高考数学一轮复习 函数210函数模型及其应用教学案 理 新人教A版

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‎2.10　函数模型及其应用 考纲要求 ‎1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．‎ ‎2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ ‎1．几类函数模型及其增长差异 ‎(1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)‎ 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)‎ 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)‎ 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)‎ 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)‎ ‎(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ‎①指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)‎ 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长____xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有______．‎ ‎②对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)‎ 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会____y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有______．‎ 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有__________．‎ ‎2．解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎(4)还原：将数学问题还原为实际问题．‎ 以上过程用框图表示如下：‎ ‎1．下列函数中，随x的增大函数值增大速度最快的是(　　)．‎ A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x ‎2．‎2006年8月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到‎2014年8月30日可取回(　　)．‎ A．a(1＋x)8元 B．a(1＋x)9元 C．a(1＋x8)元 D．a＋(1＋x)8元 ‎3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：‎ x ‎1.99‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ y ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)．‎ A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)‎ C．y＝log3x D．y＝2x－2‎ ‎4．有一批材料可以建成‎200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为__________(围墙厚度不计)．‎ ‎5．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．‎ 一、一次函数与分段函数模型 ‎【例1－1】已知A，B两地相距‎150千米，某人开汽车以‎60千米/时的速度从A地前往B地，到达B地停留1小时后再以‎50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数，则下列正确的是(　　)．‎ A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)‎ B．x＝ C．x＝ D．x＝ ‎【例1－2】根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(t∈N*)．‎ ‎(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；‎ ‎(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．‎ 方法提炼 ‎1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．‎ ‎2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．‎ 提醒：分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．‎ 请做演练巩固提升5‎ 二、二次函数模型 ‎【例2】某加工厂需定期购买材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料 ‎400千克‎，每次购买的原材料当天即开始使用(即有‎400千克不需要保管)．‎ ‎(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少总费用．‎ 方法提炼 ‎1．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．‎ 提醒：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．‎ ‎2．形如f(x)＝kx＋(ka＞0)的函数，实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数，根据其图象特点，通常称其为“对勾函数”，这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用．常常利用“基本不等式”求解，有时也利用函数单调性求解．‎ 请做演练巩固提升1‎ 三、指数函数模型 ‎【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：‎ ‎(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；‎ ‎(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；‎ ‎(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．‎ ‎(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)‎ 方法提炼 ‎1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．‎ ‎2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．‎ ‎3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．‎ ‎4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：‎ 直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．‎ 请做演练巩固提升4‎ 函数模型应用解答题的规范解答 ‎【典例】(12分)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为‎60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．‎ ‎(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？‎ ‎(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ 规范解答：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．‎ 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(2分)‎ ‎(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，(4分)‎ 所以当x＝15时，S取得最大值．(6分)‎ ‎(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．(8分)‎ 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.(9分)‎ 当x∈(0,20)时，V′＞0；‎ 当x∈(20,30)时，V′＜0.‎ 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．(11分)‎ 此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.(12分)‎ 答题指导：‎ ‎1．在解答本题时有两点容易造成失分：‎ ‎(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域．‎ ‎(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确．‎ ‎2．解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：‎ ‎(1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．‎ ‎(2)对涉及到的相关公式，记忆错误．‎ ‎(3)在求解的过程中计算错误．‎ 另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．‎ ‎1．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)．‎ A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 ‎2．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(　　)．‎ A．a12－1 B．(1＋a)12－1‎ C．a D．a－1‎ ‎3．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：‎ x ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎…‎ y ‎…‎ 则x和y可能满足的一个关系式是__________．‎ ‎4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时才能开车．(精确到1小时)‎ ‎5．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．‎ ‎(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；‎ ‎(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？‎ 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 ‎1．(2)①快于　ax＞xn　②慢于　logax＜xn　ax＞xn＞logax 基础自测 ‎1．A　解析：∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax(a＞1)，‎ ‎∴排除B，C.‎ 又∵e＞2，∴ex的增长速度大于100·2x的增长速度．‎ ‎2．A　解析：由题意知一年后可取回a(1＋x)元，二年后可取回a(1＋x)2元，…，‎ ‎2014年8月30日可取回a(1＋x)8元．‎ ‎3．B　解析：把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是 y＝(x2－1)．‎ ‎4．2 ‎500 m2‎　解析：设矩形的长为x m，宽为m，‎ 则S＝x·＝(－x2＋200x)．‎ 当x＝100时，Smax＝2 ‎500 m2‎.‎ ‎5．6　10 000　解析：第一空，lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，第二空，设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2，则9＝lg A1－(－3)，5＝lg A2－(－3)，所以A1＝106，A2＝102，＝10 000.‎ 考点探究突破 ‎【例1－1】　D　解析：依题意，函数为分段函数．求出每一段上的解析式即可．‎ ‎【例1－2】　解：(1)P＝f(t)‎ ‎＝‎ Q＝g(t)＝－＋，t∈[1,40]，t∈N*.‎ ‎(2)当1≤t＜20时，‎ S＝ ‎＝－2＋.‎ ‎∵t∈N*，∴t＝10或11时，Smax＝176.‎ 当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)＝t2－28t＋为减函数；‎ 当t＝20时，Smax＝161.‎ 而161＜176，‎ ‎∴当t＝10或11时，Smax＝176.‎ ‎【例2】解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的‎400千克原材料不需要保管，第二天用掉的‎400千克原材料需保管1天，第三天用掉的‎400千克原材料需保管2天，第四天用掉的‎400千克原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的‎400千克原材料需保管(x－1)天．‎ ‎∴每次购买的原材料在x天内的保管费用y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.‎ ‎(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为(6x2－6x＋600＋1.5×400x)元，‎ ‎∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝＋6x＋594.‎ ‎∴y≥2＋594＝714.‎ 当且仅当＝6x，即x＝10时取得等号．‎ ‎∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少总费用为714元．‎ ‎【例3】解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．‎ ‎2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.‎ ‎3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.‎ ‎…‎ x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.‎ 所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系是y＝100×(1＋1.2%)x.‎ ‎(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．‎ 所以10年后该城市人口总数约为112.7万．‎ ‎(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x≥120，于是1.012x≥，‎ ‎∴x≥log1.012＝log1.0121.2≈15.3≈15(年)．‎ 大约15年后该城市人口总数将达到120万人．‎ 演练巩固提升 ‎1．C　解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，又∵x∈N*，∴x≥150.‎ ‎2．B　解析：不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1＋a),10月份的产值为b(1＋a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1＋a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：＝(1＋a)12－1.‎ ‎3．y(108－x)＝2(x≤100)　解析：将11,12,13,14,15对应的函数值分别写成，，，，，分母成等差数列，由此可知分母an＝97＋(n－11)(－1)＝97－n＋11＝108－n.所以x和y可能满足的一个关系式是y(108－x)＝2(x≤100)．‎ ‎4．5　解析：设至少经过x小时才能开车．‎ 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，‎ ‎∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.‎ ‎5．解：(1)当投资为x万元，设A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，‎ 由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由图知f(1)＝，∴k1＝.‎ 又g(4)＝.∴k2＝.‎ 从而f(x)＝x(x≥0)，‎ g(x)＝(x≥0)．‎ ‎(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，设企业利润为y万元．‎ y＝f(x)＋g(10－x)‎ ‎＝x＋，‎ ‎(0≤x≤10)．‎ 令t＝，则 y＝＋t＝－2＋(0≤t≤)．‎ 当t＝时，ymax＝，此时x＝3.75，10－x＝6.25.‎ 答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为万元．‎