高考数学专题复习——导数
2016年高考数学专题复习——导数
目录
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围
四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式
3、替换构造不等式证明不等式
五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用
2、恒成立之分离常数
3、恒成立之讨论参数范围
六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为
。
(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。
(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。
(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.
(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。
(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立
(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则
(8)若，使得，则；若，使得，则.
(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有
.
(10)若对、 ，恒成立，则.
若对，，使得,则.
若对，，使得，则.
（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，
若对,，使得=成立，则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根
，且极大值大于0，极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
① ②
1
x
x
+
≤
③ ④
⑤ ⑥
⑦ sinx
0)
一、 有关切线的相关问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
【答案】（Ⅰ）
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求；
【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为，
由题意可得()，故 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论
例题：【2015高考江苏，19】
已知函数.
（1）试讨论的单调性；
【答案】（1）当时， 在上单调递增；
当时， 在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在，上单调递增，在上单调递减．
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
练习：1、已知函数.
⑴当时，讨论的单调性；
答案：⑴，
令
①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.
②当时，由，即，解得.
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，,时，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
当时，当,函数单调递减；
当，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；
当时,恒成立,此时，函数在单调递减；
当时,函数在递减,递增,递减.
2、已知为实数，函数，函数，令函数．
当时，求函数的单调区间．
解：函数，定义域为．
当时，．
令，得． ……………………………………9分
①当，即时，．
∴当时，函数的单调减区间为，．………………11分
②当时，解得．
∵，
∴令，得，，；
令，得． ……………………………13分
∴当时，函数的单调减区间为，，；函数单调增区间为． …………15分
③当，即时，由（2）知，函数的单调减区间为及
2、 根据判别式进行讨论
例题：【2015高考四川，理21】已知函数，其中.
（1）设是的导函数，评论的单调性；
【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.
【解析】（1）由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增.
练习： 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
解：函数的定义域为．
．
令，得，记．
（ⅰ）当时，，所以单调减区间为； …………5分
（ⅱ）当时，由得，
①若，则，
由，得，；由，得．
所以，的单调减区间为，，单调增区间为； …………………………………………………………7分
②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为；
③若，则，
由，得；由，得．
的单调减区间为，单调增区间为． ……9分
综上所述：当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
当时，单调减区间为，单调增区间为． ………………………………………………………10分
2. 已知函数．
求函数的单调区间；
解：函数的定义域为，． ……………1分
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； ………………5分
由，即，得．………………………6分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ……………………………………………………………
2、 含绝对值的函数单调性讨论
例题：已知函数.
（1）若a=1，求函数在区间的最大值;
（2）求函数的单调区间；
（3）若恒成立，求的取值范围
解：（1）若a=1, 则．
当时, ,，
所以在上单调增, . ……………2分
（2）由于，．
（ⅰ）当时，则，，
令，得（负根舍去），
且当时，；当时，，
所以在上单调减，在上单调增.……4分
（ⅱ）当时，
①当时， ,
令，得（舍），
若，即, 则，所以在上单调增；
若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增. ……………………………………………6分
②当时, ,
令，得，记，
若，即, 则，故在上单调减；
若，即,
则由得，且，
当时，；当时，；当 时，
，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. …………………………………………8分
综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间
是；
当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是
；
当时, 单调递减区间是(0, )和，
单调的递增区间是和. ………………10分
（3）函数的定义域为．
由，得． *
（ⅰ）当时，，，不等式*恒成立，所以；
（ⅱ）当时，，，所以； ………………12分
（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．
令，则．
因为，所以，从而．
因为恒成立等价于，所以．
令，则．
再令，则在上恒成立，在上无最大值．
综上所述，满足条件的的取值范围是． …………………………16分
2．设为实数，函数
（2）求函数的单调区间
2、 分奇数还是偶数进行讨论
例题：【2015高考天津，理20已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.
(2)当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
2、 已知单调区间求参数范围
例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
解：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x
）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若00，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
二、极值
（一）判断有无极值以及极值点个数问题
例题：【2015高考山东，理21】设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
例题：【2015高考安徽，理21】设函数.
（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
【解析】
（Ⅰ），.
，.
因为，所以.
①当时，函数单调递增，无极值.
②当时，函数单调递减，无极值.
③当，在内存在唯一的，使得.
时，函数单调递减；时，函数单调递增.
因此，，时，函数在处有极小值.
（二） 已知极值点个数求参数范围
例题：【14年山东卷（理）】 设函数（为常数，是自然对数的底数）
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。
练习：1、【2014年天津卷（理）】
2、（2014湖南）（本小题满分13分）
已知常数，函数.
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）,（*）
因为,所以当时,
当时,,此时，函数在单调递增,
当时, （舍去），
当时，；当时，.
故在区间单调递减,在单调递增的.
综上所述
当时,,此时，函数在单调递增,
当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的.
（Ⅱ）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，
且由的定义可知，且，所以，，解得，此时，（*）式知,分别是的极小值点和极大值点，而
令，由且知
当时, 当时,记
（ⅰ）当时，，所以
因此，在上单调递减，从而，
故当时，
（ⅱ）当时，，所以
因此，在上单调递减，从而，
故当时，
综上所述，满足条件的的取值范围是为.
【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.
（三）最值
