高考全国卷理科数学试题含解析

高考全国卷理科数学试题含解析

绝密★启用前 2014 年高考全国 2 卷理科数学试题（含解析） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 （ ） A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i 2．设向量 a,b 满足|a+b|= ，|a-b|= ，则 a b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3．钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=( ) A.5 B. C.2 D.1 4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5．如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为（ ） A. B. C. D. 6．执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7．设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8．设 F 为抛物线 C: 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点， 则 △OAB 的面积为（ ） A. B. C. D. 9．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1， 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10．设函数 .若存在 的极值点 满足 ，则 m 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 1z 2z 1 2z i= + 1 2z z = 10 6 ⋅ 1 2 2 5 17 27 5 9 10 27 1 3 2 3y x= 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 1 10 2 5 30 10 2 2 ( ) 3sin xf x m π= ( )f x 0x ( ) 22 2 0 0x f x m+ <   ( ) ( ), 6 6,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 4 4,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ ∞ 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释） 11． 的展开式中， 的系数为 15，则 a=________.(用数字填写答案) 12． 函数 的最大值为_________. 13 ． 已 知 偶 函 数 在 单 调 递 减 ， . 若 ， 则 的 取 值 范 围 是 __________. 14．设点 M（ ,1），若在圆 O: 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 的取值范围是 ________. 评卷人 得分 三、解答题（题型注释） 15．已知数列 满足 =1， . （1）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （2）证明： . 16．如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积. 17．某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况， 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 18．设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M 是 C 上一点且 与 x 轴垂直，直 线 与 C 的另一个交点为 N. （1）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； （2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ，求 a,b. 19．已知函数 = . （1）讨论 的单调性； （2）设 ，当 时， ,求 的最大值； （3）已知 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 20．如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与 O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点 E。 证明：（1）BE=EC； （2）AD DE=2 21．在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ( )10x a+ 7x ( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − + ( )f x [ )0,+∞ ( )2 0f = ( )1 0f x − > x 0x 2 2 1x y+ = 0x { }na 1a 1 3 1n na a+ = + { }1 2na + { }na 1 2 31 1 1 2na a a + + <… + 3 ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bt= − 1F 2F ( )22 2 2 1 0yx a ba b + = > > 2MF 1MF 3 4 15MN F N= ( )f x 2x xe e x−− − ( )f x ( ) ( ) ( )2 4g x f x bf x= − 0x > ( ) 0g x > b 1.4142 2 1.4143< <    ⋅ 2PB ， . （1）求 C 的参数方程； （2）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（1）中你得到的参数方程， 确定 D 的坐标. 22．设函数 = （1）证明： 2； （2）若 ，求 的取值范围. 2cosρ θ= 0, 2 πθ  ∈   : 3 2l y x= + ( )f x 1 ( 0)x x a aa + + − > ( )f x ≥ ( )3 5f < a 参考答案 1．A 【解析】由题意知： ，所以 -5，故选 A。 考点：本小题主要考查复数的乘法，复数的几何意义，复数是高考的重点，年年必考，常常 以选择或填空题的形式出现，难度不大，熟练基础知识是关键。 2．A 【 解 析 】 因 为 =10 ， ，两式相加得： ，所以 ，故选 A. 考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与 基本题型是解答好本类题目的关键。 3．B 【解析】由面积公式得： ，解得 ，所以 或 ， 当 时， 由余弦定理得： =1，所以 ，又因为 AB=1，BC= ，所以 此时 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以 ，由余弦定理得： =5，所以 ，故选 B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 4．A 【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则 ，故选 A. 考点：本小题主要考查条件概率的求法，熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键. 5．