高考数学一轮题组训练平面向量的数量积

高考数学一轮题组训练平面向量的数量积

第3讲　平面向量的数量积 ‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2013·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝________.‎ 解析　a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.‎ 答案　4‎ ‎2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则在方向上的投影为________．‎ 解析　如图所示，在方向上的投影为||cos 60°＝2×＝1.‎ 答案　1‎ ‎3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝________.‎ 解析　由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.‎ 所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(‎2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为________．‎ 解析　由(‎2a＋b)·b＝0，得‎2a·b＋|b|2＝0.‎ ‎∴2|b|2·cos〈a，b〉＋|b|2＝0，∴cos〈a，b〉＝－，‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.‎ 答案　 ‎5．(2013·福建卷改编)在四边形ABCD中，＝(1,2)，B＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．‎ 解析　∵·＝1×(－4)＋2×2＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴S四边形＝＝＝5.‎ 答案　5‎ ‎6．(2013·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.‎ 解析　b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2‎ ‎＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2‎ ‎＝＋1－t＝1－.‎ 由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.‎ 答案　2‎ ‎7．(2013·重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.‎ 解析　在矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)，因为⊥，所以·＝0，即－3＋k－1＝0，解得k＝4.‎ 答案　4‎ ‎8．(2014·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.‎ 解析　因为〈，〉＝60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.‎ 答案　 二、解答题 ‎9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．‎ ‎(1)若a⊥b，求x的值；‎ ‎(2)若a∥b，求|a－b|.‎ 解　(1)若a⊥b，‎ 则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.‎ 整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.‎ ‎(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，‎ 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.‎ 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，‎ ‎∴|a－b|＝＝2.‎ 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，‎ ‎∴|a－b|＝2.‎ 综上，可知|a－b|＝2或2.‎ ‎10．已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解　(1)∵(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，‎ ‎∴4|a|2－‎4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－‎4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.‎ ‎∴cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ ‎(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2013·泰州一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为________．‎ 解析　由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋‎2a·b＋b2＝a2－‎2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.‎ 故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝＝.所以θ＝.‎ 答案　 ‎2．已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．‎ 解析　由题意可知较小的对角线为|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝ ‎＝ ＝.‎ 答案　 ‎3．(2013·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．‎ 解析　因为e1·e2＝cos ＝，所以b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.所以＝＝，设t＝，则1＋t2＋t＝2＋≥，所以0＜≤4，即的最大值为4，所以的最大值为2.‎ 答案　2‎ 二、解答题 ‎4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 解　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.‎ ‎∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.‎ 欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.‎ 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴ ‎∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.‎ 即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.‎ ‎∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是 ∪.‎