2010年上海市春季高考数学试卷答案与解析

2010年上海市春季高考数学试卷答案与解析

‎2010年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．（4分）（2010•上海）函数的最小正周期T=　π　．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．‎ ‎【解答】解：由三角函数的周期公式可知，‎ 函数y=sin2x的最小正周期为T==π 故答案为：π．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为；T=．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2010•上海）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=　0　．‎ ‎【考点】奇函数．菁优网版权所有 ‎【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．‎ ‎【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），‎ 则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），‎ 解得a=0．‎ ‎【点评】本题考查奇函数定义．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2010•上海）计算：=　1+i　（i为虚数单位）．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．‎ ‎【解答】解：===1+i．‎ 故答案为：1+i ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2010•上海）已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=　{x|﹣1＜x＜2}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）‎ B={x|＞0}=（﹣1，+∞）‎ ‎∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}‎ 故答案为：{x|﹣1＜x＜2}‎ ‎【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2010•上海）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，已知|PF1|=6，进而可求|PF2|‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．‎ 故答案为4‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2010•上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是　80　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有 ‎【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．‎ ‎【解答】解：由题可知抽取的比例为k==，故中年人应该抽取人数为N=1600×=80．‎ 故答案为：80‎ ‎【点评】本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2010•上海）已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，‎ 则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），‎ 将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，要求学生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2010•上海）在（2x2+）6的二项展开式中，常数项是　60　．‎ ‎【考点】二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ ‎【解答】解：在（2x2+）6的二项展开式中，通项公式为 Tr+1=•26﹣r•x12﹣2r•x﹣r=•x12﹣3r．‎ 令 12﹣3r=0，解得 r=4，‎ 故展开式的常数项为 =60，‎ 故答案为 60．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2010•上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为　　（结果用数值表示）．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36个，满足条件的事件是点数和为的结果为4，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件总的试验结果为36个，‎ 满足条件的事件是点数和为的结果为4，‎ 可以列举出（1，3），（2，2），（3，1）共3个，‎ 由古典概型概率计算公式可得P===．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，解题过程中要用到列举法来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2010•上海）各棱长为1的正四棱锥的体积V=　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题知斜高h′=，则h=，‎ 故V=Sh=•1•=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2010•上海）方程=0的解集为　{﹣3，2}　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：=9x+2x2﹣12﹣4x+3x2﹣18=0，‎ 即x2+x﹣6=0，‎ 故x1=﹣3，x2=2．‎ 故方程的解集为 {﹣3，2}．‎ ‎【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2010•上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=　　．‎ ‎【考点】程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：由框图的算法原理可知：‎ a=，b=，‎ n=1，n（b﹣a）=﹣＜1；‎ n=2，n（b﹣a）=2（﹣）＜1；‎ n=3，n（b﹣a）=3（﹣）＞1，‎ 此时，m=[3]=6，‎ r===，‎ 故输出r=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2010•上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=　2600π　cm2．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．‎ ‎【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，‎ 侧面展开图的面积 S=（50+80）×20π×2×=2600πcm2．‎ 故答案为：2600π ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2010•上海）设n阶方阵 An=‎ 任取An中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵An﹣1，任取An﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为xn，记Sn=x1+x2+…+xn，则Sn=x1+x2+…+xn，则=　1　．‎ ‎【考点】高阶矩阵；数列的极限．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，xn=2n2﹣1，故Sn=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．‎ ‎【解答】解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，xn=2n2﹣1，‎ 故Sn=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n2+（n﹣1）×n2=n3，‎ 故===1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．‎ ‎　‎ 二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．（5分）（2010•上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（　　）‎ A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．平行、相交、是异面直线都有可能 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．‎ ‎【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，‎ a与c可以相交，异面直线，也可能平行．‎ 从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑．熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2010•上海）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）‎ A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定 ‎【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意，利用作差法进行求解．‎ ‎【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1‎ ‎=（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，‎ 故M＞N，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2010•上海）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+l，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件；‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】直线l与抛物线C有两个不同交点的条件是：方程组有两个不同实数根，从而判定该题．