安徽高考理科数学试题及答案

安徽高考理科数学试题及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。‎ 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ 答第Ⅱ卷时，必须使用‎0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用‎0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式：‎ 如果事件与互斥；则 如果事件与相互独立；则 如果与是事件，且；则 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）复数满足：；则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎（2）下列函数中，不满足：的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 与均满足：得：满足条件 ‎（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ‎ 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ‎ 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎【解析】选 ‎ 甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为 ‎（6）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且 ‎ 则“”是“”的（ ）‎ ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 ‎ ‎ 充要条件 即不充分不必要条件 ‎【解析】选 ① ②如果；则与条件相同 ‎（7）的展开式的常数项是（ ）‎ ‎ 21世纪教育网 ‎【解析】选 第一个因式取，第二个因式取 得：‎ 第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是 ‎（8）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量 ‎ 则点的坐标是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎【方法一】设 则 ‎【方法二】将向量按逆时针旋转后得 ‎ 则 ‎（9）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；‎ ‎ 则的面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选21世纪教育网 设及；则点到准线的距离为 得： 又21世纪教育网 的面积为 ‎（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 ‎ 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品 ‎ 的同学人数为（ ）‎ ‎ 或 或 或 或 ‎【解析】选 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人 第II卷（非选择题 共100分）‎ ‎21世纪教育网 考生注意事项：‎ 请用‎0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎（11）若满足约束条件：；则的取值范围为[来源:21世纪教育网]‎ ‎【解析】的取值范围为 约束条件对应边际及内的区域：‎ 则 ‎（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ‎【解析】表面积是 该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱 几何体的表面积是 ‎（13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 ‎【解析】距离是 ‎ 圆的圆心 直线；点到直线的距离是 ‎（14）若平面向量满足：；则的最小值是 ‎【解析】的最小值是 ‎（15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ‎ ①若；则 ②若；则 ‎ ‎ ③若；则 ④若；则 ‎ ⑤若；则 ‎【解析】正确的是①②③‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③当时，与矛盾 ‎ ④取满足得：‎ ‎ ⑤取满足得：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.‎ ‎（16）(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数 ‎ （I）求函数的最小正周期；‎ ‎ （II）设函数对任意，有，且当时， ；‎ ‎ 求函数在上的解析式。‎ ‎【解析】‎ ‎ （I）函数的最小正周期 ‎ （2）当时，‎ ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 得：函数在上的解析式为 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道 试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。‎ ‎（Ⅰ）求的概率；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。‎ ‎【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为 ‎（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为 ‎ 随机变量可取 ‎，，‎ 答：（Ⅰ）的概率为 ‎ （Ⅱ）求的均值为 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，‎ ‎。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都 与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。‎ ‎。‎ ‎（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值。‎ ‎【解析】（I）取的中点为点，连接 ‎ 则，面面面 同理：面 得：共面 又面 ‎（Ⅱ）延长到，使 得：‎ ‎ ，面面面面 ‎ ‎ ‎ （Ⅲ）是二面角的平面角 ‎ 在中，‎ ‎ 在中，‎ ‎ 得：二面角的余弦值为。‎ ‎（19）（本小题满分13分）K]‎ ‎ 设 ‎ （I）求在上的最小值；‎ ‎ （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。‎ ‎【解析】（I）设；则 ‎ ①当时，在上是增函数 ‎ 得：当时，的最小值为 ‎ ②当时，‎ ‎ 当且仅当时，的最小值为 ‎（II）‎ ‎ 由题意得：‎ ‎（20）（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，分别是椭圆 ‎ 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，‎ 过点作直线的垂线交直线于点；‎ ‎（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；‎ ‎（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎【解析】（I）点代入得：‎ ‎ ①‎ ‎ 又 ② ③‎ ‎ 由①②③得： 既椭圆的方程为 ‎（II）设；则 ‎ 得： ‎ ‎ 过点与椭圆相切的直线斜率 ‎ 得：直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎ （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【解析】（I）必要条件 ‎ 当时，数列是单调递减数列 ‎ 充分条件 ‎ 数列是单调递减数列 ‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）由（I）得：‎ ‎ ①当时，，不合题意 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，与同号，‎ 由 ‎ ‎ ‎ 当时，存在，使与异号 与数列是单调递减数列矛盾 得：当时，数列是单调递增数列