案可得．‎ ‎【解答】解：=e=2，‎ d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，‎ ‎∴MF=4．‎ 故答案为4‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的定义．属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2010•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是　63　．‎ ‎【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值，并输出．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值 ‎∵S=1+2+22+23+24=31＜33，不满足条件．‎ S=1+2+22+23+24+25=63≥33，满足条件 故输出的S值为：63．‎ 故答案为：63‎ ‎【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2010•江苏）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=　21　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】先求出函数y=x2在点（ak，ak2）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合a1的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5的值．‎ ‎【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：y﹣ak2=2ak（x﹣ak），‎ 当y=0时，解得，‎ 所以．‎ 故答案为：21．‎ ‎【点评】考查函数的切线方程、数列的通项．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是　（﹣13，13）　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可．‎ ‎【解答】解：圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，‎ c的取值范围是（﹣13，13）．‎ ‎【点评】考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于1，此时4个，等于3个，等于1，大于1是2个．）是有难度的基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　．‎ ‎【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为 故答案为．‎ ‎【点评】考查三角函数的图象、数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　（﹣1，﹣1）　．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．‎ ‎【解答】解：由题意，可得 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2010•江苏）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是　27　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，代入求解最大值即可得到答案．‎ ‎【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，‎ 则有：，，‎ 再根据 ，即当且仅当x=3，y=1取得等号，‎ 即有的最大值是27．‎ 故答案为：27．‎ ‎【点评】此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是　4　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的求值；解三角形．‎ ‎【分析】由+=6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+==，代入可求 ‎【解答】解：∵+=6cosC，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴‎ 则+==‎ ‎===‎ ‎==‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，‎ 方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；‎ 方法二：令3﹣x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．‎ ‎【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值．，‎ ‎=‎ ‎，‎ 当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；‎ 故当时，S的最小值是．‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值．‎ 令，‎ 则：‎ 故当时，S的最小值是．‎ ‎【点评】考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．‎ ‎　‎ 二、解答题（共9小题，满分110分）‎ ‎15．（14分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．‎ ‎（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）（方法一）由题设知，则．‎ 从而得：．‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：‎ 由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）‎ 从而得：BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．‎ 由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，‎ 从而得：．‎ 或者由，，得：‎ ‎【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．‎ 所以．‎ 故所求的两条对角线的长分别为、．‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．‎ 由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，‎ 从而5t=﹣11，所以．‎ 或者：，，‎ ‎【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2010•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．‎ ‎（1）求证：PC⊥BC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离；立体几何．‎ ‎【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；‎ ‎（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：‎ 方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；‎ 方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．‎ ‎【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．‎ 由∠BCD=90°，得CD⊥BC，‎ 又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD．‎ 因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．‎ 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．‎ 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．‎ 又PD=DC=1，所以．‎ 由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．‎ 由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．‎ ‎（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；‎ ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．‎ ‎（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．‎ AD﹣AB=DB，故得﹣=，‎ 得：H===124．‎ 因此，算出的电视塔的高度H是124m．‎ ‎（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，‎ tan（α﹣β）====‎ d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）‎ 故当d=55时，tan（α﹣β）最大．‎ 因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．‎ 故所求的d是55m．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．‎ ‎（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；‎ ‎（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；‎ ‎（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF2﹣PB2=4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程．‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM与直线BN的方程联立解出交点T的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点．‎ 方法二根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点．‎ ‎【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．‎ 由PF2﹣PB2=4，得（x﹣2）2+y2﹣[（x﹣3）2+y2]=4，化简得．‎ 故所求点P的轨迹为直线．‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及y1＞0，y2＜0，‎ 得M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB方程为：，即．‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为．‎ ‎（3）点T的坐标为（9，m）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB方程为：，即．‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠﹣3，x2≠3，‎ 解得：、．‎ ‎（方法一）当x1≠x2时，‎ 直线MN方程为：‎ 令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；‎ 当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．