高考解析几何压轴题精选含答案
1. 设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。（3分）
2 .已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.（6分）
3已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。
（I） 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（II） 如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。（8分）
4.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（7分）
5.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。（6分）
6．如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.（6分）
7．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）（6分）
8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．（6分）
9．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．（3分）
10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为___________________。（3分）
11．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 .（3分）
12．已知：和：。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对任意一点P，均存在以P为顶点、与外切、与内接的平行四边形？并证明你的结论。（4分）
13． 设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
（1）实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0
12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M到直线AB的距离为 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左边
由④和⑦知，⑧式右边
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨设
∴
计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
8．解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则
(Ⅱ)
8.90º 9.
10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而22＋42＝(2)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．
11. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为
S（a，3－a），则圆S的方程为：
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。
12.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得
令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
①、②联立解得或
13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x
轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为------（1）
显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A，则B
代入（1）式相加：
由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，
∴，从而，∴
14. 解：(1)由 消去y得： ①
设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．
f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．
综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；
当a≥1时，－a＜m＜a．
(2)△OAP的面积
∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，
由唯一性得
显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴．
当时，xp＝－a2，yp＝，此时．
下面比较与的大小：
令，得
故当0＜a≤时，≤，此时．
当时，，此时．
15.解：设点坐标为，点坐标为．
显然，故
由于，所以
从而，消去，注意到得：
由解得：或．
当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．
16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜ 5分
∴
即 10分
∴
可得：
∴≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分
平方后可化为 ≥1，
即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分． 20分
17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为
圆S：
（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S： ①
与双曲线T： ②
因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分
（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是 ④
或 ⑤
解方程④得，解方程⑤得。
综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。
18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.
设、、、，则由知，
得
∴EF所在直线方程为：
化简得…①
当时，直线CD的方程为：…②
联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：
当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴
∴所求轨迹方程为
解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.
令则因为CD为的中线，
而是的重心.
设因点C异于A，则故重心P的坐标为
消去得
故所求轨迹方程为
（编号有误）
18.参数方程1-6：CBDABD
7．； 。8.
9．解：由可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。令 ，则
其中∴当时，S有最大值，为
当时，S有最小值，为
∴S最大值为；S最小值为。
