重庆高考数学文科试卷带详解

重庆高考数学文科试卷带详解

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（文史类）‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.‎ ‎2．命题“对任意，都有”的否定为 （ ）‎ A.对任意，都有 B.不存在，都有 C.存在，使得 D.存在，使得 ‎【测量目标】全称量词与存在量词.‎ ‎【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出故“对任意，都有”的否定是“存在，使得” ‎ ‎3．函数的定义域为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】函数的定义域.‎ ‎【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.‎ ‎ 故选C ‎4．设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 （ ）‎ A.6 B.4 C.3 D.2‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.‎ ‎【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】圆心与定直线的最短距离为，又圆的半径为2，故所求最短距离为62=4.‎ ‎5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的的值是 （ ）‎ ‎ ‎ A.3 B.4 ‎ ‎ C.5 D.6‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的值，输出.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.‎ ‎ 第5题图 ‎ ‎ ‎ ‎6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.0.2‎‎ B.0.4 C.0.5 D.0.6‎ ‎【测试目标】茎叶图.‎ ‎【考查方式】题给出茎叶图，直接求解.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间 内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.4‎ ‎7．关于的不等式（）的解集为，且：，则 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】解含参的一元二次不等式.‎ ‎【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数.‎ ‎【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a的关系式后，带入求解.‎ 即，故原不等式的解集为，‎ ‎（步骤2）‎ ‎8．某几何体的三视图如题8所示，则该几何体的表面积为 （ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的表面积.‎ ‎【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以 ‎9．已知函数，，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用.‎ ‎【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一个函数值.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解.‎ 因为互为倒数，与互为相反数，（步骤1）‎ 不妨令 故（步骤2）‎ ‎10．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系.‎ ‎【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于且小于等于，即 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．已知复数（是虚数单位），则 ．‎ ‎【测量目标】复数的模.‎ ‎【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】利用求模公式直接求解.‎ ‎ ‎ ‎12．若2、、、、9成等差数列，则 ．‎ ‎【测量目标】等差数列的通项公式.‎ ‎【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解.‎ ‎ 由题意得该等差数列的公差，‎ 所以 ‎13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．‎ ‎【测量目标】古典概型.‎ ‎【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.‎ 甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为 ‎14．为边，为对角线的矩形中，，，则实数 ．‎ ‎【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算.‎ ‎【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数.‎ ‎【参考答案】4‎ ‎【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.‎ 如图所示，由于所以（步骤1）‎ ‎ ‎ 在矩形中，由所以 ‎ 解得（步骤2）‎ ‎15．设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．‎ ‎【测量目标】一元二次不等式.‎ ‎【考查方式】限定的大范围，带入不等式中求解出的范围.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件 列式直接运算求解 ‎ 由题意，要使对恒成立 ‎ 需化简得，（步骤1）‎ 或解得或（步骤2）‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）‎ 设数列满足：，，．‎ ‎（1）求的通项公式及前项和；‎ ‎（2）已知是等差数列，为前项和，且，，求．‎ ‎【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前项和公式.‎ ‎【考查方式】给定，与的关系，去求的通项公式及前项和，再根据与的关系，求.‎ ‎【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前项和公式直接求解.‎ ‎ 解：（1）由题设知是首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎ .（步骤1）‎ ‎ ‎ 故（步骤2）‎ ‎17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）‎ 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．‎ ‎（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；‎ ‎（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；‎ ‎（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程中，，，‎ 其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.‎ ‎【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.‎ ‎【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.‎ ‎ 解：（1）由题意知（步骤1）‎ ‎ （步骤2）‎ ‎ ‎ ‎ 故所求线性回归方程为（步骤3）‎ ‎ （2）由于变量的值随值的增加而增加，故与之间是正相关.（步骤4）‎ ‎ （3）将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）（步骤5）‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）‎ 在△中，内角、、的对边分别是、、，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．‎ ‎【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.‎ ‎【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.‎ ‎【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.‎ 解（1）由余弦定理得.（步骤1）‎ ‎ 又因为（步骤2）‎ ‎ （2）由（1）得又由正弦定理及得 ‎ （步骤3）‎ ‎ ‎ 当取最大值3（步骤4）‎ ‎19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）‎ 如题（19）图，四棱锥中，⊥底面，，， ．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．‎ ‎【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解.‎ ‎【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积. ‎ ‎ ‎ ‎【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明平面利用割补法求三棱锥体积.‎ （1） 证明：因为所以为等腰三角形.（步骤1）‎ 又.（步骤2）‎ ‎ 因为底面.（步骤3）‎ ‎ 从而与平面内两条相交直线都垂直,‎ 平面（步骤4）‎ ‎（2）解三棱锥的底面的面积 ‎ （步骤5）‎ ‎ 平面 ‎（步骤6）‎ ‎ 由，得三棱锥的高为，故 ‎（步骤7）‎ 所以（步骤8）‎ ‎20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）‎ 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．‎ ‎（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.‎ ‎【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。‎ ‎【试题分析】根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值.‎ ‎ 解（1）因为蓄水池侧面的总成本为（元），‎ ‎ 底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.‎ 又根据题意，‎ 又由 故函数的定义域为（） ‎ 令解得（因为不在定义域内，舍去）.‎ 当故在上为增函数；‎ 当故在上为减函数.‎ 由此可知，在处取得最大值，此时.‎ 即当时，该蓄水池的体积最大.‎ ‎21．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）‎ 如题21图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，． ‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．‎ ‎【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，三角形的面积最值.‎ ‎【考查方式】给定图形，椭圆的离心率及值，求解椭圆的方程，利用椭圆的性质求三角形面积及内切圆的标准方程 ‎【试题分析】（1）利用离心率及点在椭圆上求出椭圆的标准方程；（2）设未知数表示出的面积，利用函数求最值解决. ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）由题意知点()在椭圆上，则 ‎ .‎ ‎ 故该椭圆的标准方程为 ‎（2）由椭圆的对称性，可设又设是椭圆上任意一点，则 ‎ ‎ 设，由题意知，点是椭圆上到点的距离最小的点,因此，上式当时取最小值，又因为所以上式当时取最小值，从而，且由对称性知所以 当的面积取到最大值.‎ 此时对应的圆的圆心坐标为(),半径因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为