‎ ‎（方法二）若x1=x2，则由及m＞0，得，‎ 此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．‎ 若x1≠x2，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得kMD=kND，所以直线MN过D点．‎ 因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．‎ ‎【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力 ‎　‎ ‎19．（16分）（2010•江苏）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；‎ ‎（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为．‎ ‎【考点】等差数列的性质；归纳推理．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a1、d的方程，求出a1，进而推出sn，再利用an与sn的关系求出an．‎ ‎（2）利用（1）的结论，对Sm+Sn＞cSk进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：d＞0，=+（n﹣1）d=+（n﹣1）d，‎ ‎∵2a2=a1+a3，‎ ‎∴3a2=S3，即3（S2﹣S1）=S3，‎ ‎∴，‎ 化简，得：，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2d2﹣（n﹣1）2d2=（2n﹣1）d2，适合n=1情形．‎ 故所求an=（2n﹣1）d2‎ ‎（2）（方法一）Sm+Sn＞cSk⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞c•k2，恒成立．‎ 又m+n=3k且m≠n，，‎ 故，即c的最大值为．‎ ‎（方法二）由及，得d＞0，Sn=n2d2．‎ 于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有．‎ 所以c的最大值．‎ 另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且．‎ 于是，只要9k2+4＜2ak2，即当时，．‎ 所以满足条件的，从而．‎ 因此c的最大值为．‎ ‎【点评】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2010•江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．‎ ‎（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②求函数f（x）的单调区间．‎ ‎（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）①先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x2﹣bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可证明函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②根据第一问令φ（x）=x2﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．‎ ‎（2）先对函数g（x）求导，再m分m≤0，m≥1，0＜m＜1进行，同时运用函数的单调性即可得到．‎ ‎【解答】解：（1）①f′（x）=‎ ‎∵x＞1时，恒成立，‎ ‎∴函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0‎ 所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；‎ 当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，‎ 方程φ（x）=0的两根为：，而 当时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，‎ 故此时f（x）在区间上递减；‎ 同理得：f（x）在区间上递增．‎ 综上所述，当b≤2时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；‎ 当b＞2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为．‎ ‎（2）由题设知：g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），其中函数h（x）＞0对于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，‎ 当x＞1时，g′（x）=h（x）（x﹣1）2＞0，‎ 从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．‎ ‎①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得 α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），‎ 所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x1），g（x2）），‎ 从而有|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，符合题设；‎ ‎②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，‎ 于是由α＞1，β＞1及g（x）的单调性知g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），所以|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符．‎ ‎③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符 因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为（0，1）．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2010•江苏）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．‎ B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．‎ C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ D：设a、b是非负实数，求证：．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；基本不等式；直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解．‎ B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．‎ C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．‎ D、利用不等式的性质进行放缩证明，然后再进行讨论求证．‎ ‎【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．‎ ‎（方法二）证明：连接OD、BD．‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．‎ 因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC．‎ 故AB=2BC．‎ B满分（10分）．由题设得 由，可知A1（0，0）、B1（0，﹣2）、C1（k，﹣2）．‎ 计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．‎ 所以k的值为2或﹣2．‎ C解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，‎ 又圆与直线相切，所以，‎ 解得：a=2，或a=﹣8．‎ D（方法一）证明：‎ ‎=‎ ‎=‎ 因为实数a、b≥0，‎ 所以上式≥0．即有．‎ ‎（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 ‎=‎ ‎=‎ 当a≥b时，，从而，得；‎ 当a＜b时，，从而，得；‎ 所以．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．‎ ‎　‎ ‎22．（2010•江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．‎ ‎（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．‎ ‎（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件．‎ 由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，‎ 解得，‎ 又n∈N，得n=3，或n=4．‎ 所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192‎ 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2010•江苏）已知△ABC的三边长都是有理数．‎ ‎（1）求证cosA是有理数；‎ ‎（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；数学归纳法．菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2﹣a2是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，进而可知cosA是有理数．‎ ‎（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≥k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k﹣1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k﹣1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，，‎ ‎∵a，b，c是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，‎ ‎∴cosA是有理数．‎ ‎（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；‎ 当n=2时，∵cos2A=2cos2A﹣1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；‎ ‎②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k﹣1）A均是有理数．‎ 当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA﹣sinkAsinA，，，‎ 解得：cos（k+1）A=2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A ‎∵cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数，∴2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A是有理数，‎ ‎∴cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数．‎ 即当n=k+1时，结论成立．‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．‎ ‎【点评】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．‎