上海高考数列大题整理
（2012春）22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列满足
（1）设是公差为的等差数列.当时，求的值；
（2）设求正整数使得一切均有
（3）设当时，求数列的通项公式.
22、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列。
⑴ 求；
⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；
⑶ 求数列的通项公式。
22、⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分．
对于给定首项，由递推式得到数列，且对于任意的,都有，用数列可以计算的近似值．
(1) 取，，计算的值（精确到），归纳出，的大小关系；
(2) 当时，证明；
(3) 当时，用数列计算的近似值，要求，请你估计，并说明理由．
【解】(1) ，猜想；
(2)
， ①
因为，
所以，
所以．
由①式，，
所以．
(3) 由(2)
,
所以只要即可,
于是，
因为，
所以．
所以．
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
解不等式Sn
.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
22. [解]（1）. …… 4分
（2）， …… 8分
，
当时，. …… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等. …… 18分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
20．解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.
在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，．．．，为关于点的对称点.
（1）求向量的坐标；
（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；
（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.
22．[解]（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为
A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以，
（2）[解法一]的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移
4个单位得到.
因此，曲线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当
[解法二]设
若
当
（3）
由于，
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
20. [解]（1）2005年底的住房面积为
（万平方米）,
2006年底的住房面积为
（万平方米）
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分
（2）2024年底的住房面积为
…… 10分
（万平方米）
∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分
