2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

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2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2015年广东,文1,5分】若集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ ‎(2)【2015年广东,文2】已知是虚数单位,则复数( )‎ ‎(A)-2 (B)2 (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】,故选D. ‎ ‎(3)【2015年广东,文3,5分】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以非奇非偶,对于B,函数定义域为R,关于原点对称.,故为偶函数;对于C,函数定义域为R,关于原点对称,因为,所以,故为偶函数;D中函数的定义域为R,关于原点对称,且,故为奇函数,故选A.‎ ‎(4)【2015年广东,文4,5分】若变量,满足约束条件,则的最大值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】在平面直角坐标系中画图,作出可行域,可得该可行域是由,, ‎ 组成的三角形.由于该区域是封闭的,可以通过分别代这三个个边界点进行检验,易 知当,时,取得最大值5.本题也可以通过平移直线,‎ 当直线经过时,截距达到最大,即取得最大值5,故选C.‎ ‎(5)【2015年广东,文5,5分】设的内角,,的对边分别为,,.若,,,且,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理得:,所以,即,解得或.因为,所以,故选B.‎ ‎(6)【2015年广东,文6,5分】若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是( )‎ ‎(A)至少与,中的一条相交 (B)与,都相交 ‎ ‎(C)至多与,中的一条相交 (D)与,都不相交 ‎【答案】A ‎【解析】以正方体为模型,易知至少与,中的一条相交,故选A.‎ ‎(7)【2015年广东,文7,5分】已知件产品中有件次品,其余为合格品.现从这件产品中任取件,恰有一件次品的概率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】采用列举法,记件产品中分别为,其中为分别对应2件次品,从5件产品中任取2件有 基本事件共10个,恰有一件次品的含有基本事件共6个,故恰有一件次品的概率概率为,故选B.‎ ‎(8)【2015年广东,文8,5分】已知椭圆的左焦点为,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,,故.因为,故,故选C.‎ ‎(9)【2015年广东,文9,5分】在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,,,‎ 则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平行四边形法则,得,所以,故选D.‎ ‎(10)【2015年广东,文10,5分】若集合,‎ ‎,用表示集合中的元素个数,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于,当,可以从0,1,2,3这四个数任取一个,因而有;当,可以从0,1,2这三个数任取一个,因而有;当,可以从0,1这两个数任取一个,因而有;当,,,,只有一种,故 ;对于,先处理前面两个,当,可以从0,1,2,3这四个数任取一个,有4种;当,可以从0,1,2这3个数任取3个;当,可以从0,1,这四个数任取2个;当,只有一种,故前面两个的可能结果有4+3+2+1=10种,同理可得后面有10种,故.‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎(一)必做题(11~13)‎ ‎(11)【2015年广东,文11,5分】不等式的解集为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,即,所以,即的解集为 ‎.‎ ‎(12)【2015年广东,文12,5分】已知样本数据,,,的均值,则样本数据,,,的均值为 .‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】由题意有,所以,所以 ‎.‎ ‎(13)【2015年广东,文13,5分】若三个正数,,成等比数列,其中,,则 ‎ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为正数,,成等比数列,所以,所以.‎ ‎(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎(14)【2015年广东,文14,5分】(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),则与交点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,由得,所以,联立 解得,所以与交点的直角坐标为为.‎ ‎(15)【2015年广东,文15,5分】(几何证明选讲选做题)如图,为圆的直径,为的延长线上一点,过作圆的切线,切点为,过作直线的垂线,垂足为.若,,则 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为是圆的切线方程,所以,所以,解得 或(舍去).连接,则,由,得,所以, 所以,故.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(16)【2015年广东,文16,12分】已知. ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)因为,所以.‎ ‎ (2)‎ ‎.‎ ‎(17)【2015年广东,文17,12分】某城市户居民的月平均用电量(单位:‎ 度),以,,,,,,‎ 分组的频率分布直方图如图.‎ ‎(1)求直方图中的值;‎ ‎(2)求月平均用电量的众数和中位数;‎ ‎(3)在月平均用电量为,,,的 ‎ 四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户?‎ 解:(1)由题意得:,解得.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知众数为,设中位数为,则有 ‎ ,解得, 所以月平均用电量的中位 数为224.‎ ‎(3)月平均用电量为的频率为,月平均用电量为的频率为 ‎,月平均用电量为的频率为,月平均用电量为的 频率为,设月平均用电量在的用户中应抽取户,则 ‎,解得所以用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在 的用户中应抽取5户.‎ ‎(18)【2015年广东,文18,14分】如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ 解:(1)因为四边形为矩形,所以.因为平面,‎ ‎(2)取的中点为,连接,因为,所以.又平面平面,平面 平面,平面,所以平面,因为平面,所以.‎ 又,所以平面,因为平面,所以.‎ ‎(3)因为平面,即到平面的距离为,.‎ 因为,,所以,所以,‎ 设点到平面的距离为,由得,‎ 即到平面的距离为为.‎ ‎(19)【2015年广东,文19,14分】设数列的前项和为,.已知,,,且当时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:为等比数列;‎ ‎(3)求数列的通项公式.‎ 解:(1)当时,,所以,‎ 即.‎ ‎(2)因为,所以 所以,所以,‎ 即,所以 当时,,所以,满足式,所以 所以,所以是以,公比为的等比数列.‎ ‎(3)由(2)得,两边同乘以,可得,‎ 所以是以,公差为4的等差数列.所以,‎ 所以.‎ ‎(20)【2015年广东,文20,14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.‎ ‎(1)求圆的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段的中点的轨迹的方程;‎ ‎(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不 存在,说明理由.‎ 解:(1)由题意知:圆方程为:,∴圆的圆心坐标为.‎ ‎(2)由图可知,令,,‎ ‎ ,,,‎ ‎ ∵直线与圆交于、两点,∴直线与圆的距离:‎ ‎ ,,‎ ‎ 轨迹的方程为:.‎ ‎(3)∵直线:与曲线仅有1个交点, 联立方程:‎ 得:,在区间有且仅有1个解. ‎ 当时,,此时,,仅有一个交点,符合题意.‎ 当时,令,则有:‎ 解得: ,∴的取值范围为:或.‎ ‎(21)【2015年广东,文21,14分】设为实数,函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)讨论的单调性;‎ ‎(3)当时,讨论在区间内的零点个数.‎ 解:(1),因为,所以.当时,,显然成立;当,‎ 则有,所以.所以.综上所述,的取值范围.‎ ‎(2),对于,其对称轴为,开口向上,‎ 所以在单增;对于,其对称轴为,开口向上,‎ 所以在单减.综上,在单增,在单减.‎ ‎(3)由(2)得在单增,在单减,所以.‎ ‎(i)当时,,,令,即.‎ 因为在单减,所以,而在单增,,‎ 所以与在无交点.‎ 当时,,即,所以,所以,‎ 因为,所以,即当时,有一个零点.‎ ‎(ii)当时,,当时,, ‎ ‎,而在单增,当时,.‎ 下面比较与的大小 因为,‎ 所以.‎ 结合图像不难得当,与有两个交点. ‎ 综上,当时,有一个零点;当,与有两个零点.‎
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