2014高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

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2014高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

高三数学一轮复习专讲专练——双曲线 一、要点精讲 ‎1、双曲线的定义与几何性质:‎ 定 义 ‎1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长(小于)的点的轨迹 ‎2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e(>1)的点的轨迹 标准方程 ‎=1‎ ‎=1‎ 图 形 性质 范围 或,‎ ‎,或 对称性 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点 渐近线 顶点 坐标 ‎,,‎ ‎,,‎ 焦点 ‎,‎ ‎,‎ 轴 实轴的长为 EMBED Equation.3 虚轴的长为 离心率 ‎,其中 准线 准线方程是 准线方程是 ‎2、双曲线的形状与的关系:因为双曲线的斜率,所以越大,则渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大,它的开口就越宽阔。‎ ‎3、共渐近线的双曲线系方程:与=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为 ‎,若,则双曲线的焦点在 轴上;若,则双曲线的焦点在 轴上。‎ 二、高考链接 ‎1、(2010安徽理)双曲线方程为,则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、‎ ‎2.(2013年湖北)已知,则双曲线:与:的 (  )‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎3.(2013课标)已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(2013湖南)设F1、F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,‎ 且∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为___________.‎ ‎5.(2010北京)已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。 ‎ ‎6.(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为______.‎ 解:由题意,双曲线的焦点在x轴上且m>0,所以e==,所以m=2.‎ 三、典例精讲 考点一:双曲线的定义 ‎1、(2011四川)双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是________.‎ 解:双曲线中,a=8,b=6,所以c=10,由于点P到右焦点的距离为4,4<a+c=18,所以点P在双曲线右支上.由定义知点P到左焦点的距离为2×8+4=20,设点P到双曲线左准线的距离为d,再根据双曲线第二定义,有==,故d=16.‎ ‎2、平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.‎ 解:双曲线的右焦点(4,0),点M (3,)或(3,-),则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.‎ ‎3.P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,‎ 则|PM|-|PN|的最大值为__________.‎ 解:已知两圆圆心(-4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2-=1的两焦点.‎ 当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和,同样|PN|最小=|PF2|-1,从而|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=‎2a+3=5.‎ ‎4.(09辽宁)以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则 的最小值为 。‎ 解:注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=‎2a=4‎ ‎ 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.‎ ‎5.(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=‎ A.     B.     C.     D. 解:依题意得a=b=,∴c=2. ∵|PF1|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|PF1|=‎2m.‎ 又|PF1|-|PF2|=2=m. ∴|PF1|=4,|PF2|=2.‎ 又|F‎1F2|=4,∴cos∠F1PF2==.故选C.‎ ‎6、中,A、B、C所对三边为,,求满足时,顶点A的轨迹,并画出图形。‎ 考点二:求解双曲线方程 ‎7、求适合下列条件的双曲线的标准方程 ‎⑴虚轴长为12,离心率为; ⑵顶点间距离为6,渐近线方程为 ‎⑶与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);‎ ‎⑷与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).‎ ‎8.双曲线S的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于. 求双曲线S的方程;‎ 解析:(1)根据已知设双曲线S的方程为-=1(a>0,b>0).‎ ‎∵e==,∴c=a,b2=c2-a2=. ∴双曲线S的方程可化为x2-2y2=a2,‎ ‎∵直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于,右焦点为,‎ ‎∴=,解方程得a=. ∴双曲线S的方程为x2-2y2=2.‎ 考点二:双曲线的几何性质 ‎9、设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  ).‎ A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1‎ 解: 由题意知椭圆C1的焦点坐标为:F1(-5,0),F2(5,0).设曲线C2上的一点P.则||PF1|-|PF2||=8.‎ 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线C2的标准方程为-=1.‎ ‎10、已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同.则双曲线的方程为________.‎ 解:∵双曲线的渐近线为y=x,∴=,① ∵双曲线的一个焦点与y2=16x的焦点相同.∴c=4. ②‎ ‎∴由①②可知a2=4,b2=12. ∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎11.(2012福建)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(  )‎ A. B.4 C.3 D.5‎ 解:y2=12x的焦点为(3,0),由题意得,4+b2=9,b2=5,‎ 双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y=x的距离d==.‎ ‎12.(08全国)设,则双曲线的离心率的取值范围是( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.(2012湖南)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1‎ 解:设焦距为‎2c,则得c=5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y=±x上,得a=2b.结合c=5,得4b2+b2=25,‎ 解得b2=5,a2=20,所以双曲线方程为-=1.‎ ‎14.(2012课标)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ 解:设等轴双曲线方程为x2-y2=a2,根据题意,得抛物线的准线方程为x=-4,代入双曲线的方程 得16-y2=a2,因为|AB|=4,所以16-(2)2=a2,即a2=4,所以‎2a=4,所以选C.‎ ‎15.(2011浙江)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(  )‎ A.a2= B.a2=13 C.b2= D.b2=2‎ 解:依题意a2-b2=5,根据对称性,不妨取一条渐近线y=2x,由解得x=±,故被椭圆截得的弦长为,又C1把AB三等分,所以=,两边平方并整理得a2=11b2,代入a2-b2=5得b2=,故选C.‎ 在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.同时要掌握以下内容:(1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜率与离心率的关系,‎ ‎16、 (2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(  ).‎ A. B. C. D. 解:设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则kBF=-,渐近线方程为y=±x,‎ ‎∴-·=-1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e=.又e>1,∴e=.‎ ‎17.(2013重庆)设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx (  )‎ A. B. C. D.‎ 解:设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤,所以<≤3,‎ <1+≤4,即有 <≤2.又双曲线的离心率为e==,所以
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