‎ ‎【解答】解：由（kx+1）2=x即k2x2+（2k﹣1）x+1=0，△=（2k﹣1）2﹣4k2=﹣4k+1＞0，则．故“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但“直线l与抛物线C有两个不同的交点”则必有“k≠0”．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题突破口在直线l与抛物线C有两个不同交点，△＞0还是△≥0是第二点，第三是充要条件的判断．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2010•上海）（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（　　）‎ A． B． C． D．（0，0）‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．‎ ‎【解答】解：设P（m，n），任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N（2m﹣x，2n﹣y），‎ 由，联立方程组：‎ ‎，‎ 解这个方程组得到，‎ 故选C．‎ ‎【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（12分）（2010•上海）已知tanθ=a，（a＞1），求的值．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．‎ ‎【解答】解：原式===．‎ 即：=．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2010•上海）已知函数f（x）=loga（8﹣2x）（a＞0且a≠1）‎ ‎（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；‎ ‎（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（﹣x）的最大值．‎ ‎【考点】反函数；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．‎ ‎（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=loga（8﹣2x），∴8﹣2x =af（x），x=，‎ 故反函数为 y=，∴loga（8﹣2x）=，∴a=2．‎ ‎（2）当a＞1时，由题意知，8﹣2x＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），‎ 函数y=f（x）+f（﹣x）=loga（8﹣2x）+=，‎ ‎∴2x+2﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2x+2﹣x ）≤49，‎ 当a＞1时，函数y=f（x）+f（﹣x）在x=0处取得最大值loga49．‎ ‎【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2010•上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．‎ ‎（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？‎ ‎（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）‎ ‎【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；综合题．‎ ‎【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．‎ ‎（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．‎ ‎【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．‎ 设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．‎ 由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米 经计算得AB的弧长：6371×‎ ‎889.56÷720≈1.2（小时）‎ ‎∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）‎ ‎（2）设里斯本为C，过B作 与赤道平面平行的球面的截面，‎ 设其圆心为O′，由已知得 ‎∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°‎ OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°‎ 由余弦定理可得 BC2=O′B2+O′C2﹣2O′B•O′Ccos131°=2r2cos239°（1﹣cos131°）‎ cos∠BOC=‎ ‎≈﹣1.87×10﹣4‎ ‎∴∠BOC≈90.01°‎ 于是大圆的弧长BC为 ‎∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．‎ ‎【点评】本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2010•上海）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义=﹣．‎ ‎（1）若=（2，3），=（﹣1，3），求；‎ ‎（2）若=（2，1），证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上；‎ ‎（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量满足什么关系？‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；函数的性质及应用；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意，算出=7，=10，代入的表达式并化简整理，即可得到=（，﹣）；‎ ‎（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中的表达式解出=（x，y）满足的关系式，从而得到点 ‎（，）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C=0，说明向量的终点也在一条直线上；‎ ‎（3））设=（x，y），单位向量=（cosθ，sinθ），解出关于x、y和θ的坐标形式，结合的终点在抛物线x2=y上且终点在抛物线y2=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到=±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量满足•=0，从而得到直线l与向量垂直．‎ ‎【解答】解：（1）∵=（2，3），=（﹣1，3），‎ ‎∴=7，=10，可得=（﹣1，3）=（﹣，）‎ 因此=﹣=（2，3）﹣（﹣，）=（，﹣）；‎ ‎（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上 算出=2x'+y'，=5，=（2，1）=（，），‎ ‎∴=﹣=（x'，y'）﹣（，）=（，）‎ 因此，若=（x，y），满足，得到 ‎∵点（，）在直线Ax+By+C=0上 ‎∴A×+B×+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C=0，‎ 由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程 即向量的终点也在一条直线上；‎ ‎（3）∵是单位向量，‎ ‎∴设=（x，y），=（cosθ，sinθ），可得•=xcosθ+ysinθ，‎ 所以=﹣=﹣2（xcosθ+ysinθ）=（﹣xcos2θ﹣ysin2θ，﹣2xsin2θ+ycos2θ）‎ ‎∵的终点在抛物线x2=y上，且终点在抛物线y2=x上，‎ ‎∴﹣xcos2θ﹣ysin2θ=（﹣2xsin2θ+ycos2θ）2，‎ 化简整理，通过比较系数可得cosθ=，sinθ=﹣或cosθ=﹣，sinθ=‎ ‎∴=±（，），‎ ‎∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，‎ ‎∴l的方向向量=（1，1）．‎ 可得•=0，即⊥，因此直线l与向量垂直．‎ ‎【点评】本题给出向量的关系式，求证当向量终点在一条直线上时，向量的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2010•上海）已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=（a为常数）．‎ ‎（1）若对于任意的x1≠﹣1，有xn+2=xn对于任意的n∈N*都成立，求a的值；‎ ‎（2）当a=1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；‎ ‎（3）当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．‎ ‎【考点】数列递推式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；综合题；压轴题；探究型．‎ ‎【分析】（1）求出xn+2，代入xn+1化简后等于xn，得到a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得得到a的值即可；‎ ‎（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1﹣xn=﹣xn=﹣＜0，所以得证；‎ ‎（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=，因为{xn}是有穷数列，可以令x1=﹣得到即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵xn+2====xn ‎∴a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得，∴a=﹣1．‎ ‎（2）数列{xn}是递减数列．‎ ‎∵x1＞0.‎ ‎∴xn＞0，n∈N*又xn+1﹣xn=﹣xn=﹣＜0，n∈N*，‎ 故数列{xn}是递减数列．‎ ‎（3）满足条件的真命题为：数列{xn}满足xn+1=，若x1=﹣，则{xn}是有穷数列．‎ ‎【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．‎