2020-2021学年高考数学（理）考点：函数的奇偶性与周期性

2020-2021学年高考数学（理）考点：函数的奇偶性与周期性

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：函数的奇偶性与周期性 ‎ ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 ‎2.周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．‎ 概念方法微思考 ‎1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．‎ ‎2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？‎ ‎(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．‎ ‎(2)f (x＋a)＝(a≠0)．‎ ‎(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．‎ 提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.‎ ‎3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．‎ ‎1．（2020·山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，‎ 所以在上也是单调递减，且，，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以由可得：‎ 或或 解得或，‎ 所以满足的的取值范围是，‎ ‎2.（2020·天津卷）已知函数．给出下列结论：‎ ‎①的最小正周期为；‎ ‎②是的最大值；‎ ‎③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．‎ 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以周期，故①正确；‎ ‎，故②不正确；‎ 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，‎ 故③正确.‎ ‎3.（2020·江苏卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】，因为为奇函数，所以 ‎4．（2019·全国Ⅲ卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）‎ A．（log3）＞（）＞（） ‎ B．（log3）＞（）＞（）‎ C．（）＞（）＞（log3） ‎ D．（）＞（）＞（log3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】是定义域为的偶函数，．‎ ‎，‎ 又在(0，+∞)上单调递减，‎ ‎∴，‎ 即.‎ 故选C．‎ ‎5．（2019·全国Ⅱ卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，．‎ ‎∵时，；‎ ‎∴时，，；‎ ‎∴时，，，‎ 如图：‎ 当时，由解得，，‎ 若对任意，都有，则.‎ 则m的取值范围是.‎ 故选B.‎ ‎6．（2019·全国Ⅱ卷）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】由题意知是奇函数，且当时，，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 两边取以为底数的对数，得，‎ 所以，即．‎ ‎7．（2019·北京卷）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用可得a的取值范围.，若函数为奇函数，则即，‎ 即对任意的恒成立，‎ 则，得.‎ 若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，‎ 即在R上恒成立，‎ 又，则，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎8．（2019·江苏卷）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数，的图象，如图：‎ 由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，‎ 要使关于的方程有8个不同的实数根，‎ 则与的图象有2个不同的交点，‎ 由到直线的距离为1，可得，解得，‎ ‎∵两点连线的斜率，‎ ‎∴，‎ 综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.‎ ‎9．（2018·浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，‎ 故选D．‎ ‎10．（2018·全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B．0 ‎ C．2 D．50‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ 因为，从而.‎ 故选C．‎ ‎11．（2018·江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得函数的周期为4，‎ 所以 因此 强化训练 ‎1．（2020•深圳模拟）设是定义在上以2为周期的偶函数，当，时，，则，时，的解析式为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】①当，时，则，，‎ 因为当，时，，‎ 所以．‎ 又因为是周期为2的周期函数，‎ 所以．‎ 所以当，时，．‎ ‎②当，时，则，，‎ 因为当，时，，‎ 所以．‎ 又因为是周期为2的周期函数，‎ 所以．‎ 因为函数是定义在实数上的偶函数，‎ 所以．‎ 所以由①②可得当，时，．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•东湖区校级一模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意得：，，又，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎3．