2015高考数学（理）（古典概型）一轮复习学案

2015高考数学（理）（古典概型）一轮复习学案

学案61　古典概型 导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．‎ 自主梳理 ‎1．基本事件有如下特点：‎ ‎(1)任何两个基本事件是________的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________．‎ ‎2．一般地，一次试验有下面两个特征 ‎(1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)等可能性．每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型．‎ 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2011·临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．(2010·辽宁)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．‎ ‎4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________．‎ ‎5．(2011·大理模拟)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).‎ 探究点一　基本事件的概率 例1　投掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子．‎ ‎(1)求所出现的点数均为2的概率；‎ ‎(2)求所出现的点数之和为4的概率．‎ 变式迁移1　一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问：‎ ‎(1)共有多少个基本事件？‎ ‎(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？‎ 探究点二　古典概型的概率计算 例2　班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．‎ ‎(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；‎ ‎(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．‎ 变式迁移2　同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．‎ 探究点三　古典概型的综合问题 例3　(2009·山东 ‎)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ 变式迁移3　为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．‎ ‎(1)求该总体的平均数；‎ ‎(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ 分类讨论思想的应用 例　(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．‎ ‎(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；‎ ‎(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？‎ ‎(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．‎ 多角度审题　‎ 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数n及事件A包含的基本事件个数m，用公式P(A)＝求解．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．[6分]‎ ‎(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.[9分]‎ ‎(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．‎ ‎(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响．‎ ‎【易错点剖析】‎ ‎1．题目中“红桃‎4”‎与“方片‎4”‎属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注．‎ ‎2．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．‎ ‎1．基本事件的特点主要有两条：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型的基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个数n，以及所求事件A包含的基本事件的个数m；③代入公式P(A)＝，求概率值．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·浙江宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2009·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458‎ ‎569　683　431　257　393　027　556　488‎ ‎730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)‎ A．0.35 B．‎0.25 ‎ C．0.20 D．0.15‎ ‎3．(2011·西南名校联考)连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为(　　)‎ A．3 B．‎4 ‎ C．2,5 D．3,4‎ ‎5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．‎ ‎7．(2011·上海十四校联考)在集合{x|x＝，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．‎ ‎8．(2009·江苏)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差‎0.3 m的概率为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·北京朝阳区模拟)袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．‎ ‎(1)写出所有不同的结果；‎ ‎(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；‎ ‎(3)求至少摸出1个黑球的概率．‎ ‎10．(12分)(2010·天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．‎ ‎(1)求中三等奖的概率；‎ ‎(2)求中奖的概率．‎ ‎11．(14分)(2011·广州模拟)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．‎ ‎(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；‎ ‎(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．‎ 学案61　古典概型 自主梳理 ‎1．(1)互斥　(2)基本事件的和　3.　 自我检测 ‎1．A　2.D　3.　4.0.14　5. 课堂活动区 例1　解题导引　确定古典概型的基本事件有两条：一、每个事件发生的可能性相等；二、事件空间Ω中的任一个事件都可以表示为这些基本事件的和，基本事件的确定有一定的相对性，并非一成不变的．‎ 解　因为掷骰子出现1,2,3的概率不一样，所以，记6个面为1，a，b，x，y，z，其中a，b都表示2，x，y，z都表示3，则投掷两颗骰子，基本事件为(1,1)，(1，a)，(1，b)，(1，x)，(1，y)，(1，z)，(a,1)，(a，a)，(a，b)，(a，x)，(a，y)，(a，z)，…，(z,1)，(z，a)，(z，b)，(z，x)，(z，y)，(z，z)共36种结果．‎ ‎(1)掷两颗骰子出现点数均为2的基本事件有(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)共4种，∴概率为P1＝＝.‎ ‎(2)出现点数之和为4，说明有两种情况，即1＋3或2＋2，基本事件有(1，x)，(1，y)，(1，z)，(x,1)，(y,1)，(z,1)，(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)共10种，‎ ‎∴概率为P2＝＝.‎ 变式迁移1　解　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为A，B号，从中摸出2只球，有如下基本事件：‎ ‎(1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，因此，共有10个基本事件．‎ ‎(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝.‎ 例2　解题导引　古典概型的概率计算公式是P(A)＝.由此可知，利用列举法算出所有基本事件的个数n以及事件A包含的基本事件数m是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举基本事件．‎ 解　(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．‎ 由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．‎ 用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)‎ ‎＝＋＝＝0.7，‎ 即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.‎ ‎(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.‎ ‎ 第二次抽取 第一次抽取 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ 试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．‎ 用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝＝0.2.‎ 变式迁移2　解　方法一　同时抛掷两枚骰子，所有基本事件如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,6)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎(2,6)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎(3,6)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎(4,6)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ ‎(6,1)‎ ‎(6,2)‎ ‎(6,3)‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,6)‎ 共有36个不同的结果，其中“至少有一个5点或6点”的基本事件数为20，所以至少有一个5点或6点的概率为P＝＝.‎ 方法二　利用对立事件求概率．“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表，“没有5点或6点”包含16个基本事件，没有5点或6点的概率为P＝＝.∴至少有一个5点或6点的概率为1－＝.‎ 例3　解题导引　本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知识解决实际问题的能力．‎ 解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，‎ 由题意得＝，所以n＝2 000.‎ 则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，‎ 由题意得＝，即a＝2.‎ 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．‎ 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车．用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，‎ 则基本事件空间包含的基本事件有：‎ ‎(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．‎ 故P(E)＝，即所求概率为.‎ ‎(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.‎ 设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过‎0.5”‎，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.‎ 变式迁移3　解　(1)总体平均数为×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.‎ ‎(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过‎0.5”‎．‎ 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．‎ 事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．‎ 所以所求的概率为P(A)＝.‎ 课后练习区 ‎1．A ‎2．B　[由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.]‎ ‎3．A　[由题意知，(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，‎ ‎∴m>n.‎ 基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．‎ ‎∴P＝＝.]‎ ‎4．D　[落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝，落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝，故当n为3和4时，事件Cn的概率最大．]‎ ‎5．D　[由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2.取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4.‎ ‎∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为 P＝＝.]‎ ‎6．120‎ 解析　设男教师有n人，则女教师有(n＋12)人．‎ 由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率 P＝＝，得n＝54，‎ 故参加联欢会的教师共有120人．‎ ‎7. 解析　cos ＝cos ＝，共2个．‎ x总体共有10个，所以概率为＝.‎ ‎8．0.2‎ 解析　从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10(种)抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差‎0.3 m的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，‎ ‎∴概率P＝＝0.2.‎ ‎9．解　(1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.共10种不同结果．(2分)‎ ‎(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件．所以P(A)＝＝0.6.‎ 所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(7分)‎ ‎(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，‎ 所以P(B)＝＝0.7.‎ 所以至少摸出1个黑球的概率为0.7.(12分)‎ ‎10．解　设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法．(2分)‎ ‎(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：‎ ‎(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．故P(A)＝＝.(6分)‎ ‎(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．‎ 两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(8分)‎ 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，‎ P(B)＝＋＋＝.(12分)‎ ‎11．解　由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．(3分)‎ 设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B.‎ ‎(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝＝.‎ 故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.‎ ‎(6分)‎ ‎(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足≤1，即b2≤a2＋1.(8分)‎ 若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；‎ 若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；‎ 若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值，‎ 若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．‎ ‎∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．‎ ‎∴P(B)＝＝.‎ 故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.‎ ‎(14分)‎