C 【解析】因为加工前的零件半径为 3，高为 6，所以体积 ，又因为加工后的零件， 左半部为小圆柱，半径为 2，高 4，右半部为大圆柱，半径为 3，高为 2，所以体积 ，所以削掉部分的体积与原体积之比为 ，故选 C. 考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力. 6．D 【解析】由题意知：当 时， ， ；当 时， ， ；当 时，输出 S=7，故选 D。 考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，程序框图是新课标新增内容，是高考的重点， 年年必考，主要以客观题的形式出现，经常也数列、不等式、函数等知识相结合，在知识的 2 2z i= − + 1 2z z = 2 2| | ( )a b a b+ = + =    2 2 2a b a b+ + ⋅    2 2| | ( )a b a b− = − =    2 2 2 6a b a b+ − ⋅ =    2 2 8a b+ =  1a b⋅ =  1 12 sin2 2B× = 2sin 2B = 45B =  135B =  45B =  2 1 2 2 2 cos45AC = + −  1AC = 2 ABC∆ 135B =  2 1 2 2 2 cos135AC = + −  5AC = ( ) 0.6( | ) 0.8( ) 0.75 P A BP B A P A ∩= = = 1 54V π= 2 16 18 34V π π π= + = 54 34 10 54 27 π π π − = 1k = 2M = 5S = 2k = 2M = 7S = 3k = 交汇处出题，应熟练这部分的基础知识. 7．B 【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线 ，可知当 经过两条直线 与 的交点 A（5，2）时，取得最大值 8，故选 B. 考点：本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是 解答这类问题的关键. 8．D 【解析】由题意可知：直线 AB 的方程为 ，代入抛物线的方程可得： ， 设 A 、 B ， 则 所 求 三 角 形 的 面 积 为 = ，故选 D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同 学们分析问题与解决问题的能力. 9．C 【解析】以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 为 轴，则设 CA=CB=1， 则 ， ， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， ， 故 ， ，所以 ，故选 C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能 力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 10．C 【 解 析 】 由 题 意 知 ： 的 极 值 为 ， 所 以 ， 因 为 ， 所以 ，所以 即 ，所以 ， 即 3，而已知 ，所以 3，故 ， 解得 或 ，故选 C. 考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法， 2z x y= − 3 1 0x y− + = 7 0x y+ − = 3 3( )3 4y x= − 24 12 3 9 0y y− − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2 1 3 ( ) 42 4 y y y y× × + − 9 4 1CC z (0,1,0)B 1 1( , ,1)2 2M 1( ,0,1)2N 1 1( , ,1)2 2BM = − 1( ,0,1)2AN = − cos , | | | | BM ANBM AN BM AN ⋅= = ⋅      3 4 6 5 2 2 = ⋅ 30 10 ( )f x 3± ( ) 2 0 3f x =   ' 0 0( ) 3 cos 0xf x m m ππ= ⋅ = 0 ,2 x k k zm π ππ= + ∈ 0 1 ,2 x k k zm = + ∈ 0 1 1| | | |2 2 x km = + ≥ 0| | | |2 mx ≥ 2 2 0 0[ ( )]x f x+ ≥ 2 4 m + ( ) 22 2 0 0x f x m+ <   2 2 4 mm > + 23 34 m > 2m > 2m < − 考查分析问题与解决问题的能力. 11． 【解析】因为 ，所以令 ，解得 ，所以 =15 ， 解得 . 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低 档. 12．1 【 解 析 】 由 题 意 知 ： = = = = = ，即 ，因为 ，所以 的最大值为 1. 考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好 本类题目的关键. 13． 【解析】因为 是偶函数，所以不等式 ，又因为 在 上单调递减，所以 ，解得 . 考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知 识是关键. 14． 【解析】由题意知：直线 MN 与圆 O 有公共点即可，即圆心 O 到直线 MN 的距离小于等于 1 即 可，如图， 过 OA ⊥ MN ， 垂 足 为 A ， 在 中 ， 因 为 ∠ OMN=45 ， 所 以 = 1 2 10 1 10 r r r rT C x a− + = 10 7r− = 3r = 3 7 3 4 10T C x a= 7x 1 2a = ( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − + ( ) ( )sin[ ] 2sin cosx xϕ ϕ ϕ ϕ+ + − + ( )sin cos xϕ ϕ+ + ( )cos sin xϕ ϕ+ − ( )2sin cos xϕ ϕ+ ( )cos sin xϕ ϕ+ − ( )sin cos xϕ ϕ+ ( )sin[ ]x ϕ ϕ+ − sin x ( ) sinf x x= x R∈ ( )f x ( 1,3)− ( )f x ( 1) 0 (| 1|) (2)f x f x f− > ⇔ − > ( )f x [0, )+∞ | 1| 2x − < 1 3x− < < [ 1,1]− Rt OMA∆ | | | | sin 45OA OM=  ， 解得 ，因为点 M（ ,1），所以 ，解得 ，故 的取值范围是 . 考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查 同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 15． 【解析】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后 利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出 ，然后转化为等 比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比数列，首项为 ，公比为 3，所以 ，解得 . （2）由（1）知： ，所以 ， 因 为 当 时 ， ， 所 以 ， 于 是 = ， 所以 . 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当 时， ，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识， 考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一， 熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 16． 