（2019秋•上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　‎ A． B．1 C．0 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为一个奇函数的定义域为，2，，，‎ 根据奇函数的定义域关于原点对称，所以与有一个等于1，一个等于，所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2019•广东学业考试）设是奇函数，且当时，，则当时，等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，代入函数在上的解析式，得，‎ 是奇函数，，‎ 故选．‎ ‎5．（2019•西湖区校级模拟）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】任取则，‎ 时，，‎ ‎，①‎ 又函数在上为奇函数 ‎②‎ 由①②得时，‎ 故选．‎ ‎6．（2019秋•正定县校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，当时，，‎ ‎，‎ 函数是定义在上的奇函数，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎7．（2019•西湖区校级模拟）若函数为奇函数，则必有　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数为奇函数 故选．‎ ‎8．（2020•射洪市校级一模）已知函数是奇函数，则函数的值域为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，函数是奇函数，则，‎ 即，解可得，‎ 则，变形可得，‎ 则有，解可得，即函数的值域为；‎ 故选．‎ ‎9．（2020•泸州四模）已知函数，则下列关系不正确的是　　‎ A．函数是奇函数 B．函数在上单调递减 ‎ C．是函数的唯一零点 D．函数是周期函数 ‎【答案】D ‎【解析】因为，则，故正确；‎ ‎，故在上单调递减，正确；‎ 由在上单调递减且可得为函数的唯一的零点，正确；‎ 由于为周期函数，但不是周期函数，故不是周期函数，故错误．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•九龙坡区模拟）已知奇函数满足：对一切，且，时，，则　　‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，对任意都有，则函数的图象关于直线对称，‎ 又由函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，‎ 则有，‎ 故，‎ 即函数为周期为4的周期函数，则，‎ 又由，时，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎11．（2020•南充模拟）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当，时，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，且函数是偶函数，‎ 所以且，‎ 可得，，即，‎ 所以，，‎ 两式相减可得，即函数的周期，‎ 因为当，时，，‎ 则 故选．‎ ‎12．（2020•青羊区校级模拟）已知函数，若，则　　‎ A．2 B．0 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，，‎ 则，‎ 则有，又由，则；‎ 故选．‎ ‎13．（2020•兴庆区校级模拟）设是奇函数且满足，当时，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】是奇函数且满足，‎ 可得，函数的周期为2．‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎14．（2020春•红岗区校级期末）定义在上的函数是奇函数，为偶函数，若 ‎（1），则　　‎ A． B．0 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】为偶函数，‎ ‎，即关于对称，‎ 是奇函数，‎ ‎，且，‎ 即，得，‎ 则函数的周期是8，‎ 则（3）（1），‎ ‎（4），‎ ‎（5）（1），‎ 则，‎ 故选．‎ ‎15．（2020春•荆门期末）已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　‎ A． B．3 C．0 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称可知，．‎ 故选．‎ ‎16．（2020春•河南期末）已知函数，则下列说法正确的是　　‎ A．函数在上既是奇函数，也是增函数 ‎ B．函数在上既是奇函数，也是减函数 ‎ C．函数在上既是偶函数，也是增函数 ‎ D．函数在上既是偶函数，也是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，所以函数是奇函数，‎ 因为，且与均为增函数，所以在上是增函数．‎ 故选．‎ ‎17．（2020春•常德期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】是定义在上的奇函数，且时，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎18．（2020春•济宁期末）定义在上的偶函数，记，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】是偶函数，关于轴对称，‎ 则，‎ 即，则当时，为增函数，‎ ‎，，，‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 故选．‎ ‎19．（2020春•泉州期末）已知奇函数满足，当时，，则　　‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，即的周期为4，且是奇函数，时，，‎ ‎（1）．‎ 故选．‎ ‎20．（2020春•宁波期末）若函数，的定义域均为，且都不恒为零，则　　‎ A．若为偶函数，则为偶函数 ‎ B．若为周期函数，则为周期函数 ‎ C．若，均为单调递减函数，则为单调递减函数 ‎ D．若，均为奇函数，则为奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，依次分析选项：‎ 对于，若为偶函数，则可能为奇函数，而为偶函数，如，，错误；‎ 对于，若为周期函数，可能为周期函数，如．，错误；‎ 对于，当，，均为单调递减函数，而，不是减函数，错误；‎ 对于，若，均为奇函数，对于，有，为奇函数，正确；‎ 故选．‎ ‎21．（2020•包头二模）已知函数，则　　‎ A．在单调递增 ‎ B．在单调递减 ‎ C．的图象关于直线对称 ‎ D．的图象关于点对称 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；‎ ‎，‎ 设，则，‎ 在区间上，为增函数，为增函数，故在上为增函数，‎ 在区间上，为减函数，为增函数，故在上为减函数，‎ 故错误；‎ 函数，其定义域为，‎ ‎，故函数的图象关于直线对称，正确，错误；‎ 故选．‎ ‎22．（2020•4月份模拟）若函数的图象关于轴对称，则常数　　‎ A． B．1 C．1或 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】可知函数为偶函数，则（1），即，解得，‎ 将代入解析式验证，符合题意．‎ 故选．‎ ‎23．（2020•白山模拟）已知函数，且满足，则（6）　　‎ A．29 B．11 C．3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以的图象关于对称，‎ 所以时，，，‎ ‎（6），‎ 故选．‎ ‎24．（2019•桃城区校级模拟）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设为所求函数图象上的任意一点，它关于直线对称的点是．‎ 由题意知点在函数的图象上，‎ 则．‎ 即．‎ 故选．‎ ‎25．（2019•西湖区校级模拟）的图象下列叙述正确的是　　‎ A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．没有对称性 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 为偶函数，其图象关于轴对称 故选．‎ ‎26．（2020•马鞍山三模）已知函数是定义域为的偶函数，在 上单调递减，则不等式（1）的解集是　　‎ A．，， B． ‎ C．，， D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数是定义域为的偶函数，则的图象关于直线对称，‎ 又由在上单调递减，则在，上单调递增，‎ 若（1），则有，即或，‎ 即或，‎ 即不等式的解集为，，；‎ 故选．‎ ‎27．（2020•龙凤区校级模拟）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，为偶函数，‎ 当时，在上单调递增，故正确；‎ 为奇函数，不符合题意；‎ 为偶函数，在上单调递减，不符合题意；‎ 为非奇非偶函数，不符合题意．‎ 故选．‎ ‎28．（2020•让胡路区校级三模）设是定义在上的奇函数，且在区间，上单调递增，则　　‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，函数在定义域上单调递增，‎ 由可得，‎ 故选．‎ ‎29．（2020•运城模拟）偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意实数都有，‎ 由于为偶函数，所以．‎ 所以．‎ 所以函数是以4为周期的周期函数．‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎30．（2020•郑州三模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为　　‎ A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己亥年 ‎【答案】D ‎【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，‎ 从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，‎ 则，则2019的天干为己，‎ 余10，则2019的地支为亥，‎ 故选．‎ ‎31．（2020•辽阳二模）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为　　‎ A．猴 B．马 C．羊 D．鸡 ‎【答案】B ‎【解析】六十甲子，周而复始，无穷无尽，‎ 即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，‎ 则2086年出生的孩子属相为马．‎ 故选．‎ ‎32．（2020•泰安一模）已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数的周期为4，当，时，，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 故选．‎ ‎33．（2020•湖北模拟）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷guǐ影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分）．‎ 节气 冬至 小寒 ‎（大雪）‎ 大寒 ‎（小雪）‎ 立春 ‎（立冬）‎ 雨水 ‎（霜降）‎ 惊蛰 ‎（寒露）‎ 春分 ‎（秋分）‎ 清明 ‎（白露）‎ 谷雨 ‎（处暑）‎ 立夏 ‎（立秋）‎ 小满 ‎（大暑）‎ 芒种 ‎（小暑）‎ 夏至 晷影长 ‎（寸）‎ ‎135‎ ‎75.5‎ ‎16.0‎ 已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为　　‎ A．91.6寸 B．82.0寸 C．81.4寸 D．72.4寸 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为，夏至晷影长为14.8寸，则为，‎ 春分的晷影长为；‎ ‎；‎ 即春分的晷影长为72.4．‎ 故选．‎ ‎34．