2 | | 12 OM ≤ | | 2OM ≤ 0x 2 0| | 1 2OM x= + ≤ 01 1x− ≤ ≤ 0x [ 1,1]− na = 3 1 2 n − 1 na 1 3 1n na a+ = + 1 1 13( )2 2n na a+ + = + 1 1 2 31 2 n n a a + + = + 1 2na +   1 1 3 2 2a + = 1 2na + = 13 32 n−⋅ na = 3 1 2 n − na = 3 1 2 n − 1 2 3 1n na = − 1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅ 1 1 1 3 1 2 3n n−≤− ⋅ 1 1 a + 2 1 a + 1 na 1 1 11 3 3n−≤ + + + 3 1(1 )2 3n − 3 2 < 1 1 a + 2 1 a + 1 na 3 2 < 1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅ 3 8 【解析】试题分析：本题第（1）问，证明直线与平面平行，可利用线面平行的判定定理来 证明；对第（2）问，可先建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算计算二面角，从而 计算出 AB，然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积. 试题解析：（1）证明：设 O 为 AC 与 BD 交点，连结 OE，则由矩形 ABCD 知：O 为 BD 的中点， 因为 E 是 BD 的中点，所以 OE∥PB，因为 OE 面 AEC，PB 面 AEC，所以 PB∥平面 AEC。 （2）以 A 为原点，直线 AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=m，则 是平面 AED 的一个法向量，设 是平面 AEC 的法向量，则 ， 解 得 ， ， 所 以 令 ， 得 ，所以 = ，因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量 的夹角相等哉互补，所以 = ，解得 ，因为 E 是 PD 的 中 点 ， 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 高 为 ， 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 = = . 【易错点】对第（1）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（2）问，二面角的大小与 两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等；并且计算法向量可能出 现错误. 考点：本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，空间几何体的 体积的求法，考查利用空间向量知识解决立体几何的能力，考查同学们的逻辑推理能力、空 间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力. 17．（1） ；（2）在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增 加，平均每年增加 千元； 元. 【解析】试题分析：本题第（1）问，由给出的 与 公式求出 与 ，从而求出回归直线 方程；对第（2）问，由第（1）问求出的回归直线方程进行预测，令 ，可得 的近似 值. 试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 知 ， ， ， 所 以 ⊂ ⊄ ( ,0,0)AB m= ( , , )n x y z= 3 1 02 2 3 0 n AE y z n AC mx y  ⋅ = + =  ⋅ = + =     3z y= − 3y mx= − 1y = − 3( , 1, 3)n m = − cos ,n AB =  2 3 3 4m m ⋅ + 2 3 3 4m+ cos ,n AB =  2 3 3 4m+ cos60 3 2m = 1 2 1 1 3 2ACDS∆× × 1 1 36 2 m× × × 1 1 336 2 2 × × × = 3 8 0.5 2.3y t= + 0.5 6.8千 b a b a 9t = y 4t = 4.3y = b = = ， 所以 = = ，所以线性回归方程为 。 （2）由（1）中的线性回归方程可知， ，所以在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭 人均纯收入在逐年增加，平均每年增加 千元. 令 得： ，故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 元。 【易错点】本题的易错点是第（1）问计算错误，第（2）问在 2007 至 2013 年该地区农村居 民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答. 考点：本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题 与解决问题的能力. 18．（1） ；（2） ， . 【解析】试题分析：本题第（1）问，可结合 与 x 轴垂直，由勾股定理及椭圆定义求出 椭圆的离心率；对第（2）问，观察到 是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及 椭圆方程，可求出 a,b. 试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 知 ， ， 所 以 ， 由 勾 股 定 理 可 得 ： ，由椭圆定义可得： = ，解得 C 的离心率为 。 （2）由题意，原点 O 为 的中点， ∥y 轴，所以直线 与 y 轴的交点 D（0，2） 是线段 的中点，故 ，即 ，由 得 ，设 ，由题意知 ，则 ，即 ，代入 C 的方程得 ，将 及 代入 得： ，解得 ， . 【易错点】对第（1）问，较容易，大部分同学都能计算出；对第（2）问,一部分同学考虑 不到中位线， 容易联立方程组求解而走弯路，并且容易出现计算失误. 考点：本小题考查椭圆的几何意义（离心率的求解）、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系， 考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问 3 1.4 2 0.7 0 0.5 1.8 3 1.6 9 4 1 0 1 4 9 × + + + + + + × + + + + + + 0.5 a y bt− 4.3 0.5 4− × = 2.3 0.5 2.3y t= + 0b > 0.5 9t = 0.5 9 2.3 6.8y = × + = 6.8千 1 2 7a = 2 7b = 2MF 2MF 2| | 3 2 4 MF c = 2 3| | 2MF c= 1 5| | 2MF c= 3 2 c + 5 2 c 2a 1 2 1 2F F 2MF 1MF 1MF 2 4b a = 2 4b a= 15MN F N= 1 1| | 2 | |DF F N= 1 1( , )N x y 1 0y < 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 2 1 x c y  = −  = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 4b a= 2 2c a b= − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 7a = 2 7b = 题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题 的关键. 19．（1）函数 在 R 上是增函数；（2）2；（3） 【解析】试题分析：本题第（1）问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第（2） 问，可构造函数 ，对（3）问，可根据 的取值讨论. 试题解析：（1）因为 ，当且仅当 时等号成立，所以函数 在 R 上是增函数； （2）因为 = ， 所以 = . (1) 当 时 , , 等 号 仅 当 时 成 立 ， 所 以 在 R 上 单 调 递 增 ， 而 ，所以对任意 ， ； （ 2 ） 当 时 ， 若 满 足 ， 即 时 ， ，而 ， 因此当 时， ， 综上， 的最大值为 2. （3）由（2）知， ， 当 时， ， ； 当 时， ， ， ，所以 的近似值为 . 【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对 去讨论；对 第（3）问, 找不到思路. 考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查 函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数 与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键. 20．（1）见解析 （2）见解析 ( )f x 0.693 ( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− b ' 1( ) 2 0x xf x e e = + − ≥ 0x = ( )f x ( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− 2 2 4 ( ) (8 4)x x x xe e b e e b x− −− − − + − ' ( )g x = 2 22[ 2 ( ) (4 2)]x x x xe e b e e b− −+ − + + − 2( 2)( 2 2)x x x xe e e e b− −+ − + − + 2b ≤ ' ( ) 0g x ≥ 0x = ( )g x (0) 0g = 0x > ( ) 0g x > 2b > x 2 2 2x xe e b−< + < − 20 ln( 1 2 )x b b b< < − + − ' ( ) 0g x < (0) 0g = 20 ln( 1 2 )x b b b< ≤ − + − ( ) 0g x < b 3(ln 2) 2 2 2(2 1)ln 22g b b= − + − 2b = 3(ln 2) 4 2 6ln 2 02g = − + > 8 2 3ln 2 0.692812 −> > 3 2 14b = + 2ln( 1 2 ) ln 2b b b− + − = 3(ln 2) 2 2 (3 2 2)ln 22g = − − + + 0< 18 2ln 2 0.693428 +< < ln 2 0.693 b 【解析】试题分析：本题第（1）问，先由已知得出 PA=PD，然后由对应角相等，拆分角得 出结论；对第（2）问，可由切割线定理得出 ， ， 然后由相交弦定理，得出结论. 试 题 解 析 ： （ 1 ） 连 结 AB ， AC ， 由 题 意 知 PA=PD ， 故 ， 因 为 ， ， ，所以 ，从而 ， 因此 BE=EC. （2）由切割线定理得： ，因为 ，所以 ， ， 由相交弦定理得： = = = ，所以等式成立. 【易错点】对第（1）问，不容易找到思路;第（2）问中不会灵活应用已知条件而出错. 考点：本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识，考查 数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力. 21．（1） 是参数， ；（2） 【解析】试题分析：本题第（1）问，由极坐标与普通方程的互化关系可得出 C 的普通方程 为： ，从而写出 C 的参数方程为 是参数， .；对 第（2）问，可先设 D 点坐标为 ，然后由 C 在点 D 处的切线与 垂直，得出 ，从而得出 ，写出 D 点坐标. 试题解析：（1）设点 M 是 C 上任意一点，则由 可得 C 的普通方程为： ， 即 ， 所以 C 的参数方程为 是参数， . （2）设 D 点坐标为 ，由（1）知 C 是以 G（1，0）为圆心，1 为半径的上 半圆， 因为 C 在点 D 处的切线与 垂直，所以直线 GD 与 的斜率相同， ， ， 故 D 点的直角坐标为 ，即 . 2PA PB= 4PC PB= PAD PDA∠ = ∠ PDA DAC DCA∠ = ∠ + ∠ PAD BAD PAB∠ = ∠ + ∠ DCA PAB∠ = ∠ DAC BAD∠ = ∠  BE EC= 2PA PB PC= ⋅ 2PC PA= 2PA PB= 4PC PB= AD DE BD DC⋅ = ⋅ ( )PD PB PD− ⋅ 1 1( )2 2PC PB PC− ⋅ 2(2 ) 2 2PB PB PB PB− ⋅ = 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ 3 3( , )2 2 2 2 2x y x+ = 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ (1 cos ,sin )β β+ l tan 3β = 3 πβ = ( , )x y 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤ 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ (1 cos ,sin )β β+ l l tan 3β = 3 πβ = (1 cos ,sin )3 3 π π+ 3 3( , )2 2 【易错点】对第（1）问，极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而 出错;对第(2)问,不理解题意而出错. 考点：本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类 题目的关键. 22．（2） 【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出 ，从而 得出结论；对第（2）问，由 去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出 的 取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知： ，当且仅当 时，取等号，所以 . （2）因为 ，所以 ，解得： . 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等. 考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求 参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 1 5 5 21 2 2a + +< < min( ) 2f x = 0a > a min( )f x = 1 2a a + ≥ 1a = ( ) 2f x ≥ (3) 5f < 1| 3| | 3| 5aa + + − < ⇔ 1 3 | 3| 5aa + + − < ⇔ 1| 3| 2a a − < − ⇔ 1 12 3 2aa a − < − < − 1 5 5 21 2 2a + +< <