（2020•碑林区校级模拟）已知符号函数，偶函数满足，当，时，，则　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，由，‎ 可知函数是以2为周期的周期函数．‎ 当，时，，是偶函数，‎ 当，时，．‎ 函数图象如下：‎ 根据图可得，，故，选项不正确；‎ 很明显，当，时，，，选项正确；‎ ‎，故选项不正确；‎ 当时，（2），，故选项不正确 故选．‎ ‎35．（2020•渭南二模）已知函数满足和，且当，时，，则关于的方程在，上解的个数是　　‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，函数为偶函数，‎ 且是周期为2的周期函数．‎ 方程在，上解的个数，‎ 即函数的图象与函数的图象 在，上的交点个数，‎ 再根据当，时，，‎ 画出函数在，上的图象，数形结合可得，‎ 函数的图象与函数的图象 在，内存在两个交点，‎ 故函数的图象与函数的图象 在，上的交点个数为5，‎ 故选．‎ ‎36．（2019秋•大理市校级期末）函数，若（5），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令 则为一个奇函数 又（5），‎ ‎（5），‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎37．（2019•西湖区校级模拟）为奇函数，当时，则当时，__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为奇函数，时，，当时，，‎ ‎，‎ 即时，，‎ 故答案为：．‎ ‎38．（2018•绵阳模拟）偶函数的图象关于点对称，（4），则（2）__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】偶函数的图象关于点对称，‎ 可得，‎ 由（4），‎ 即有（4），‎ 即有（4）（2），‎ 则（2），‎ 故答案为：．‎ ‎39．（2018秋•马山县期中）已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即函数的周期为4‎ 是定义在上的偶函数，则有 故答案为：．‎ ‎40．（2018秋•太湖县校级期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有．则（3），，（1）的大小顺序是__________．‎ ‎【答案】（1）（3）‎ ‎【解析】是偶函数 ‎（2）‎ 又任意的，，，有，‎ 在，上是减函数，‎ 又，‎ ‎（1）（2）（3），‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎41．（2016•一模拟）函数为偶函数，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据偶函数的定义可得，对定义域得任意都成立，‎ 即对定义域内得任意的都成立，‎ 整理可得，，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎42．（2017•惠州模拟）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数的图象关于点，对称；‎ ‎③函数是偶函数；‎ ‎④函数在上是单调函数．‎ 在上述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】对于①：函数是周期函数且其周期为3．①对 对于②：是奇函数其图象关于原点对称 又函数的图象是由向左平移个单位长度得到．‎ 函数的图象关于点，对称，故②对．‎ 对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：‎ 对于任意的都成立．‎ 令，则，函数是偶函数，③对．‎ 对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎43．（2020•西安一模）已知是定义域上的奇函数，周期为4，且当，时，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，是周期为4的周期函数，则，‎ 又由为奇函数，则（1），‎ 由于（1），‎ 故有（1）；‎ 故答案为：．‎ ‎44．（2020•达州模拟）是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，是定义域为的偶函数，对，都有，‎ 则有，即函数是周期为4的周期函数，‎ 则有，（1），‎ 又由当时，，‎ 则，（1），‎ 则（1）；‎ 故答案为：．‎ ‎45．（2020•南充模拟）若偶函数对任意，都有，且，时，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，满足，则，即函数是周期为6的周期函数，‎ 则，‎ 又由为偶函数，则，‎ 又由，‎ 则；‎ 故答案为：．‎ ‎46．（2020•崇明区一模）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数．当时，，则实数的值等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数是定义在上的周期为2的奇函数．‎ 当时，，‎ ‎（1）且（1），‎ ‎（1），即（1），‎ ‎．‎ 故答案为：2．‎ ‎47．（2020•苏州二模）设周期函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足（1），（2），则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】由题意（1），函数是奇函数，‎ 故有 又周期函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，‎ 故（2）‎ ‎（2）‎ 当时，解得 当时，解得 所以的取值范围是，，‎ 故答案为：，，．‎ ‎48．（2019•西湖区校级模拟）已知定义在上的函数是偶函数，且时，，‎ ‎（1）当时，求解析式；‎ ‎（2）写出的单调递增区间．‎ ‎【解析】（1）时，‎ 时 是偶函数，‎ 时，‎ ‎（2）由（1）知时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间 时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间 所以函数的单调增区间为：，，．‎